¿Son todos los pseudoscalars en secreto los bosones de Goldstone?

Un bosón de Goldstone pseudoscalar, π ( x ) π ( X ) , está protegido por una simetría de cambio: aparece con un derivado en sus términos de interacción en un lagrangiano. Como un pseudoscalar, también podemos escribirlo con el habitual i γ 5 yo γ 5 Interacción. Por lo tanto, hay dos formas de codificar la interacción:

  1. Cambie el colector de simetría:

    L = ( μ π v ) Ψ ¯ γ μ γ 5 Ψ L = ( ∂ μ π v ) Ψ ¯ γ μ γ 5 Ψ

  2. Manifiesto pseudoscalar:

    L = g π Ψ ¯ i γ 5 Ψ L = sol π Ψ ¯ yo γ 5 Ψ

Estos dos están relacionados por la ecuación de movimiento, de modo que sol = 2 q m / f sol = 2 q metro / F , dónde metro metro es la masa fermión, F F es el parámetro de orden de la ruptura de simetría, y q q Es la carga con respecto a la simetría axial rota.

Mi pregunta es : En la forma manifiesta de cambio de simetría, sabemos que los bucles de fermión no generan una masa pseudoscalar. Sin embargo, la forma manifiesta pseudoscalar de la interacción parece una interacción pseudoscalar genérica sin protección de simetría π π de recibir correcciones masivas de Ψ Ψ bucles Asi que:

  1. Como vemos eso π π ¿Está protegido por una simetría cuando escribimos la interacción en el formato manifiestamente pseudoscalar?

  2. Por el contrario, podría escribir cualquier interacción pseudoscalar como sol π Ψ ¯ i γ 5 Ψ sol π Ψ ¯ yo γ 5 Ψ ¿Esto significa que puedo usar la ecuación de movimiento del fermión para convertir cualquier interacción pseudoscalar en una que tenga simetría de desplazamiento?

Los detalles siguen, pero la pregunta principal se establece anteriormente.

Ejemplo

Configuración: interacción Goldstone con fermiones.

Mostramos cómo convertir entre las formas simétricas de cambio y pseudoscalar de la interacción. Para simplificar, asuma el caso de una simetría U (1) global, interna y compacta que se rompe espontáneamente por un campo H H que obtiene un vev ⟨H ⟩ = F ⟨ H ⟩ = F . Que la teoría contenga un fermión zurdo. ψ L ψ L y un fermion diestro ψ R ψ R . Supongamos cargas axiales de U (1) tales que

Q [ H ] = 2 q Q [ ψ L ] = q Q [ ψ R ] = - q Q El H ] = 2 q Q El ψ L ] = q Q El ψ R ] = - q

Entonces podemos escribir la teoría con una interacción de Yukawa:

L Yuk = y H ∗ ψ ¯ L ψ R + hc L Yuk = y H ∗ ψ ¯ L ψ R + hc

Ahora "sacamos los campos de Goldstone" de los campos. Para ello, transformamos cada campo. Φ ∈ { H , ψ L , ψ R } Φ ∈ { H , ψ L , ψ R } Por la simetría espontáneamente rota:

Φ = e i q Φ ϵ Φ ′ Φ = mi yo q Φ ϵ Φ ′

Al lado derecho, Φ ′ Φ ′ Se entiende que es el campo sin componente Goldstone. El Goldstone vive en el exponencial. Para el caso U (1), ϵ ϵ es el parámetro de transformación, y q Φ q Φ es la carga U (1) de la Φ Φ .

Luego simplemente promovemos el parámetro de transformación al campo Goldstone, ϵ → π ( x ) / f ϵ → π ( X ) / F . Esta es una transformación no lineal para ayudar a identificar la interacción Goldstone (Sec. 19.6 de Weinberg Vol II o CCWZ II ). Esto da

Φ ( x ) = exp ( i q Φ π ( x ) F ) Φ ′ Φ ( X ) = exp ⁡ ( yo q Φ π ( X ) F ) Φ ′

Cuando hacemos esto,

L En t = y H ′ ∗ mi - 2 i q ψ ¯ ′ L mi i q mi i q ψ ′ R + hc = y H ′ ∗ ψ ¯ ′ L ψ ′ R + hc L En t = y H ′ ∗ mi - 2 yo q ψ ¯ L ′ mi yo q mi yo q ψ R ′ + hc = y H ′ ∗ ψ ¯ L ′ ψ R ′ + hc

El Goldstone ha sido completamente eliminado del término Yukawa y no aparece allí. Esto es una consecuencia de la conservación de U (1) del término lagrangiano. ¿A dónde fue la interacción? Sabemos que la Goldstone debe tener una interacción derivada, por lo que el lugar natural para buscar es el término cinético fermión.

