¿Cuál es la diferencia entre la información de profundidad y de superficie?

1) Información semántica

Comencemos con lo que es la información. Supongamos que tenemos un conjunto de oraciones que sabemos que son verdaderas, esto nos permite responder (algunas) preguntas sobre el mundo. A medida que aprendemos que más oraciones son verdaderas, la cantidad de preguntas que podemos responder crece. En la lógica epistémica esto se mide definiendo un espacio epistémico, que consta de todos los mundos posibles, y tomando la región del mismo donde al menos una de las oraciones conocidas es falsa. Esta región falsificada representa información semántica, crece a medida que aprendemos más, al igual que la cantidad de preguntas en las que los mundos restantes están de acuerdo. Esas preguntas están resueltas. La información semántica es la totalidad de los mundos descartados. La región de todos los mundos menos uno, el mundo real, representa información completa. Este cuadro se remonta a Carnap y Bar-Hillel (ellos también encabezan una medida numérica de información basada en una medida de probabilidad sobre el espacio epistémico).

¿Cómo podemos obtener nueva información? Podemos observar que algo es verdadero empíricamente. Pero también podemos deducir nuevas oraciones verdaderas usando la lógica. Por desgracia, aquí viene el dolor. Los mundos posibles clásicos son lógicamente máximos, si algunas oraciones son verdaderas en ellos, también lo son todas sus consecuencias lógicas. Hintikka llamó a esto "omnisciencia lógica". Esto significa que no obtenemos ninguna información nueva derivando consecuencias , los mundos donde son falsas ya están descartados por las oraciones originales. Piénselo, en esta concepción, cuando Wiles demostró el teorema del último Fermat, ¡no hemos aprendido nada nuevo! Esto Hintikka llamó el "escándalo de la deducción". Además de las referencias en los comentarios, una fuente clásica es el libro de Hintikka Logic, Language-games and Information .comentario de Sagüillo .

2) Información de profundidad y superficie

La solución de Hintikka fue calificar lo que se describió anteriormente como información de profundidad . Es un límite ideal, todo lo que podemos, en principio, obtener del sillón, sin hacer nuevas observaciones. Pero algo de eso está enterrado profundamente. Como somos agentes no ideales, nuestra capacidad de deducir es limitada. Sequoiah-Grayson brinda detalles técnicos para medir la profundidad en su crítica. Uno tiene que usar un sistema formal particular para derivar consecuencias y una manera particular de derivarlas (esto es necesario para hacer que la profundidad esté definida de manera única), representar fórmulas de derivación en una forma normal (con cuantificadores movidos al prenexo), y contar cuántos se agregan nuevos cuantificadores en el curso de una derivación.

Para resumir, llamamos a una consecuencia de profundidad k si derivarla requiere agregar exactamente k cuantificadores. Esta es una medida de la no trivialidad de la consecuencia. En términos cualitativos, la distinción entre consecuencias profundas y superficiales fue anticipada por la distinción de Peirce entre pruebas corolarias y teoréticas, que a su vez generalizó la distinción entre inferencias "lógicas" (silogísticas) y "geométricas" (diagramáticas) en las demostraciones euclidianas, señalada ya por Aristóteles. Para la información semántica de profundidad k tomamos solo aquellos mundos, donde están nuestras oraciones base, y sus consecuencias hasta esta profundidad, son falsificados. La información de superficie es profundidad 0, solo se tienen en cuenta las consecuencias triviales. Los silogismos de Aristóteles sólo producen tales consecuencias. Uno puede entender por qué Kant pensó que la lógica no es suficiente para las matemáticas. Esto también significa que algunos de nuestros mundos "posibles" son, de hecho, incoherentes. Antes de 1995, los matemáticos podían creer en los axiomas de la teoría de conjuntos y no creer en el teorema de Last Fermat, eran incoherentes sin ser irracionales.

