Dispersión, perturbación y estados asintóticos en la fórmula de reducción de LSZ.

Estaba siguiendo el libro de Schwarz sobre la teoría cuántica de campos. Allí define el momento asintótico eigenstates. | yo⟩ ≡ | k 1 k 2 ⟩ | yo ⟩ ≡ | k 1 k 2 ⟩ y | F ⟩ ≡ | k 3 k 4 ⟩ | F ⟩ ≡ | k 3 k 4 ⟩ en el elemento de la matriz S ⟨F | S | yo⟩ ⟨ F | S | yo ⟩ como los estados propios del hamiltoniano completo, es decir, H = H 0 + H i n t H = H 0 + H yo norte t . Por lo tanto, los estados | i⟩ = | k 1 k 2 ⟩ | yo ⟩ = | k 1 k 2 ⟩ Se define como

| k 1 k 2 ⟩ = A † k 1 ( - ∞ ) a † k 2 ( - ∞ ) | Ω⟩ | k 1 k 2 ⟩ = una k 1 † ( - ∞ ) una k 2 † ( - ∞ ) | Ω ⟩

dónde | Ω⟩ | Ω ⟩ Es el vacío de la teoría de la interacción total. Entonces la fórmula de reducción LSZ conecta el elemento de matriz S ⟨F | S | yo⟩ ⟨ F | S | yo ⟩ a las funciones 'verdes' de la teoría de la interacción definida como

sol ( n ) ( x 1 , x 2 , . . . X norte ) = ⟨Ω | T [ ϕ ( x 1 ) ϕ ( x 2 ) . . . ϕ ( x norte ) ] | Ω⟩ . sol ( norte ) ( X 1 , X 2 , . . . X norte ) = ⟨ Ω | T El ϕ ( X 1 ) ϕ ( X 2 ) . . . ϕ ( X norte ) ] | Ω ⟩ .
Aquí hay algunas dudas.

Duda 1 Cuando las partículas están alejadas, la interacción puede considerarse como desactivada adiabáticamente. Por lo tanto, en t = ± ∞ t = ± ∞ Los estados son realmente estados de partículas libres y deberían haberse escrito como

| k 1 k 2 ⟩ = A † k 1 ( - ∞ ) a † k 2 ( - ∞ ) | 0⟩ | k 1 k 2 ⟩ = una k 1 † ( - ∞ ) una k 2 † ( - ∞ ) | 0 ⟩

y

| k 3 k 4 ⟩ = A † k 3 ( + ∞ ) a † k 4 ( + ∞ ) | 0⟩ | k 3 k 4 ⟩ = una k 3 † ( + ∞ ) una k 4 † ( + ∞ ) | 0 ⟩
dónde | 0⟩ | 0 ⟩ Es el vacío del pensamiento libre. No entiendo porque estos estados | yo⟩ | yo ⟩ y | F ⟩ | F ⟩ se derivan de | Ω⟩ | Ω ⟩ en lugar de | 0⟩ | 0 ⟩ .

Duda 2 Los estados inicial y final se derivaron del vacío de la teoría de la interacción. | Ω⟩ | Ω ⟩ . Según mi entendimiento, esto sugiere que los estados | yo⟩ ≡ | k 1 k 2 ⟩ | yo ⟩ ≡ | k 1 k 2 ⟩ y | F ⟩ ≡ | k 3 k 4 ⟩ | F ⟩ ≡ | k 3 k 4 ⟩ son estados propios del hamiltoniano completo H H . Desde entonces no hay perturbación, no debe haber dispersión o transición alguna.

Más referencias Incluso Peskin y Schroeder, Bjorken y Drell, Srednicki adoptan el mismo enfoque que Schwartz; ellos también definen los estados propios del impulso externo al estado propio del hamiltoniano completo H H . Sin embargo, si el sistema estaba inicialmente en un estado estacionario, ¿por qué debería sufrir una transición en ausencia de cualquier perturbación?