Escribir los términos cinéticos con operadores de proyección implícitos (alternativamente, puede reemplazar γ μ γ μ con σ μ σ μ o σ ¯ μ σ ¯ μ según sea apropiado):

L parentesco = i ψ ¯ L γ μ ∂ μ ψ L + i ψ ¯ R γ μ ∂ μ ψ R L parentesco = yo ψ ¯ L γ μ ∂ μ ψ L + yo ψ ¯ R γ μ ∂ μ ψ R

Reemplazo ψ L , R ψ L , R por los campos con el Goldstone sacado:

L parentesco = i ψ ¯ ′ L mi - i q π ( x ) / f γ μ ∂ μ ( e i q π ( x ) / f ψ ′ L ) + = i ψ ¯ ′ R mi i q π ( x ) / f γ μ ∂ μ ( e - i q π ( x ) / f ψ ′ R ) L parentesco = yo ψ ¯ L ′ mi - yo q π ( X ) / F γ μ ∂ μ ( mi yo q π ( X ) / F ψ L ′ ) + = yo ψ ¯ R ′ mi yo q π ( X ) / F γ μ ∂ μ ( mi - yo q π ( X ) / F ψ R ′ )

Además de los términos cinéticos habituales, estos proporcionan términos en los que el derivado actúa sobre la Goldstone, π ( x ) π ( X ) . Estos son los términos de interacción que son nuestro enfoque principal. Para simplificar, combinemos los rotores quirales zurdos y diestros. ψ ′ L , R ψ L , R ′ en un spinor de Dirac, Ψ = ( F ′ , f ′ ) T Ψ = ( F ′ , F ′ ) T y utilizar los operadores de proyección. 1 2 ( 1 ± γ 5 ) 1 2 ( 1 ± γ 5 ) :

L En t = i ( i q F ∂ μ π ) Ψ ¯ γ μ 1 2 ( 1 - γ 5 ) Ψ + i ( - i q F ∂ μ π ) Ψ ¯ γ μ 1 2 ( 1 + γ 5 ) Ψ L En t = yo ( yo q F ∂ μ π ) Ψ ¯ γ μ 1 2 ( 1 - γ 5 ) Ψ + yo ( - yo q F ∂ μ π ) Ψ ¯ γ μ 1 2 ( 1 + γ 5 ) Ψ
Estos términos se combinan simplemente en:
L En t = q F ( ∂ μ π ) Ψ ¯ γ μ γ 5 Ψ   . L En t = q F ( ∂ μ π ) Ψ ¯ γ μ γ 5 Ψ .

Llegamos así al término de interacción Goldstone - fermión en la forma manifiesta de cambio simétrico: claramente π π es invariante bajo π ( x ) → π ( x ) + c π ( X ) → π ( X ) + do y así está protegido de las correcciones cuánticas que podrían generar un término en masa metro 2 π π 2 metro π 2 π 2 .

Usando la ecuación de movimiento de fermión

Ahora podemos usar la ecuación de movimiento de fermión para convertir esta forma simétrica de desplazamiento de L En t L En t en uno que es manifiestamente pseudoscalar. Recordemos que la ecuación de movimiento en notación de Dirac es:

i γ μ ∂ μ Ψ = m Ψ yo γ μ ∂ μ Ψ = metro Ψ

Armados con esto, ahora podemos integrar L En t L En t por partes para cambiar la derivada de la π π Al fermión bilineal. Suponemos que no hay un término superficial para que la integración por partes en la acción equivalga a un signo menos y mueva la derivada en el Lagrangiano:

L En t = q F π ∂ μ ( Ψ ¯ γ μ γ 5 Ψ ) = q F π [ ( ∂ μ Ψ ¯ ) γ μ γ 5 Ψ + Ψ ¯ γ μ γ 5 ∂ μ Ψ ] = q F π [ ( ∂ μ Ψ ) † ( γ 0 γ μ γ 0 ) γ 0 γ 5 Ψ - Ψ ¯ γ 5 γ μ ∂ μ Ψ ] = q F π [ ( γ μ ∂ μ Ψ ) † γ 0 γ 5 Ψ - Ψ ¯ γ 5 γ μ ∂ μ Ψ ] = q F π [ ( - i m Ψ ) † γ 0 γ 5 Ψ - Ψ ¯ γ 5 ( - i m ) ] = 2 i q metro F π Ψ ¯ γ 5 Ψ   . L En t = q F π ∂ μ ( Ψ ¯ γ μ γ 5 Ψ ) = q F π El ( ∂ μ Ψ ¯ ) γ μ γ 5 Ψ + Ψ ¯ γ μ γ 5 ∂ μ Ψ ] = q F π El ( ∂ μ Ψ ) † ( γ 0 γ μ γ 0 ) γ 0 γ 5 Ψ - Ψ ¯ γ 5 γ μ ∂ μ Ψ ] = q F π El ( γ μ ∂ μ Ψ ) † γ 0 γ 5 Ψ - Ψ ¯ γ 5 γ μ ∂ μ Ψ ] = q F π El ( - yo metro Ψ ) † γ 0 γ 5 Ψ - Ψ ¯ γ 5 ( - yo metro Ψ ) ] = 2 yo q metro F π Ψ ¯ γ 5 Ψ .

Esto ahora nos da nuestra interacción manifiestamente pseudoscalar entre los Goldstone. π π y los fermiones.

Reiteración del puzzle.

Así que el enigma es que:

  • Las formas de interacción simétrica y pseudoscalar de la interacción parecen perfectamente equivalentes.

  • Sin embargo, la forma pseudoscalar de la interacción parece perfectamente general. Se podría sintonizar la masa del fermión. metro metro para ser lo que quieras, afinando el acoplamiento Yukawa y y . Esto, a su vez, melodías. sol = 2 q m / f sol = 2 q metro / F Ser cualquier acoplamiento pseudoscalar. ¿Significa esto que cualquier interacción pseudoscalar entre fermiones masivos puede escribirse como una interacción de Goldstone?

  • En la versión manifiestamente pseudoscalar de la teoría, hay contribuciones en bucle a la π π masa manifiestamente cero? Esto no parece ser el caso genéricamente. (Ver, por ejemplo, esta discusión basada en un problema en Peskin y Schroeder )

  • Entonces: en el caso donde realmente hay una simetría rota espontáneamente, debería haber un cambio de simetría que proteja a la π π Pero, ¿cómo podemos ver el efecto de esa simetría de cambio cuando calculamos los bucles en la teoría pseudoscalar?

  • Alternativamente, si tomamos una teoría pseudoscalar genérica sin simetría de cambio (es decir, la pseudoscalar no es una piedra de oro), entonces lo que me impide usar la ecuación de movimiento para escribir la interacción en una forma manifiestamente de cambio simétrico y agitar las manos allí. ¿Debería ser una simetría de cambio?

Estimado @Cosmas Zachos, gracias por darte cuenta de esto. He corregido (1) para incluir una falta γ 5 γ 5 De modo que se trata de un acoplamiento axial. También he actualizado la siguiente discusión para simplificarla haciendo la simetría global manifiestamente axial. Por favor, avíseme si hay alguna otra expectativa irrazonable sobre el lector. Espero más ideas.
Gracias por su comentario adicional, me disculpo por la confusión. Pensaré con más cuidado si hay maneras de aclarar tanto para mí como para el lector. Creo que incluso sin el modelo explícito (que son los detalles), la pregunta simplemente se plantea en la primera parte de la pregunta: dada la forma (1), ¿no puede integrarse por partes para obtener la forma (2) y por lo tanto argumentar que ¿son lo mismo?
Para simplificar: se puede ignorar por completo el modelo explícito y considerar el axión, simplemente desactive el grupo de indicadores del Modelo estándar para que se convierta en una teoría bastante simple. ¿Eso te lleva a la ecuación (1) y (2)?
Las dos descripciones no son equivalentes como he explicado en los comentarios a Cosmas Zachos. Las ecuaciones de movimiento que usas son solo las libres, y las que se mantienen solo para las piernas externas y no, por ejemplo, en el bucle fermiónico que genera la masa de pión en la teoría pseudoscalar del yukawa. Las dos teorías son equivalentes solo en orden lineal en pi. También puede calcular una amplitud en las dos teorías y mostrar que son diferentes.
Como ves, la respuesta ha cambiado desde que Cosmas tuvo que reintroducir el campo sigma '. Realmente no tenía que hacerlo, podría simplemente haber agregado las correcciones no lineales de pi para resolver correctamente las restricciones, ya que estaba trabajando en el límite de masa de signo infinito. De todos modos, nuevamente, el mensaje para llevar es exactamente el opuesto al que se dio: las dos teorías, yukawa vs gradiente, no son equivalentes. En particular, el primero generará una masa pi en un bucle.