3) Profundidad en demostraciones euclidianas

Expliqué en otra publicación por qué la solución de Hintikka al escándalo de la deducción no funciona del todo y cómo se solucionó. ¿ Es intratable el problema de la omnisciencia lógica? Aquí déjame explicarte lo que significa informalmente la profundidad, en particular, en geometría. Piense en los argumentos de deducción natural, en los que se pueden instanciar variables (es decir, seleccionar objetos genéricos para ellas) y eliminar cuantificadores. Cuantos más cuantificadores se añaden, más objetos nuevos, no presentes en las premisas ni en la conclusión, aparecen en el razonamiento intermedio. Esto tiene una contrapartida en las demostraciones euclidianas: la información de superficie se puede leer directamente del diagrama que representa las premisas, la información de profundidad requiere la producción de líneas/círculos auxiliares, cuanto más, más profundo. Aquí está el propio Hintikka enEl "primer descubrimiento real" de CS Peirce y su relevancia contemporánea (1980) :

Lo que hace teórica a una deducción según Peirce es que en ella debemos prever otros individuos además de los necesarios para ejemplificar la premisa del argumento. Los nuevos individuos no tienen que ser visualizados, como lo son los objetos geométricos introducidos por una construcción euclidiana. Sin embargo, deben ser mencionados y considerados en el argumento.

¿Cómo se introducen estos nuevos individuos? Se obtiene un ejemplo al convertir los argumentos usados ​​en la geometría elemental en argumentos que usan la lógica simbólica moderna, especialmente la teoría de la cuantificación. Luego, cada nueva capa de cuantificadores agrega un nuevo individuo (objeto geométrico) a las configuraciones de individuos que estamos considerando. Después de todo, cada cuantificador nos invita a considerar un individuo, por indefinido que sea. (El cuantificador existencial "(∃x)" se puede leer "hay al menos un individuo, llámelo x, tal que"; y correspondientemente para el cuantificador universal.)

[...]La idea crucial de Peirce fue lo que sucede cuando un argumento geométrico semiformal tradicional que emplea figuras se convierte en un argumento lógico explícito. Las cifras que se muestran en realidad, por supuesto, se vuelven redundantes, pero las letras (o combinaciones de letras) que se refieren a ellas se convertirán en variables libres (u otros términos singulares libres, como nombres ficticios, dependiendo de cómo se configure la lógica subyacente y qué terminología se use en en relación con instanciaciones), utilizado en el argumento formal. (Cf. la cita anterior de Collected Papers 4.616, donde Peirce habla del uso que hace Euclides de las letras griegas como nombres propios de los objetos geométricos). introducido en el argumento formal, típicamente a través de un paso de ejemplificación.

4) El método diagramático de Euclides

Dado que Euclides no poseía predicados de múltiples lugares, cuantificadores, reglas de instanciación o cualquier otra maquinaria lógica más allá del silogismo, tuvo que leer conclusiones no triviales directamente de los diagramas, no inferirlas lógicamente de los axiomas. Sus demostraciones no son cadenas de inferencias, simplemente van acompañadas de inferencias (superficiales). La lectura no es tan fácil como parece, incluso después de llevar a cabo las construcciones auxiliares, se necesitan controles de generalidad para asegurarse de que las características accidentales de los diagramas no se toman al pie de la letra. Un estudio detallado del método diagramático de Euclides, un clásico moderno, es el Diagrama euclidiano de Manders (publicado en el volumen editado de Mancosu , disponible gratuitamente).

También sabemos ahora que la "conversión" de Hintikka en deducción natural tampoco funciona del todo. A pesar de algunas similitudes estructurales generales, incluido el paralelismo profundo, la "lógica configurativa" de los diagramas es incongruente con la deducción natural, consulte Análisis geométrico griego de Behboud . Las figuras no se vuelven redundantes y las letras no se pueden identificar directamente con variables ejemplificadas (porque los individuos lógicos no se pueden cruzar, a diferencia de las líneas auxiliares, y no hay un análogo de los postulados de construcción).

Como resultado, las demostraciones de Euclides no pueden "traducirse" a derivaciones formales "llenando los vacíos", tienen que ser reelaboradas, por ejemplo, a la Hilbert. El propio enfoque de Euclides está más cerca del método semántico de las pruebas informales modernas que del método axiomático (formal), véase Doing and Showing de Rodin (disponible gratuitamente) y Método axiomático de Rav en teoría y en la práctica . Mumma desarrolló una reconstrucción moderna más fiel, que conserva los diagramas como componentes esenciales de las demostraciones, consulte los artículos en su página de inicio .