Densidad de estados en gas de electrones NO libres

Todo esto es algo bastante estándar que puede encontrar en otras partes de este sitio, pero no siempre se presenta claramente y tengo ganas de trabajar en ello nuevamente:

Intuitivamente, cualquier cosa que cambie la relación de dispersión$E(\vec{p})$también cambia la densidad de estados. Esto se debe a que normalmente etiquetamos los estados por su momento y asumimos que hay dos estados (giro hacia arriba y giro hacia abajo) para cada momento. Esto significa que para continuo$p$:

$n=2\int d^Dp$

que es integral en$D$dimensiones.

Entonces, cualquier cosa que cambie el número de momentos en una energía dada afectará esto por:

$DOS=\frac{\partial n}{\partial E}=2\frac{\partial}{\partial E}[\int d^Dp]$

Puedes escribir la integral en coordenadas esféricas en el espacio p:

$d^Dp=A_Dp^{D-1}dp$, entonces

$DOS=\frac{\partial}{\partial E}[2A_D\int p^{D-1}dp]$

$A_D$es una constante (es el área superficial de un$D$-esfera dimensional con radio 1). Ahora usas la inversa de la relación de dispersión$p(E)$para hacer una sustitución:

$dp=(\frac{dp(E)}{dE})dE$

$DOS(E)=\frac{\partial}{\partial E}[2A_D\int_0^{E} p(E')^{D-1}(\frac{dp(E')}{dE'})dE']=2A_Dp(E)^{D-1}(\frac{dp(E)}{dE})$

Entonces la dispersión, en su forma invertida, está justo ahí. Todo lo que realmente has hecho es un cambio de variables, pero la forma en que esas variables cambian depende de la dispersión. Este procedimiento exacto solo es posible si E es una función de la magnitud de p. Si no es así, como en una estructura de bandas de dimensiones superiores, debe realizar la integración sobre los componentes de$p$individualmente, pero en realidad no cambia la situación.

Como ejemplo, vayamos a D=1 y comparemos una estructura libre de partículas y bandas. La partícula libre tiene$E(p)=p^2/2$, y la estructura de la banda tiene una forma de unión estrecha$E(p)=1-\cos(\pi p)$, dónde$p$ahora son en realidad cuasimomentos que están limitados entre 0 y 1, lo que significa$E$está limitado entre 0 y 2.

Para la partícula libre, obtienes

$DOS=\frac{\partial}{\partial E}[2A_1\int_0^E p(E')^{1-1}(\frac{dp(E')}{dE'})dE']$

$=\frac{\partial}{\partial E}[2\int_0^E (\sqrt{E'})^{-1}dE']$

$=2(\sqrt{E})^{-1}$

Para la estructura de la banda, es:

$DOS=\frac{\partial}{\partial E}[2\int_0^E \frac{1}{\pi\sqrt{1-(1-E')^2}} dE']=\frac{2}{\pi}\left(\frac{1}{\sqrt{1-(1-E)^2}}\right)$

Como puede ver, estas dos expresiones claramente no son lo mismo. En particular, ambos van al infinito en$E=0$, pero la expresión de estructura de banda también lo hace en la parte superior de la banda,$E=2$. Esta es una singularidad de Van Hove , y es importante para determinar varias propiedades del material de la estructura de la banda.

La dispersión Kroenig-Penny parecería más complicada y tendría bandas más altas, pero en la banda más baja sería cualitativamente similar.