Recuerdo que este es un problema que también me desconcertó durante mucho tiempo, pero no recuerdo cómo lo resolví. Hmm no Ω Ω reducido a | 0⟩ | 0 ⟩ de todos modos, si t → ± ∞ t → ± ∞ ?
Debe trabajar con paquetes de ondas porque los estados que están demasiado localizados en la energía (es decir, el estado propio de energía exacta) o en los momentos (es decir, los estados propios de impulso exacto) están completamente deslocalizados en tiempo o espacio respectivamente, y por lo tanto no se puede apagar interacciones a grandes tiempos o distancias (dado que los estados todavía se superpondrían). Hay una buena explicación en el volumen I de Weinberg de QFT, capítulo 3.
@ GennaroTedesco- Después de leer varios libros, tengo la impresión de que en el límite t → ± ∞ t → ± ∞ el vacio | Ω⟩ | Ω ⟩ no se reducirá al vacío de la teoría libre | 0⟩ | 0 ⟩ porque hay interacciones que nunca pueden ser desconectadas, incluso cuando las partículas están infinitamente alejadas. Sin embargo, no estoy seguro de si esta es la respuesta correcta a la pregunta (i).
También creo que mi confusión se debe al hecho de que muchos autores utilizan la misma notación, es decir, | 0⟩ | 0 ⟩ Para interactuar y vacío libre. Pero estoy algo convencido de que en el formalismo de la LSZ, el estado de vacío a partir del cual se construyen los estados asintóticos en estado y fuera, es el vacío en interacción.
Pero, de nuevo, el libro de Schwartz (y también el libro de Itzykson-Zuber) pretende que este cambio adiabático es posible y, sin embargo, utiliza el vacío que interactúa. | Ω⟩ | Ω ⟩ Para construir estados asintóticos. No menciona que las interacciones automáticas nunca se pueden desactivar y, sin embargo, se utilizan y utilizan | Ω⟩ | Ω ⟩ Para construir estados asintóticos.

Respuestas (2)

La primera pregunta que debemos hacernos es: ¿qué es un estado de una partícula en una teoría que interactúa? Es razonable exigir que sean estados que son estados propios del impulso y estados propios de la energía. (De hecho, a medida que el Hamiltoniano y el operador de impulso viajan, estas no son dos condiciones diferentes). Weinberg, en su famoso libro de texto, dice que los estados de partículas son aquellos que se transforman bajo una representación irreductible del grupo Poincaré, pero no debemos preocuparnos. Alrededor con el grupo Poincare aquí.

Todo lo que diremos es que, en la teoría de la interacción, hay algunos estados de partículas individuales, etiquetados por

| λ k⟩ | λ k ⟩

dónde k k es el impulso de cuatro, y λ λ Es cualquier otra etiqueta que necesitemos para nuestras partículas. (En esta respuesta, trabajaré solo con un campo escalar real, pero incluso en el caso de spin-0 todavía puede haber datos adicionales que distingan a nuestras partículas en una teoría de interacción).

Ahora, sabemos que tenemos un conjunto de estados propios de impulso y energía | λ k⟩ | λ k ⟩ Que representan las partículas estables de nuestra teoría. Ahora podemos "difuminar" estos estados de impulso definidos en paquetes de ondas, usando una función de ventana gaussiana F W F W Eso tiene un cierto impulso de incertidumbre. κ κ . Denotaremos estos estados propios de energía e impulso aproximados con un subíndice W W para "ventana".

| λ k⟩ W ≡ ∫ re 3 k ′ F W ( k - k ′ ) | λ k⟩ | λ k ⟩ W ≡ ∫ re 3 k ′ F W ( k - k ′ ) | λ k ⟩

Volveremos a estos.

Ahora, el vacío libre. | 0⟩ | 0 ⟩ de H ^ 0 H ^ 0 y el verdadero vacío | Ω⟩ | Ω ⟩ de H ^ = H ^ 0 + H ^ i n t H ^ = H ^ 0 + H ^ yo norte t Son estados muy diferentes. De hecho, las partículas en la teoría de la interacción deben definirse para que se formen a partir de la acción del "operador de creación" en el verdadero vacío, siempre que definamos adecuadamente lo que entendemos por "operador de la creación" en la teoría de la interacción.