Respuestas (2)

Las dos teorías, a saber, el `` modelo de gradiente '' ∂ μ π Ψ ¯ γ 5 γ μ Ψ ∂ μ π Ψ ¯ γ 5 γ μ Ψ y el modelo Yukawa sol π Ψ ¯ γ 5 Ψ sol π Ψ ¯ γ 5 Ψ (ambos con una masiva Ψ Ψ ), definitivamente no son equivalentes . Tienen diferentes simetrías, espectro y amplitudes de dispersión, por lo que son teorías físicamente distintas . El error principal que usted (el OP) está haciendo es usar las ecuaciones de movimiento libres para los fermiones, pero eso está bien solo para los tramos externos y no para los virtuales que entran, por ejemplo, en el cálculo de un ciclo de la π π masa, o como mostraré a continuación en una amplitud de dispersión con un virtual intermedio ψ ψ intercambiado (El error que Cosmas Zachos estaba cometiendo en su respuesta anterior y que en parte todavía se está cometiendo en la respuesta ligeramente mejorada se explica en mis comentarios a su respuesta, no lo repetiré aquí).

El modelo de gradiente es de hecho invariante bajo π → π + c o n s t π → π + do o norte s t lo que claramente prohíbe un término masivo para π π . Este no es el caso del modelo Yukawa, donde se necesita una masa desnuda para eliminar la masa divergente cuadrática generada por los bucles de fermión. Por lo tanto, una masa física del polo es genéricamente nula, salvo el ajuste fino.

Más importante aún, los bosones de Goldstone (GB) no son solo partículas sin masa, tienen varias características especiales. Por ejemplo, los GB blandos (ese es el límite de la desaparición π π -momento) proporciona amplitudes de dispersión que desaparecen (la llamada condición de cero de Adler). Esto se realiza para la teoría del gradiente, pero no para la teoría de Yukawa. Veamos esto con más detalle observando una amplitud de dispersión física π Ψ → π Ψ π Ψ → π Ψ . Para la teoría de Yukawa uno tiene

METRO Y u k a w a π Ψ → π Ψ = - g 2 [ u ¯ ( p ′ 2 ) i ( γ α pag α 1 + γ α pag α 2 - m ) s - m 2 + i ϵ tu ( p 2 ) + cruzado diag. ] METRO π Ψ → π Ψ Y tu k una w una = - sol 2 El tu ¯ ( pag 2 ′ ) yo ( γ α pag 1 α + γ α pag 2 α - metro ) s - metro 2 + yo ϵ tu ( pag 2 ) + cruzada diag. ]
para π ( p 1 ) Ψ ( p 2 ) → π ( p ′ 1 ) Ψ ( p ′ 2 ) π ( pag 1 ) Ψ ( pag 2 ) → π ( pag 1 ′ ) Ψ ( pag 2 ′ ) . los γ 5 γ 5 se han movido y simplificado con el numerador del propagador del fermión, es decir, γ 5 i ( γ α pag α 1 + γ α pag α 2 + m ) γ 5 = - i ( γ α pag α 1 + γ α pag α 2 - m ) γ 5 yo ( γ α pag 1 α + γ α pag 2 α + metro ) γ 5 = - yo ( γ α pag 1 α + γ α pag 2 α - metro ) . Podríamos haber simplificado el numerador usando γ α pag α 2 tu ( p 2 ) = m u ( p 2 ) γ α pag 2 α tu ( pag 2 ) = metro tu ( pag 2 ) , dónde metro metro es la masa de fermión, pero es más conveniente esta forma en la siguiente. Hay una contribución de canal s, que se muestra explícitamente, junto con un diagrama cruzado que no mostramos explícitamente.

