Geometría del agujero negro de Schwarzschild en coordenadas Novikov

Question

Geometría del agujero negro de Schwarzschild en coordenadas Novikov

Física
Gravedad
Agujeros-negros
Relatividad-general

liberias

Como soy un laico en gravitación, agradecería cualquier sugerencia sobre cómo abordar y abordar el siguiente problema:

Elija una geometría 3 simétrica en el tiempo para la geometría inicial del agujero negro de Schwarzschild y continúe la foliación del espacio-tiempo en coordenadas de caída libre. Muestre que esto da como resultado la métrica de Novikov.

Creo que este es el problema general del valor inicial relativista dentro de la formulación ADM. Leí que la curvatura del espacio-tiempo puede integrarse analíticamente solo para algunos casos muy simétricos y simples, de lo contrario, se deben aplicar aproximaciones y números.

Mi idea es resolver la descomposición estándar 3 + 1 (foliación) de las ecuaciones de campo de Einstein (ecuaciones ADM ). Comenzaría con los datos iniciales para el espacio-tiempo de Schwarzschild en el momento de la simetría del tiempo y con la fijación del medidor para lapso y cambio $α = 1$ $α = 1$ $α = 1$ y $β_{i} = 0$ $β_{i} = 0$ $β_{i} = 0$ $β_{i} = 0$ $β_{i} = 0$ $β_{i} = 0$ $β_{yo} = 0 0$ , que uniría las coordenadas a los observadores de caída libre (también llamado corte geodésico ).

En [1, p.535], la geometría 4 simétrica en el tiempo se define como una que tiene una hiperesuperficie en forma de espacio con curvatura extrínseca 0. Esta es, por lo tanto, una restricción para el tensor de curvatura de la geometría 3 inicial: $K_{i j} = 0$ $K_{i j} = 0$ $K_{i j} = 0$ $K_{i j} = 0$ $K_{i j} = 0$ $K_{i j} = 0$ $K_{yo j} = 0 0$ .

[1]: Misner, CW, Thorne, KS, Wheeler, JA, Gravitation , 1973.

Ron Maimon

¿Qué quieres decir con foliación? Las coodinadas habituales proporcionan una foliación en el sentido habitual por superficies de tiempo constante en el exterior.

Ron Maimon

Si desea una foliación que se extienda hacia el horizonte, puede usar coordenadas nulas que caen. No existen ecuaciones dinámicas para las foliaciones, ya que no están determinadas de forma exclusiva.

Jerry Schirmer

@liberias: como lo sé, ese es el único camino a seguir. Haz la transformación de coordenadas, y luego el Novikov

T

T

T

será la coordenada de tiempo que usas para hacer la transformación. Si solo está buscando un sistema de coordenadas sin una singularidad del horizonte, sugeriría encarecidamente las coordenadas de Kerr-Schild sobre el sistema de coordenadas de Novikov.

Jerry Schirmer

@liberias: sí, eso es exactamente correcto. Lo único es que tendrás

T_{μ ν} = 0

T_{μ ν} = 0

T_{μ ν} = 0

T_{μ ν} = 0

T_{μ ν} = 0

T_{μ ν} = 0

T_{μ ν} = 0 0

porque el agujero negro de Schwarzschild es una solución de vacío.

Robert Filter

Puede encontrar una derivación aquí: springerlink.com/content/b3x1wkp9m3887g39 . Sin entrar en detalles, creo que esto es exactamente lo que quieres. Saluda

Respuestas (1)