Para crear partículas de aniquilación, utilizaremos el producto interno de Klein Gordon. (Suprimimos ℏ ℏ y do do .)

( ψ 1 , ψ 2 ) K sol ≡ i ∫ re 3 x ( ψ ∗ 1 ∂ t ψ 2 - ∂ t ψ ∗ 1 ψ 2 ) ( ψ 1 , ψ 2 ) K sol ≡ yo ∫ re 3 X ( ψ 1 ∗ ∂ t ψ 2 - ∂ t ψ 1 ∗ ψ 2 )

La motivación para definir esto es que, en la teoría LIBRE, el producto interno de Klein Gordon nos da un producto interno entre estados de partícula única. Si tenemos dos estados de partícula única (en la teoría libre) | Ψ 1 ⟩ | Ψ 1 ⟩ y | Ψ 2 ⟩ | Ψ 2 ⟩ , tenemos

⟨Ψ 1 | Ψ 2 ⟩ = ( Ψ 1 , ψ 2 ) K sol ⟨ Ψ 1 | Ψ 2 ⟩ = ( ψ 1 , ψ 2 ) K sol

donde utilizamos las "funciones de onda de partícula única" de los estados definidos por

ψ yo ( x ) ≡ ⟨0 | ϕ ^ ( x ) | Ψ yo ⟩ ψ yo ( X ) ≡ ⟨ 0 | ϕ ^ ( X ) | Ψ yo ⟩

Las sutilezas de la teoría del campo libre provienen del álgebra simple de los operadores de creación y aniquilación, combinada con el hecho de que el operador de aniquilación aniquila el vacío. Intentaremos recrear esas relaciones utilizando el producto interno de Klein Gordon. Sin embargo, para hacer esto, necesitaremos usar paquetes de ondas muy separados.

De aquí en adelante, todo estará en la teoría de la interacción.

Para una función dada ψ ψ Definimos los operadores de creación y aniquilación que "crean" el estado correspondiente a esa función de onda de la siguiente manera.

una ^ † yo ( t ) ≡ - ( ψ ∗ yo ( t , ⋅ ) , ϕ ^ ( t , ⋅ ) ) K sol una ^ yo † ( t ) ≡ - ( ψ yo ∗ ( t , ⋅ ) , ϕ ^ ( t , ⋅ ) ) K sol
una ^ yo ( t ) = ( ψ yo ( t , ⋅ ) , ϕ ^ ( t , ⋅ ) ) K sol una ^ yo ( t ) = ( ψ yo ( t , ⋅ ) , ϕ ^ ( t , ⋅ ) ) K sol

(En la teoría libre, este operador de creación literalmente crearía el estado de partícula única con la función de onda de partícula única ψ 1 ψ 1 .)

(Algo que debo mencionar acerca de estos operadores es su evolución temporal. Es un punto de confusión notatoria que una ^ † 1 ( t ) una ^ 1 † ( t ) depende explícitamente de un tiempo t t , dado que usualmente tenemos definida la dependencia del tiempo tal que mi i H ^ t O ^ ( t ′ ) e - i H ^ t = O ^ ( t ′ + t ) mi yo H ^ t O ^ ( t ′ ) mi - yo H ^ t = O ^ ( t ′ + t ) . Este no es el caso aquí.)