(descargo de responsabilidad: estoy haciendo este cálculo a mano en un Ipad, espero que no sea muy incorrecto :-), aunque es probable que los factores de 2 y menos signos estén desactivados)

Esta METRO Y u k a w a π Ψ → π Ψ METRO π Ψ → π Ψ Y tu k una w una no desaparece para pag 1 → 0 pag 1 → 0 porque, a pesar de que el numerador va a cero (es decir, γ α pag α 1 + γ α pag α 2 - m ) u ( p 2 ) = γ α pag α 1 tu ( p 2 ) → 0 γ α pag 1 α + γ α pag 2 α - metro ) tu ( pag 2 ) = γ α pag 1 α tu ( pag 2 ) → 0 ), también lo hace el denominador a la misma tasa ( s - m 2 = 2 p 1 α pag α 2 → 0 s - metro 2 = 2 pag 1 α pag 2 α → 0 ; Aquí estoy asumiendo que hemos sintonizado el espectro para que sea el mismo, esa es la π π la masa en el modelo de Yukawa se ha ajustado a cero manualmente, de lo contrario el numerador ni siquiera desaparecería y la comparación entre los dos modelos no tendría sentido).

Por otro lado, para la teoría del gradiente obtenemos

METRO sol r a d i e n t π Ψ → π Ψ = 1 F 2 [ u ¯ ( p ′ 2 ) i ( γ α pag α 1 + γ α pag α 2 - m ) 3 s - m 2 + i ϵ tu ( p 2 ) + cruzado diag. ] → 0 METRO π Ψ → π Ψ sol r una re yo mi norte t = 1 F 2 El tu ¯ ( pag 2 ′ ) yo ( γ α pag 1 α + γ α pag 2 α - metro ) 3 s - metro 2 + yo ϵ tu ( pag 2 ) + cruzada diag. ] → 0
que no solo es diferente (por lo tanto, las dos teorías son físicamente distintas, punto) sino que da una amplitud de desaparición en el límite suave de GB pag 1 → 0 pag 1 → 0 ya que el numerador se puede escribir como yo tu ¯ ( p ′ 2 ) ( γ α pag α 1 + γ α pag α 2 - m ) 3 tu ( p 2 ) = i u ¯ ( p ′ 2 ) γ α pag ′ Α 1 ( γ β pag β 1 + γ β pag β 2 - m ) ( γ γ pag γ 1 ) u ( p 2 ) yo tu ¯ ( pag 2 ′ ) ( γ α pag 1 α + γ α pag 2 α - metro ) 3 tu ( pag 2 ) = yo tu ¯ ( pag 2 ′ ) γ α pag 1 ′ α ( γ β pag 1 β + γ β pag 2 β - metro ) ( γ γ pag 1 γ ) tu ( pag 2 ) , y para la conservación del impulso. pag ′ 1 → 0 pag 1 ′ → 0 también.

El mensaje para llevar es : los dos modelos son distintos física y matemáticamente . La teoría de gradiente describe un GB, mientras que la teoría de Yukawa describe un escalar con una masa sintonizada para ser cero.

Ediciones adicionales Finalmente he encontrado algunas veces para agregar un último comentario que mencioné en los comentarios, pero en realidad vale la pena informar en la respuesta completa. También está relacionado con la respuesta de @Cosmas Zachos.

Habiendo establecido que las dos teorías son diferentes, uno puede preguntarse cuán diferente y cuál es la relación entre las dos, dado que el uso simple de las ecuaciones de movimiento por el OP fue defectuoso. La respuesta es muy simple: las dos teorías difieren en lo no lineal. π π -nivel, partiendo del orden cuadrático. En particular, la afirmación es que la teoría dada por

