Prueba de que las reglas de la lógica son verdaderas

Estaba pensando en publicar esta pregunta en Math Stack Exchange, pero probablemente encaje mejor aquí. Estoy tomando una clase sobre geometrías euclidianas y no euclidianas, hay una sección dedicada a la lógica, supongo que es lógica proposicional clásica, pero no estoy absolutamente seguro. En esta sección estudiamos varias reglas para probar enunciados matemáticos; Pruebas de Reductio Ad Absurdum, pruebas de negación, reglas de implicación, pruebas por casos, etc. ¿Cómo sabemos que estas reglas son correctas? ¿Cómo se podría probar que estas reglas de la lógica son correctas? Y si podemos elegir un conjunto de axiomas para desarrollar varios tipos de geometrías, ¿podríamos desarrollar diferentes tipos de lógica eligiendo diferentes reglas? ?.

No tienes completamente claro lo que cuentas como regla. Reductio ad absurdum es una especie de forma argumentativa, luego mencionas reglas de inferencia, etc. Una vez que establecemos los axiomas, podemos probarlos. Pero como mencionó Akhil, no podemos probar los axiomas. En cuanto a la elección de axiomas: existen múltiples tipos de lógica que resultan de diferentes elecciones. Por ejemplo, si rechazas la ley de la no contradicción, obtienes el dialeteísmo, un tipo de lógica en la que hay "verdaderas contradicciones" (tomado de Graham Priest).
Este es definitivamente el lugar correcto para esta pregunta, ya que se trata de una cuestión de filosofía. Hay diferentes sistemas lógicos, pero uno es más "estándar": la lógica clásica. Por qué esto es así (y si es el sistema "correcto" en un sentido absoluto) es una pregunta abierta, pero tiene características interesantes como la integridad (para la lógica de primer orden). Y, por supuesto, no se puede "probar" que este es el sistema correcto, porque cualquier prueba se lleva a cabo dentro de un sistema lógico.

Respuestas (1)

Mientras leo su publicación, hay tres preguntas separadas pero relacionadas:

1: ¿Cómo sabemos que las reglas del 'cálculo deductivo' son correctas?

2: ¿Cómo podemos probar que son correctos?

3: ¿Podemos construir una lógica diferente eligiendo reglas diferentes?

1) La respuesta a la primera pregunta es una pregunta epistémica. Tradicionalmente, la gente sostiene que las reglas de demostración (como, por ejemplo, 'De (φ => χ) y φ, vaya a χ.') son a priori , es decir, se pueden conocer solo mediante la reflexión. Frege sostuvo esa opinión en su Grundlagen . También dice allí que las reglas son, en cierto sentido , evidentes por sí mismas , y muchos filósofos están de acuerdo. Lo que entendemos exactamente por 'a priori' y 'evidente' es discutible, por supuesto; pero el punto es que (la mayoría está de acuerdo en que) conocemos las reglas de prueba de la misma manera en que sabemos, por ejemplo, que a = a . Ya que mencionas la geometría, Frege sostuvo que es sintética, mientras que la lógica y la aritmética son analíticas.

2) Volviendo a la segunda pregunta, la respuesta depende en gran medida de lo que entendamos por 'prueba'. En cierto sentido, nada es más fácil que probar un axioma: basta con citar el axioma. Sin embargo, eso no es lo que quieres decir, por supuesto. Una cosa que podemos hacer es mostrar que las reglas son sólidas y completas .: supongamos que φ está semánticamente ligado a un conjunto de premisas; es decir, todas las interpretaciones que hacen verdaderas las premisas, hacen verdadera la conclusión. Entonces podemos demostrar que este es el caso si y solo si φ es demostrable a partir de las premisas. (Al menos si estamos tratando con lógica de primer orden). Este resultado se debe a Gödel, y la demostración es muy complicada. Sin embargo, lo que el resultado dice en un nivel más intuitivo es que las reglas de prueba no nos 'desviarán del camino', y tampoco nos 'estafarán': usando las reglas, podemos probar todas y solo aquellas consecuencias que ya lo hemos establecido por medios semánticos.

Por supuesto, ahora podemos preguntar cómo podemos probar la semántica; pero en cierto sentido, eso es un punto discutible. Si preguntamos: '¿son correctas las reglas?', es mejor que tengamos un estándar para decidir qué cuenta y qué no cuenta como 'correcto'. La semántica hace exactamente eso: decide qué oraciones son verdaderas y qué argumentos son válidos , de modo que nuestras reglas de prueba puedan verificar nuevamente esta verdad y validez, aunque la verdad y la validez se definan formalmente.

3) Esta pregunta probablemente esté un poco equivocada. Ciertamente podemos construir sistemas lógicos alternativos (alternativas a la lógica clásica); pero cambiar las reglas de prueba no es la mejor manera de hacerlo: acabará probando demasiado o muy poco. Más bien, querrás jugar con la semántica. Por ejemplo, puede introducir un nuevo valor de verdad además de VERDADERO y FALSO , de modo que las oraciones puedan ser NI . Como alternativa o adicionalmente, puede permitir modelos con dominios vacíos o permitir nombres vacíos. Hay mucho que puede hacer, pero normalmente no se hace a través de las reglas de prueba. Una vez que haya realizado los cambios, es posible que desee modificar las reglas y ver si su sistema aún funciona y está completo.

No estoy seguro de la "mejor manera", pero históricamente se construyeron lógicas alternativas, intuicionistas, modales, paraconsistentes, primero cambiando las "reglas de prueba". Encontrar la semántica adecuada fue un desarrollo posterior, y no estoy seguro de que la extensión de la lógica intensional que proporciona la teoría del modelo sea realmente la mejor manera de interpretar lo que pretenden, parece más una conveniencia técnica. E incluso hay "virtudes" técnicas para la lógica (armonía, etc.) que no provienen de la semántica, la justificación de la "sintaxis trascendental" de Girard se centra en ellas.
@Punto Conifold tomado. Creo que lo que quise decir fue: si todo lo que haces es descartar una regla, eso realmente no produce un nuevo sistema de lógica. Sigue siendo la misma lógica, con menos poder deductivo. Como usted señala, el intuicionismo se puede caracterizar por su rechazo a la eliminación de la doble negación y la ley del tercero excluido. Sin embargo, estos no son rechazados por sí mismos. Cuando Brouwer concibió por primera vez el intuicionismo, ¿no cree que sus intenciones eran principalmente 'semánticas': reemplazar VERDADERO y FALSO con algo como CONSTRUCTIBLE y REFUTABLE? Esto no es semántica formal , por supuesto.
+1 Una mención del trilema Agrippan/Münchhaussen también podría ser útil como referencia. Ya toca la mayor parte, pero en mi opinión, sería bueno darle a OP algunas ideas sobre dónde continuar con la investigación.
Creo que Brouwer, y los antirrealistas como Dummett en general, rechazarían tal reinterpretación. El título del libro de Tait, que lo promociona, Contra el intuicionismo: las matemáticas constructivas son parte de las matemáticas clásicas, habla por sí mismo. Para ellos, la noción clásica de verdad, y la semántica condicional de verdad que la acompaña, está equivocada, y las traducciones a ella son inherentemente distorsionadoras. Lo mismo ocurre con los dialeteístas y los modalistas intensionales (sin mundos posibles). Formalmente , todos ellos pueden interpretarse en términos de los demás, la semántica clásica no es especial en ese sentido.
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