Ahora, tristemente, en la teoría de la interacción, el operador de aniquilación definido anteriormente no aniquilará el vacío. Sin embargo, podemos recuperar algo de cerca:

⟨Ω | una ^ 1 ( t ) | Ω⟩ = i ∫ re 3 x ⟨Ω | ( ψ ∗ 1 ( t , x ⃗ ) ∂ t ϕ ^ ( t , x ⃗ ) - ∂ t ψ ∗ 1 ( t , x ⃗ ) ϕ ^ ( t , x ⃗ ) ) | Ω⟩ ⟨ Ω | una ^ 1 ( t ) | Ω ⟩ = yo ∫ re 3 X ⟨ Ω | ( ψ 1 ∗ ( t , X → ) ∂ t ϕ ^ ( t , X → ) - ∂ t ψ 1 ∗ ( t , X → ) ϕ ^ ( t , X → ) ) | Ω ⟩
= i ∫ re 3 x ( ψ ∗ 1 ( t , x ⃗ ) ∂ t ⟨Ω | ϕ ^ ( t , x ⃗ ) | Ω⟩ - ∂ t ψ ∗ 1 ( t , x ⃗ ) ⟨Ω | ϕ ^ ( t , x ⃗ ) | Ω⟩ ) = yo ∫ re 3 X ( ψ 1 ∗ ( t , X → ) ∂ t ⟨ Ω | ϕ ^ ( t , X → ) | Ω ⟩ - ∂ t ψ 1 ∗ ( t , X → ) ⟨ Ω | ϕ ^ ( t , X → ) | Ω ⟩ )
= i ⟨Ω | ϕ ^ ( t , x ⃗ ) | Ω⟩ ∫ re 3 x ( - ∂ t ψ ∗ 1 ( t , x ⃗ ) ) = yo ⟨ Ω | ϕ ^ ( t , X → ) | Ω ⟩ ∫ re 3 X ( - ∂ t ψ 1 ∗ ( t , X → ) )

El hecho de que ∂ t ⟨Ω | ϕ ^ ( t , x ⃗ ) | Ω⟩ = 0 ∂ t ⟨ Ω | ϕ ^ ( t , X → ) | Ω ⟩ = 0 se deduce directamente del hecho de que el estado de vacío tiene energía cero, por lo que mi - i H ^ t | Ω⟩ = | Ω⟩ mi - yo H ^ t | Ω ⟩ = | Ω ⟩ . Ahora como queramos ⟨Ω | una ^ 1 ( t ) | Ω⟩ = 0 ⟨ Ω | una ^ 1 ( t ) | Ω ⟩ = 0 para cualquier ψ 1 ψ 1 , podemos ver que esto se logra si y solo si ⟨Ω | ϕ ^ ( x ) | Ω⟩ = ⟨Ω | ϕ ^ ( 0 ) | Ω⟩ = 0 ⟨ Ω | ϕ ^ ( X ) | Ω ⟩ = ⟨ Ω | ϕ ^ ( 0 ) | Ω ⟩ = 0 . Asumiremos que este es el caso.

En la teoría libre, ⟨0 | una ^ 1 ( t ) a ^ † 2 ( t ) | 0⟩ = ⟨ 1 | Ψ 2 ⟩ = ( Ψ 1 , ψ 2 ) K sol ⟨ 0 | una ^ 1 ( t ) una ^ 2 † ( t ) | 0 ⟩ = ⟨ Ψ 1 | Ψ 2 ⟩ = ( ψ 1 , ψ 2 ) K sol . En una teoría interactiva, para cualquier una ^ 1 una ^ 1 y estado | Ψ 2 ⟩ | Ψ 2 ⟩ (No solo un estado de partícula única) tenemos

⟨Ω | una ^ 1 ( t ) | Ψ 2 ⟩ = ⟨ | ( ψ 1 ( t , ⋅ ) , ϕ ^ ( t , ⋅ ) ) K sol | Ψ 2 ⟩ ⟨ Ω | una ^ 1 ( t ) | Ψ 2 ⟩ = ⟨ Ω | ( ψ 1 ( t , ⋅ ) , ϕ ^ ( t , ⋅ ) ) K sol | Ψ 2 ⟩
= ( ψ 1 ( t , ⋅ ) , ⟨Ω | ϕ ^ ( t , ⋅ ) | Ψ 2 ⟩ ) K sol = ( ψ 1 ( t , ⋅ ) , ⟨ Ω | ϕ ^ ( t , ⋅ ) | Ψ 2 ⟩ ) K sol
= ( ψ 1 ( t , ⋅ ) , ψ 2 ( t , ⋅ ) ) K sol = ( ψ 1 ( t , ⋅ ) , ψ 2 ( t , ⋅ ) ) K sol