Geometría del agujero negro de Schwarzschild en coordenadas Novikov

¿Qué quieres decir con foliación? Las coodinadas habituales proporcionan una foliación en el sentido habitual por superficies de tiempo constante en el exterior.
Si desea una foliación que se extienda hacia el horizonte, puede usar coordenadas nulas que caen. No existen ecuaciones dinámicas para las foliaciones, ya que no están determinadas de forma exclusiva.
@liberias: como lo sé, ese es el único camino a seguir. Haz la transformación de coordenadas, y luego el Novikov $T$ $T$ $T$ será la coordenada de tiempo que usas para hacer la transformación. Si solo está buscando un sistema de coordenadas sin una singularidad del horizonte, sugeriría encarecidamente las coordenadas de Kerr-Schild sobre el sistema de coordenadas de Novikov.
@liberias: sí, eso es exactamente correcto. Lo único es que tendrás $T_{μ ν} = 0$ $T_{μ ν} = 0$ $T_{μ ν} = 0$ $T_{μ ν} = 0$ $T_{μ ν} = 0$ $T_{μ ν} = 0$ $T_{μ ν} = 0 0$ porque el agujero negro de Schwarzschild es una solución de vacío.
Puede encontrar una derivación aquí: springerlink.com/content/b3x1wkp9m3887g39 . Sin entrar en detalles, creo que esto es exactamente lo que quieres. Saluda

liberias · Answer 1

Geometría Schwarzschild en coordenadas Schwarzschild $(t, r, θ, ϕ)$ $(t, r, θ, ϕ)$ $(t, r, θ, ϕ)$ es simétrico en el tiempo

re s^{2} = - (1 - \frac{2 sol METRO}{C^{2} r}) C^{2} re t^{2} + {(1 - \frac{2 sol METRO}{C^{2} r})}^{- 1} re r^{2} + r^{2} (re θ^{2} + {pecado}^{2} θ re ϕ^{2}) .

El sistema de coordenadas de Novikov se define por un conjunto de relojes geodésicos. Los relojes de coordenadas caen libremente desde un radio máximo $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{metro}$ hacia $r = 0$ $r = 0$ $r = 0 0$ , dónde $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{metro}$ Es diferente para cada reloj. Todos los relojes comienzan a caer al mismo tiempo Schwarzschild $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0 0}$ y están sincronizados de tal manera que cada reloj muestra $0$ $0$ $0 0$ a $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{metro}$ . La coordenada de Novikov se define para permanecer constante a lo largo de la trayectoria de cada reloj, mientras que para la coordenada de tiempo se toma el tiempo adecuado.

De ahora en adelante, la métrica de la parte angular se omitirá, ya que permanece igual. También tomamos $r_{s} = 2 M$ $r_{s} = 2 M$ $r_{s} = 2 M$ $r_{s} = 2 M$ $r_{s} = 2 M$ $r_{s} = 2 M$ $r_{s} = 2 METRO$ y $G = c = 1$ $G = c = 1$ $sol = C = 1$ :

re s^{2} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) re t^{2} + {(1 - \frac{r_{s}}{r})}^{- 1} re r^{2} .

Geodesia en la geometría de Schwarzschild

Para obtener la ecuación de la geodésica en la geometría de Schwarzschild tenemos que resolver ecuaciones de movimiento de una partícula libre:

L = \frac{1}{2} metro {sol}_{μ ν} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{ν},

{\dot{X}}^{μ} = \frac{re X^{μ}}{re τ} = {tu}^{μ} .

L = - \frac{metro}{2} (1 - \frac{r_{s}}{r}) {\dot{t}}^{2} + {(1 - \frac{r_{s}}{r})}^{- 1} {\dot{r}}^{2},

\frac{re}{re τ} \frac{\partial L}{\partial {\dot{X}}^{μ}} - \frac{\partial L}{\partial X^{μ}} = 0 0,

por

μ = 0

μ = 0

μ = 0 0

obtenemos una constante de movimiento

\frac{\partial}{\partial τ} [(1 - \frac{r_{s}}{r}) \dot{t}] = 0 0 \Rightarrow (1 - \frac{r_{s}}{r}) \dot{t} = un,

Para geodésicas temporales: $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $re s^{2} = - re τ^{2}$ la ecuación geodésica radial se convierte en

{(\frac{re τ}{re r})}^{2} = \frac{1}{{un}^{2} - (1 - \frac{r_{s}}{r})} .

El radio máximo es (

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

re r / / re τ = 0 0

)

r_{metro} = \frac{r_{s}}{1 - {un}^{2}} .