L n e w = Ψ ¯ ( i γ α ∂ α - m e - 2 i γ 5 π / f ) Ψ + 1 2 ( ∂ μ π ) 2 F ≡ 2 m / g , L norte mi w = Ψ ¯ ( yo γ α ∂ α - metro mi - 2 yo γ 5 π / F ) Ψ + 1 2 ( ∂ μ π ) 2 F ≡ 2 metro / sol ,
que difiere de L Y u k a w a = Ψ ¯ ( i γ α ∂ α - m ) Ψ + i g π Ψ ¯ γ 5 Ψ + 1 2 ( ∂ μ π ) 2 L Y tu k una w una = Ψ ¯ ( yo γ α ∂ α - metro ) Ψ + yo sol π Ψ ¯ γ 5 Ψ + 1 2 ( ∂ μ π ) 2 empezando desde o ( π 2 ) o ( π 2 ) De hecho, es equivalente a la teoría del gradiente.
L sol r a d i e n t = 1 2 ( ∂ μ π ) 2 + Ψ ¯ ( i γ α ∂ α - m ) Ψ + 1 F ∂ μ π Ψ ¯ γ 5 γ μ Ψ . L sol r una re yo mi norte t = 1 2 ( ∂ μ π ) 2 + Ψ ¯ ( yo γ α ∂ α - metro ) Ψ + 1 F ∂ μ π Ψ ¯ γ 5 γ μ Ψ .
De hecho, es suficiente para realizar la redefinición de campo Ψ → e i γ 5 π / f Ψ Ψ → mi yo γ 5 π / F Ψ para mover el π π del término no derivado al gradiente proveniente de la Ψ Ψ termino -kinetic

Como última comprobación, veamos el comportamiento bajo el límite suave pag 1 → 0 pag 1 → 0 . Las aportaciones de dos lineales. π π Las inserciones de vértices son como en la teoría de Yukawa, pero ahora también hay un término de contacto que viene de expandir el exponencial, 2 m F 2 π 2 Ψ ¯ Ψ 2 metro F 2 π 2 Ψ ¯ Ψ es decir

METRO n e w π Ψ → π Ψ = M Y u k a w a π Ψ → π Ψ + i 4 m F 2 tu ¯ ( p ′ 2 ) u ( p 2 ) . METRO π Ψ → π Ψ norte mi w = METRO π Ψ → π Ψ Y tu k una w una + yo 4 metro F 2 tu ¯ ( pag 2 ′ ) tu ( pag 2 ) .
Ahora, en el límite suave. pag 1 → 0 pag 1 → 0 , tenemos pag ′ 2 → p 2 pag 2 ′ → pag 2 por lo tanto, los términos de Yukawa dan
METRO Y u k a w a pag 1 → 0 = - g 2 [ u ¯ ( p 2 ) i γ α pag α 1 2 p 1 pag 2 tu ( p 2 ) + cruzado diag. ] = - 2 i g 2 METRO pag 1 → 0 Y tu k una w una = - sol 2 El tu ¯ ( pag 2 ) yo γ α pag 1 α 2 pag 1 pag 2 tu ( pag 2 ) + cruzada diag. ] = - 2 yo sol 2
donde he usado eso tu ¯ ( p ) γ α u ( p ) = 2 p α tu ¯ ( pag ) γ α tu ( pag ) = 2 pag α . Por otro lado, el nuevo término de contacto desde L n e w L norte mi w da
i 4 m F 2 tu ¯ ( p 2 ) u ( p 2 ) = i 8 m 2 F 2 = 2 i g 2 , yo 4 metro F 2 tu ¯ ( pag 2 ) tu ( pag 2 ) = yo 8 metro 2 F 2 = 2 yo sol 2 ,
desde tu ¯ ( p ) u ( p ) = 2 m tu ¯ ( pag ) tu ( pag ) = 2 metro (No hay suma sobre las dos orientaciones de giro, estamos considerando polarizaciones definidas). Sumando las dos contribuciones, vemos que se desvanecen mutuamente, de acuerdo con la condición de Adler-cero.

Pero de nuevo, la equivalencia con la teoría del gradiente se logra solo después de modificar la teoría en el o ( π 2 ) o ( π 2 ) nivel en la forma mostrada arriba, que corresponde a hacer que el π π un GB. El acoplamiento de Yukawa solo en su lugar es para partículas que no son GB.

Bueno, he abordado la presencia de ceros de Adler en el modelo sigma lineal en mi propia respuesta. Me temo que la pregunta del OP era, implícitamente, cómo ver la simetría axial rota ("simetría de cambio") en el "modelo de Yukawa" que nunca especificó completamente. Por sí mismo, no es axialmente invariante, pero, en un abrir y cerrar de ojos, con opciones adecuadas de acoplamientos, es el modelo sigma lineal, la madre de todas las estructuras rotas de simetría.

Realmente estás haciendo una pregunta sobre el control U ( 1 ) UNA U ( 1 ) UNA Simetría del modelo σ de un solo sabor. Por lo tanto, primero debe mostrar la simetría que realmente está sondeando.