⟨Ψ 2 | una ^ 1 ( t ) | Ω⟩ = ( ψ 1 ( t , ⋅ ) , ψ ∗ 2 ( t , ⋅ ) ) K sol ⟨ Ψ 2 | una ^ 1 ( t ) | Ω ⟩ = ( ψ 1 ( t , ⋅ ) , ψ 2 ∗ ( t , ⋅ ) ) K sol

¿Recuerdas nuestros estados de partícula única? Ahora vamos a considerar la "función de onda de partícula única" de esos estados. Es decir, tienen que ser ondas planas.

⟨Ω | ϕ ^ ( x ) | λ k⟩ = C λ mi - i k x ⟨ Ω | ϕ ^ ( X ) | λ k ⟩ = do λ mi - yo k X

dónde do λ do λ Es una constante que depende de λ λ .

Ahora queremos ver lo que nuestros estados una ^ † 1 | Ω⟩ una ^ 1 † | Ω ⟩ tiene que ver con estos paquetes de onda de partículas verdaderas | λ k⟩ W | λ k ⟩ W . Para hacer esto, veremos cuál es el producto interno de estos dos estados. Solo de nuestro sencillo álgebra anterior, para un operador de aniquilación una ^ λ 1 k 1 = ( ψ k 1 , ϕ ^ ) K sol una ^ λ 1 k 1 = ( ψ k 1 , ϕ ^ ) K sol dónde k 2 1 = m 2 λ 1 k 1 2 = metro λ 1 2 , tenemos

⟨Ω | una ^ λ 1 k 1 ( t ) | λ 2 k 2 ⟩ W = ( ψ k 1 ( t , ⋅ ) , ⟨Ω | ϕ ^ ( t , ⋅ ) | λ 2 k 2 ⟩ W ) K sol = C λ 2 ( ψ k 1 ( t , ⋅ ) , ψ k 2 ( t , ⋅ ) ) K sol W ⟨Λ 2 k 2 | una ^ λ 1 k 1 ( t ) | Ω⟩ = ( ψ k 1 ( t , ⋅ ) , W ⟨Λ 2 k 2 | ϕ ^ ( t , ⋅ ) | Ω⟩ ) K sol = C λ 2 ( ψ k 1 ( t , ⋅ ) , ψ ∗ k 2 ( t , ⋅ ) ) K sol . ⟨ Ω | una ^ λ 1 k 1 ( t ) | λ 2 k 2 ⟩ W = ( ψ k 1 ( t , ⋅ ) , ⟨ Ω | ϕ ^ ( t , ⋅ ) | λ 2 k 2 ⟩ W ) K sol = do λ 2 ( ψ k 1 ( t , ⋅ ) , ψ k 2 ( t , ⋅ ) ) K sol W ⟨ λ 2 k 2 | una ^ λ 1 k 1 ( t ) | Ω ⟩ = ( ψ k 1 ( t , ⋅ ) , W ⟨ λ 2 k 2 | ϕ ^ ( t , ⋅ ) | Ω ⟩ ) K sol = do λ 2 ( ψ k 1 ( t , ⋅ ) , ψ k 2 ∗ ( t , ⋅ ) ) K sol .
Deseamos que la máxima expresión sea ∝ δ λ 1 λ 2 δ 3 ( k 1 - k 2 ) ∝ δ λ 1 λ 2 δ 3 ( k 1 - k 2 ) y para que la expresión inferior sea 0. Si este fuera el caso, entonces el único estado de partícula única una ^ † k 1 ( t ) | Ω⟩ una ^ k 1 † ( t ) | Ω ⟩ se superpondría con sería | λ 1 k 1 ⟩ | λ 1 k 1 ⟩ y una ^ k 1 ( t ) una ^ k 1 ( t ) Aún podría funcionalmente "aniquilar" el vacío, aunque necesitamos mantener W ⟨Λ k | W ⟨ λ k | a la izquierda. Definiendo ω λ k ≡ ( m 2 λ + k 2 ) 1 2 ω λ k ≡ ( metro λ 2 + k 2 ) 1 2 , tenemos