Usamos

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{re t}{re r} = \frac{re t}{re τ} \frac{re τ}{re r}

y obtener las siguientes relaciones:

\ begin {eqnarray} \ frac {d \ tau} {dr} & = & \ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {\ frac {r_s} {r} - \ frac {r_s} {r_m}}} \ ;, \ label {eq: orbit1} \ \ frac {dt} {dr} & = & \ frac {\ varepsilon \ sqrt {1- \ frac {r_s} {r_m}}} {\ left (1- \ frac {r_s} {r} \ right) \ sqrt {\ frac {r_s} {r} - \ frac {r_s} {r_m}}} \ ;, \ label {eq: orbit2} \ end {eqnarray}

dónde

ε

ε

ε

es

+ 1

+ 1

+ 1

o

- 1

- 1

- 1

. Para las partículas que caen, elegimos

ε = - 1

ε = - 1

ε = - 1

.

Coordenada de tiempo de Novikov

Primero nos transformamos de $(r, t)$ $(r, t)$ $(r, t)$ a $(r, τ)$ $(r, τ)$ $(r, τ)$ $(r, τ)$ $(r, τ)$ . De las dos últimas ecuaciones obtenemos para $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $re τ (re t, re r)$

re τ = {(1 - \frac{r_{s}}{r_{metro}})}^{1 / / 2} re t + \frac{{(\frac{r_{s}}{r} - \frac{r_{s}}{r_{metro}})}^{1 / / 2}}{1 - \frac{r_{s}}{r}} re r .

donde asumimos

t

t

t

son

r

r

r

conocido.

Esto se puede integrar desde $r$ $r$ $r$ a $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{metro}$ , donde tenemos en cuenta que todos los relojes alcanzan su radio máximo a $τ_{0 i} = 0$ $τ_{0 i} = 0$ $τ_{0 i} = 0$ $τ_{0 i} = 0$ $τ_{0 i} = 0$ $τ_{0 i} = 0$ $τ_{0 0 yo} = 0 0$ . Sigue

τ = {(1 - \frac{r_{s}}{r_{metro}})}^{1 / / 2} (t - t_{0 0}) + \int_{r_{metro}}^{r} \frac{{(\frac{r_{s}}{y} - \frac{r_{s}}{r_{metro}})}^{1 / / 2}}{1 - \frac{r_{s}}{y}} re y .

radio máximo $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{metro}$ está aquí una función de $r$ $r$ $r$ y \ tau $. Su relación implícita es

τ = - F (r, r_{metro}),

dónde

\ begin {ecation} f (r, r_m) = \ int_ {r_m} ^ {r} \ frac {dy} {\ sqrt {\ frac {r_s} {y} - \ frac {r_s} {r_m}}} \ etiqueta {eq: integral3} = - \ left [\ frac {rr_m} {r_s} (r_m-r) \ right] ^ {1/2} - \ frac {r_m ^ {3/2}} {\ sqrt {r_s }} \ arccos \ left [\ left (\ frac {r} {r_m} \ right) ^ {1/2} \ right] \;. \ label {eq: f} \ end {ecuación}

Ahora podemos eliminar coordenadas $t$ $t$ $t$ del elemento de línea

re s^{2} = - re τ^{2} + \frac{1}{1 - \frac{r_{s}}{r_{metro}}} {[- re r - {(\frac{r_{s}}{r} - \frac{r_{s}}{r_{metro}})}^{1 / / 2} re τ]}^{2} .

Coordenada radial de Novikov

Para coordenadas radiales tomamos el radio máximo de Schwarzschild $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{metro}$ , que permanece constante a lo largo de la línea mundial de un reloj geodésico.

- re r - {(\frac{r_{s}}{r} - \frac{r_{s}}{r_{metro}})}^{1 / / 2} re τ = {(\frac{r_{s}}{r} - \frac{r_{s}}{r_{metro}})}^{1 / / 2} \frac{\partial F}{\partial r_{metro}} re r_{metro} .

Con esto podemos eliminar las otras coordenadas de Schwrazschild

r

r

r

:

re s^{2} = - re τ^{2} + \frac{{[sol (r, r_{metro})]}^{2}}{1 - \frac{r_{s}}{r_{metro}}} re r_{metro}^{2} .