Vamos a empezar desde el modelo σ lineal. Esquemáticamente (ser caballeroso con factores generales ...),

L l i n = i Ψ ¯ ∂ /   Ψ + 1 2 ∂ π ⋅ ∂ π + 1 2 ∂ σ ⋅ ∂ σ + g Ψ ¯ ( σ + i γ 5 π ) Ψ - V ( π , σ ) L l yo norte = yo Ψ ¯ ∂ / Ψ + 1 2 ∂ π ⋅ ∂ π + 1 2 ∂ σ ⋅ ∂ σ + sol Ψ ¯ ( σ + yo γ 5 π ) Ψ - V ( π , σ ) ,
invariante bajo la U (1) Una simetría,
δ Ψ = i 2 θ γ 5 Ψ , δ σ = θ π , δ π = - θ σ , δ Ψ = yo 2 θ γ 5 Ψ , δ σ = θ π , δ π = - θ σ ,
lo que debes comprobar deja la cinética, Yukawa, términos invariantes; y dictarlo lo hace sobre el potencial estable; puede elegir el último para ser el sombrero de Goldstone, etc., pero supongo que está familiarizado con el negocio de los monos SSB y sabe cómo realizar los cambios de campo necesarios, etc.

La corriente conservada correspondiente (en shell) es

J μ UNA = - i 2 Ψ ¯ γ 5 γ μ Ψ + π ∂ μ σ - σ ∂ μ π , J UNA μ = - yo 2 Ψ ¯ γ 5 γ μ Ψ + π ∂ μ σ - σ ∂ μ π ,
asi que ∂ ⋅ J UNA = 0 ∂ ⋅ J UNA = 0 .

Ahora, suponiendo que el mínimo potencial se cumpla ⟨Π ⟩ = 0 ⟨ π ⟩ = 0 , ⟨Σ ⟩ = - f ⟨ σ ⟩ = - F y redefiniendo σ ≡ σ ′ - f σ ≡ σ ′ - F , S t ⟨Σ ′ ⟩ = 0 ⟨ σ ′ ⟩ = 0 Observe que esto le da al fermión una masa m = gf , y la σ 'una masa que depende de la curvatura arbitraria del potencial V en su mínimo, lo que puede tomar como grande, por lo que el escalar σ' se puede hacer arbitrariamente masivo a fin de desacoplar del modelo de baja energía.

El resultado es el modelo σ de baja energía asociado, virtualmente trivial, que involucra, crucialmente, un ston goldston sin masa,

L l o w = i Ψ ¯ ∂ /   Ψ - g F Ψ ¯ Ψ + 1 2 ∂ π ⋅ ∂ π + g Ψ ¯ i γ 5 π Ψ + σ ′   t e r m s , L l o w = yo Ψ ¯ ∂ / Ψ - sol F Ψ ¯ Ψ + 1 2 ∂ π ⋅ ∂ π + sol Ψ ¯ yo γ 5 π Ψ + σ ′ t mi r metro s ,
invariante bajo
δ Ψ = i 2 θ γ 5 Ψ , δ π = θ f     ( - θ σ ′ ) ( δ σ ′ = θ π ) δ Ψ = yo 2 θ γ 5 Ψ , δ π = θ F ( - θ σ ′ ) , ( δ σ ′ = θ π ) ,
así que eso
J μ UNA = - i 2 Ψ ¯ γ 5 γ μ Ψ + f ∂ μ π     ( + π ∂ μ σ ′ - σ ′ ∂ μ π ) . J UNA μ = - yo 2 Ψ ¯ γ 5 γ μ Ψ + F ∂ μ π ( + π ∂ μ σ ′ - σ ′ ∂ μ π ) .
Este cambio distintivo en la ley de transformación para el π lo identifica como un bosón de Goldstone.

( Nota agregada para abordar las inquietudes de @TwoBs : de hecho, un término residual en la variación aquí es cancelado por el - θ σ ′ - θ σ ′ originalmente dejado fuera de δ π δ π , y lo omitido sol Ψ ¯ σ ′ Ψ sol Ψ ¯ σ ′ Ψ en el lagrangiano. Estoy omitiendo las σ's ultra-pesadas aquí, que todavía son necesarias para la invariancia axial completa, aunque aquí no están a la vista. Sin embargo, las amplitudes del modelo sigma lineal tienen, por supuesto, ceros de Adler, como es bien conocido; sin embargo, el vértice ππσ 'en el potencial está involucrado.)