( ψ k 1 ( t , ⋅ ) , ψ k 2 ( t , ⋅ ) ) K sol = ( 2 π ) 3 ∫ re 3 k f W ( k 1 - k ) f W ( k 2 - k ) ( ω λ 1 k + ω λ 2 k ) e i t ( ω λ 1 k - ω λ 2 k ) ( ψ k 1 ( t , ⋅ ) , ψ ∗ k 2 ( t , ⋅ ) ) K sol = ( 2 π ) 3 ∫ re 3 k f W ( k 1 - k ) f W ( k 2 + k ) ( ω λ 1 k - ω λ 2 k ) e i t ( ω λ 1 k + ω λ 2 k ) . ( ψ k 1 ( t , ⋅ ) , ψ k 2 ( t , ⋅ ) ) K sol = ( 2 π ) 3 ∫ re 3 k F W ( k 1 - k ) F W ( k 2 - k ) ( ω λ 1 k + ω λ 2 k ) mi yo t ( ω λ 1 k - ω λ 2 k ) ( ψ k 1 ( t , ⋅ ) , ψ k 2 ∗ ( t , ⋅ ) ) K sol = ( 2 π ) 3 ∫ re 3 k F W ( k 1 - k ) F W ( k 2 + k ) ( ω λ 1 k - ω λ 2 k ) mi yo t ( ω λ 1 k + ω λ 2 k ) .

La expresión superior no es ∝ δ λ 1 λ 2 δ 3 W ( k 1 - k 2 ) ∝ δ λ 1 λ 2 δ W 3 ( k 1 - k 2 ) y la expresión inferior no es 0 0 . Sin embargo, si tomamos κ ≪ | k 1 - k 2 | κ ≪ | k 1 - k 2 | y también tomar t → ± ∞ t → ± ∞ , ¡son! Esto depende de nuestra suposición de que metro λ 1 ≠ m λ 2 metro λ 1 ≠ metro λ 2 Si λ 1 ≠ λ 2 λ 1 ≠ λ 2 . los mi i t ( … ) mi yo t ( ... ) término oscilará salvajemente en ambas integrales si λ 1 ≠ λ 2 λ 1 ≠ λ 2 , causando que sean 0. En la integral superior, esta oscilación no ocurre cuando λ 1 = λ 2 λ 1 = λ 2 . Además, la integral superior será despreciable a menos que k 1 = k 2 k 1 = k 2 . Tomando el F W ( k ) → δ 3 ( k ) F W ( k ) → δ 3 ( k ) y t → ± ∞ t → ± ∞ límite, ahora podemos escribir

⟨Λ 2 k 2 | una ^ † λ 1 k 1 ( ± ∞ ) | Ω⟩ = C λ 2 ( 2 π ) 3 2 ω λ 2 k 2 δ λ 1 λ 2 δ 3 ( k 1 - k 2 ) ⟨Λ 2 k 2 | una ^ λ 1 k 1 ( ± ∞ ) | Ω⟩ = 0. ⟨ λ 2 k 2 | una ^ λ 1 k 1 † ( ± ∞ ) | Ω ⟩ = do λ 2 ( 2 π ) 3 2 ω λ 2 k 2 δ λ 1 λ 2 δ 3 ( k 1 - k 2 ) ⟨ λ 2 k 2 | una ^ λ 1 k 1 ( ± ∞ ) | Ω ⟩ = 0.
Estas propiedades son aún más importantes de lo que digo. Esto es porque los estados | λ k⟩ | λ k ⟩ se definen de manera tan general: son solo estados propios de impulso con todos los datos adicionales necesarios incluidos en λ λ . A medida que diagonalizan al operador de impulso, ¡forman una base de todo nuestro espacio estatal! Por lo tanto, podemos ver inmediatamente en la primera ecuación que