Aquí nosotros

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

sol (r, r_{metro})

es el siguiente

\begin{array}{rcl} sol (r, r_{metro}) & = & - {(\frac{r_{s}}{r} - \frac{r_{s}}{r_{metro}})}^{1 / / 2} \frac{\partial F}{\partial r_{metro}} & = & 1 + \frac{1}{2} (1 - \frac{r}{r_{metro}}) - \frac{3}{4 4} {(\frac{r_{metro}}{r} - 1)}^{1 / / 2} [{pecado}^{- 1} (\frac{2 r}{r_{metro}} - 1) - \frac{π}{2}] . \end{array}

r

r

r

ya no es una coordenada radial, sino una función métrica de coordenadas

r_{m}

r_{m}

r_{m}

r_{m}

r_{metro}

y

τ

τ

τ

, que se da implícitamente por la ecuación ().

Métrica de Novikov

Introduciendo $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{metro}$ la métrica se volvió diagonal como en las coordenadas de Schwarzschild. También permanece diagonal al introducir una nueva coordenada radial, que solo está funcionalmente relacionada con la anterior. La elección de Novikov es $r^{*}$ $r^{*}$ $r^{*}$ $r^{*}$ $r^{*}$ con la siguiente relación monotónica con $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{metro}$ :

r^{*} = {(\frac{r_{metro}}{r_{s}} - 1)}^{1 / / 2} .

La métrica ahora se convierte en

re s^{2} = - re τ^{2} + 4 4 r_{s}^{2} ({r^{*}}^{2} + 1) {[sol (r, r^{*})]}^{2} re {r^{*}}^{2} .

Podemos demostrar que lo siguiente también es válido

4 4 METRO sol (r, r^{*}) = \frac{1}{r^{*}} \frac{\partial r}{\partial r^{*}} .

Con esto, la métrica obtiene la forma estándar en la literatura [MTW, p. 826]:

re s^{2} = - re τ^{2} + (\frac{{r^{*}}^{2} + 1}{{r^{*}}^{2}}) {(\frac{\partial r}{\partial r^{*}})}^{2} re {r^{*}}^{2} + r^{2} (re θ^{2} + {pecado}^{2} θ re ϕ^{2}),

donde también incluimos la parte angular.

Relaciones entre coordenadas

Ahora damos las relaciones entre las coordenadas de Schwarzschild $(t, r)$ $(t, r)$ $(t, r)$ y coordenadas Novikov $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ . El primero, $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ , se obtiene de las ecuaciones () y ()

τ = r_{s} ({r^{*}}^{2} + 1) {[\frac{r}{r_{s}} - \frac{(r / / r_{s})^{2}}{{r^{*}}^{2} + 1}]}^{1 / / 2} + r_{s} {({r^{*}}^{2} + 1)}^{3 / / 2} arcos [{(\frac{r / / r_{s}}{{r^{*}}^{2} + 1})}^{1 / / 2}] .

El segundo,

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

, se obtiene por integración de ()

\ begin {ecation} t = r_s \ ln \ left | \ frac {r ^ * + \ left (\ frac {r_s} {r} \ left ({r ^ } ^ 2 + 1 \ right) -1 \ right) ^ {1/2}} {r ^ - \ left (\ frac {r_s} {r} \ left ({r ^ *} ^ 2 + 1 \ right) -1 \ right) ^ {1/2}} \ right | + r_sr ^ \ left [\ left ({r ^ } ^ 2 + 3 \ right) \ arctan \ left (\ frac {r_s} {r} \ left ({r ^ } ^ 2 + 1 \ right) - 1 \ right) ^ {1/2} + \ left ({r ^ } ^ 2 + 1 \ right) \ frac {\ sqrt {\ frac {r_s} {r} \ left ({r ^ *} ^ 2+ 1 \ right) -1}} {\ frac {r_s} {r} \ left ({r ^ *} ^ 2 + 1 \ right)} \ right] \ ;. \ end {ecuación}

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Ron Maimon

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Jerry Schirmer

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Geodesia en la geometría de Schwarzschild

Coordenada de tiempo de Novikov

Coordenada radial de Novikov

Métrica de Novikov

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