Esta simetría entra y restringe la teoría de la perturbación y "protege" la ausencia de masa a nivel de árbol del modo Goldstone π, ya que una masa inducida podría romperla. (De hecho, es mucho más transparente que su modelo de acoplamiento de derivados naturalmente desaprobado, básicamente no es relevante para la pregunta. Consulte VanderBij y Veltman 1984 para conocer los escollos del límite de masa infinita de Higgs).

Luego puede ver que la comparación con el modelo de gradiente no normalizable es completamente gratuita y evitable. El término seudo escalar de Yukawa en sí mismo tiene todos los ingredientes cruciales de una simetría SSB, y se hace instantáneamente invariable axialmente con un inocente σ escalar Yukawa, y un potencial de su diseño, renormalizable si lo desea, elegido para minimizar los efectos más visibles el σ. El modelo σ lineal (cuya generalización no abeliana es el sector de Higgs del modelo estándar) es el prototipo en el que se basan ineluctablemente todas las representaciones de variantes futuras y ajustes.

Para llevar : Un acoplamiento pseudoscalar sin masa a un fermión en un modo Yukawa que preserva la paridad es forzosamente (o puede ser promovido naturalmente) a un Goldston de un SSB axial y seguirá siéndolo en la teoría de la perturbación, a menos que acoplamientos extraños estropeen explícitamente esta simetría axial custodial .

Ref. Añadido : el histórico documento σ-model de 1960 revisado en la mayoría de los buenos textos es tan bueno como cualquier otro para restablecer la brújula.

Gracias, Costas. Estaba siguiendo sus referencias sugeridas mientras publicaba esto (Itzykson & Zuber, eq. 11-194) pero su resumen "para llevar" lo aclaró todo. Aprecio el momento que ha puesto en esta pregunta, ya que sospecho por mi interpretación de su idioma que este intercambio le causó cierta molestia. Pido disculpas por mi falta de claridad y le agradezco nuevamente su esfuerzo.
L @ ​​CosmasZachos Lo siento, pero su mensaje para llevar no puede ser correcto: simplemente haga un ciclo con las interacciones tipo yukawa y obtendrá una masa para π π ! mientras que no se genera una masa para el GB. La razón es que la coincidencia entre las dos teorías es solo en el nivel lineal-pi. Otra forma de verlo en términos de la pregunta OP es que las ecuaciones libres de movimientos no se mantienen dentro del bucle.
@CosmasZachos no es solo un detalle: la conclusión de esta discusión es exactamente lo opuesto a lo que escribiste originalmente. El modelo yukawa (solo) y la teoría del gradiente no son equivalentes, eso habría sido un mensaje justo para llevar. Tienen simetría, espectro y amplitudes diferentes. Pero las dos teorías se pueden hacer equivalentes con poca energía agregando una nueva interacción con un σ ′ σ ′ para restaurar la simetría axial, o agregar interacciones no lineales adicionales que lo hacen equivalente a la redefinición del campo. Pero esta nueva teoría es físicamente diferente a la de los yukawa originales.
Además, fuiste tú quien quiso introducir primero y luego eliminar sigma '. No hay nada de malo en eso, solo necesita hacerlo correctamente y resolver la restricción, lo que, de nuevo, habría mostrado la iniquidad de las dos teorías solicitadas por el OP. Veo que reeditas ligeramente tu mensaje para llevar, aunque es una tontería decir que "necesariamente" seguido de su negación "puede promoverse fácilmente". Una vez más, una respuesta más justa al OP es que Yukawa y la teoría del gradiente no son equivalentes.
Finalmente, incluso su, digamos, la versión "mejorada" de la respuesta da un mensaje totalmente erróneo con respecto a EFT, a saber, que debe tener de alguna manera el campo sigma en su mente para obtener la respuesta correcta con poca energía. Pero eso está mal. Uno solo puede integrarlo y trabajar con el campo pi solo (como originalmente quería hacer por cierto), solo necesita escribir el lagrangiano correcto que es el de resolver una restricción, lo que genera términos pi extra no lineales. Le recomiendo encarecidamente que elimine su respuesta todos juntos. Si encuentro tiempo, podría publicar uno correcto en una o dos semanas.
¿Son todos los pseudoscalars en secreto los bosones de Goldstone?
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