una ^ † λ k ( ± ∞ ) | Ω⟩ = - C λ ( e i k x , ϕ ^ ( x ) ) K sol | Ω⟩ | t = ± ∞ = | λ k⟩ una ^ λ k † ( ± ∞ ) | Ω ⟩ = - do λ ( mi yo k X , ϕ ^ ( X ) ) K sol | Ω ⟩ | t = ± ∞ = | λ k ⟩
Donde hemos elegido la normalización. ⟨Λ k | λ ′ k ′ ⟩ = C ∗ λ do λ ′ ( 2 π ) 3 ( 2 λ k ) δ λ λ ′ δ 3 ( k - k ′ ) ⟨ λ k | λ ′ k ′ ⟩ = do λ ∗ do λ ′ ( 2 π ) 3 ( 2 ω λ k ) δ λ λ ′ δ 3 ( k - k ′ ) . A partir de la segunda ecuación, podemos ver inmediatamente que

⟨Ψ | una ^ λ k ( ± ∞ ) | Ω⟩ = 0 para todos los ⟨Ψ | ⟹ una ^ λ k ( ± ∞ ) | Ω⟩ = 0. ⟨ Ψ | una ^ λ k ( ± ∞ ) | Ω ⟩ = 0 para todos ⟨ Ψ | ⟹ una ^ λ k ( ± ∞ ) | Ω ⟩ = 0.
¡Aparentemente nuestros operadores asintóticos de creación y aniquilación se comportan casi exactamente como nuestros buenos operadores de aniquilación y creación de la teoría libre!

Hay otra propiedad importante que debo mencionar, que es que dos operadores de creación / aniquilación que tienen diferentes λ k λ k los datos se conmutarán. Esto es una consecuencia directa del hecho de que nuestros operadores de creación / aniquilación son integrales espaciales ponderadas por paquetes de ondas que se separan espacialmente en grandes momentos. (Para operadores con el mismo k k pero diferente λ λ , como metro λ metro λ es diferente, los paquetes de ondas se propagarán a diferentes velocidades y aún así podrán separarse.) Tenga en cuenta que la separación espacial es una propiedad de los paquetes de ondas, pero no de las ondas planas. Este es otro lugar donde es necesario ver las ondas planas como un límite de paquetes de ondas para comprender adecuadamente su teoría. De hecho, los operadores no conmutarán a menos que estén definidos con este procedimiento de limitación.

Finalmente estamos listos para definir nuestros estados de múltiples partículas entrantes y salientes. Dado que nuestros operadores de creación asintótica solo cambian el estado fundamental en regiones espaciales localizadas y cada excitación espacial se denomina justificadamente un "estado de partículas", podemos decir que actuar con algunos de ellos en el estado base creará un estado de partículas múltiples perfectamente bueno. Ahora definiremos nuestro entrante (creado en t = - ∞ t = - ∞ ) y saliente (creado en t = + ∞ t = + ∞ ) Estados asintóticos multipartículas.

| λ 1 k 1 , … , Λ norte k norte ⟩ i n ≡ a ^ † λ 1 k 1 ( - ∞ ) ... a ^ † λ norte k norte ( - ∞ ) | Ω⟩ | λ 1 k 1 , … , Λ norte k norte ⟩ o u t ≡ a ^ † λ 1 k 1 ( + ∞ ) ... a ^ † λ norte k norte ( + ∞ ) | Ω⟩ | λ 1 k 1 , ... , λ norte k norte ⟩ yo norte ≡ una ^ λ 1 k 1 † ( - ∞ ) ... una ^ λ norte k norte † ( - ∞ ) | Ω ⟩ | λ 1 k 1 , ... , λ norte k norte ⟩ o tu t ≡ una ^ λ 1 k 1 † ( + ∞ ) ... una ^ λ norte k norte † ( + ∞ ) | Ω ⟩

Los cuatro momenta k yo k yo tendrá misas k 2 yo = m 2 λ yo k yo 2 = metro λ yo 2 y no | λ yo k yo ⟩ | λ yo k yo ⟩ Se le permite igualar a otro. Algunas personas prefieren volver a escalar ϕ ^ ϕ ^ con el fin de ocultar esos do λ do λ Prefactores pero no lo haré. La naturaleza de estos prefactores será explorada mucho más tarde. Es importante tener en cuenta que el momento total de estos estados es aproximadamente la suma de todos k yo k yo , y la energía es aproximadamente la suma de todos ω λ yo k yo ω λ yo k yo . Esto le da más credibilidad a la noción de que estos son estados de "múltiples partículas".

Ahora que hemos definido con éxito nuestros estados de múltiples partículas asintóticos entrantes y salientes y derivado algunas propiedades importantes de nuestros operadores asintóticos de creación y aniquilación recientemente construidos, hemos completado el marco necesario para derivar la fórmula de reducción de LSZ. Usando las propiedades definidas aquí, debería poder seguir de manera justificada los pasos descritos en Srednicki.

Para responder a su duda 2: Para obtener los estados que tienen las propiedades correctas, necesitamos que estos sean paquetes de onda que estén ampliamente separados en el pasado y el futuro distantes. Por lo tanto, estos estados son solo estados de impulso y energía aproximadamente (aunque puede acercarse lo más que desee). Como no son estados propios de energía perfectos, ocurrirá algo de evolución temporal. Las partículas comenzarán muy alejadas, se unirán, interactuarán, entonces (las diferentes) se irán.

TLDR: Si define los operadores de creación y aniquilación correctamente, utilizando el producto interno de Klein Gordon con paquetes de ondas muy separados en el pasado / futuro lejano, obtendrá sus estados de partículas reales cuando actúe con estos operadores en el verdadero vacío | Ω⟩ | Ω ⟩ .

Sé que esta pregunta es muy antigua, pero quiero saber qué libro estaba leyendo. Suena como una teoría completamente diferente de los libros de texto de posgrado.

Duda 1: No puedes simplemente poner t = ± ∞ t = ± ∞ ya que todas las fórmulas pierden sentido a menos que el límite se haga con cuidado. La prueba del teorema LSZ de Haag y Ruelle muestra que uno necesita el vacío que interactúa. Se puede entender la situación relativista mirando primero la situación no relativista más simple, donde un artículo de Sandhas [1] proporciona el análogo no relativista del tratamiento de Haag y Ruelle.

Duda 2: los estados asintóticos de una sola partícula son estados propios, pero estos no se dispersan. Necesita más de una partícula para la dispersión no trivial, y los estados del producto ya no son estados propios.

En el Curso de Thirring en Física Matemática, vol. 3, hay una discusión clara de los estados asintóticos, nuevamente en la situación no relativista. No son estados propios del hamiltoniano: los estados propios (generalizados) no son las ondas planas asintóticas, sino las soluciones de las ecuaciones de Lippmann-Schwinger. (Tome 2 partículas y véalas en el centro del marco de masa, para ver la conexión). Esto hace que su duda 2 sea discutible.

[1]: W. Sandhas, Definición y existencia de estados de dispersión multicanal, Communications in Mathematical Physics 3.5 (1966): 358-374. https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.cmp/1103839514

Pero todos los libros que cité afirman que son estados propios del Hamiltoniano completo. Entonces, ¿están todos equivocados? @ArnoldNeumaier
@SRS: Cite uno de estos libros con el número de página y el reclamo explícito (editando su pregunta). Los estados asintóticos de partícula única son estados propios, pero estos no se dispersan. Necesita más de una partícula para la dispersión no trivial, y los estados del producto ya no son estados propios.
Dispersión, perturbación y estados asintóticos en la fórmula de reducción de LSZ.
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