Estados coherentes e integridad

Considere una posible definición de un estado gaussiano (coherente) en la representación de posición

⟨R | ψ ( r yo , p yo ) ⟩ = ( 2 γ π ) 1 4 4 Exp [ - γ ( r - r yo ) 2 + i p yo ( r - r yo ) ] . ⟨ r El | ψ ( r yo , pag yo ) ⟩ = ( 2 γ π ) 1 4 4 Exp ⁡ [ - γ ( r - r yo ) 2 + yo pag yo ( r - r yo ) ] .

Se puede demostrar que

1 2 π ∫ re r yo re pag yo El | ψ ( r yo , p yo ) ⟩ ⟨Ψ ( r yo , p yo ) | = 1 ^ . (1) (1) 1 2 π ∫ re r yo re pag yo El | ψ ( r yo , pag yo ) ⟩ ⟨ ψ ( r yo , pag yo ) El | = 1 ^ .

Toma la ecuación absolutamente verdadera

⟨R | r ′ ⟩ = Δ ( r ′ - r ) , ⟨ r El | r ′ ⟩ = δ ( r ′ - r ) ,

inserte el operador de unidad expresado usando estados coherentes en el LHS:

⟨R | r ′ ⟩ = 1 2 π ∫ re r yo re pag yo ⟨R | ψ ( r yo , p yo ) ⟩ ⟨Ψ ( r yo , p yo ) | r ′ ⟩ = δ ( r ′ - r ) exp [ - γ 2 ( r ′ - r ) 2 ] ≠ δ ( r ′ - r ) , (2) (2) ⟨ r El | r ′ ⟩ = 1 2 π ∫ re r yo re pag yo ⟨ r El | ψ ( r yo , pag yo ) ⟩ ⟨ ψ ( r yo , pag yo ) El | r ′ ⟩ = δ ( r ′ - r ) Exp ⁡ [ - γ 2 ( r ′ - r ) 2 ] ≠ δ ( r ′ - r ) ,

Un absurdo Estoy asumiendo algo que no es cierto. ¿Qué es?

Su pregunta parece incompleta después de su tercera edición. No veo por qué (2) no es cierto. Es perfectamente coherente con su ecuación final en v1 o v2 de la pregunta.
@knzhou Hola! (2) no es cierto porque no lo es. Integre y verá. Creo que lo absurdo es más claro en v3.
¿Cuál crees que debería ser el lado derecho? ¿Es lo mismo que escribiste en v1 o v2 de la pregunta? Si es así, no veo cómo son inconsistentes.
@knzhou El RHS debería ser un delta de Dirac, ya que esta es la premisa. Si inserta la unidad expresada como un proyector de estado coherente e integra, verá que obtendrá tiempos delta Exp [ - γ 2 ( r ′ - r ) 2 ] Exp ⁡ [ - γ 2 ( r ′ - r ) 2 ] . Eso es lo absurdo. Estas obteniendo un x = x ⇒ x ≠ x X = X ⇒ X ≠ X resultado.
... esos son lo mismo.

Respuestas (1)

Lo hizo bien, pero se olvidó de la propiedad de la función delta.

δ ( x ) f ( x ) = δ ( x ) f ( 0 ) . δ ( X ) F ( X ) = δ ( X ) F ( 0 0 ) .
Eso es correcto para cada función suave (es difícil saber qué θ ( x ) δ ( x ) θ ( X ) δ ( X ) es, pero también hay una manera de definirlo). Los físicos generalmente lo explican superficialmente .

Por lo tanto

δ ( r ′ - r ) exp [ - γ 2 ( r ′ - r ) 2 ] = δ ( r ′ - r ) . δ ( r ′ - r ) Exp ⁡ [ - γ 2 ( r ′ - r ) 2 ] = δ ( r ′ - r ) .

Para ver de dónde proviene esta propiedad, permítanme recordarles la definición de Dirac δ δ -función.

A los físicos les gusta usar la definición de Dirac:

  1. δ ( x ) = 0 , El | x | > 0 δ ( X ) = 0 0 , El | X El | > 0 0
  2. ∫ - ∞ + ∞ δ ( x ) d x = 1 ∫ - ∞ + ∞ δ ( X ) re X = 1 .

Lo cual es bastante extraño, ya que a la integral no le importan los conjuntos nulos. No importa si tiene Riemann o Lebesgue integral, la primera propiedad implica ∫ + ∞ - ∞ δ ( x ) d x = 0 ∫ - ∞ + ∞ δ ( X ) re X = 0 0 . Al físico también le gusta escribir δ ( 0 ) = + ∞ δ ( 0 0 ) = + ∞ , que es aún más extraño. Hay dos formas de enfrentar estas contradicciones. Los matemáticos dicen δ δ -función no es función. Es una distribución funcional o, para ser más precisos (ver más abajo). Los físicos hovewer lo imaginan como una función suave, de tal manera que δ ( x ) = 0 , El | x | > ε δ ( X ) = 0 0 , El | X El | > ε , dónde ε ε es mucho menos que cualquier otro tamaño que tenga (por ejemplo, puede leer la conferencia del Premio Noble Feynman donde la usa explícitamente) y la propiedad 2 se mantiene.

A menudo (por ejemplo, cuando haces la transformación de Fourier) es suficiente pensar que

∫ - ∞ ∞ re pag 2 π mi i x p = δ ( x ) ∫ - ∞ ∞ re pag 2 π mi yo X pag = δ ( X ) .
Pero tal integral simplemente no existe. Entonces es una mala definición de δ δ -función. Forma correcta de entender que la identidad es como un límite
lim ϵ → + 0 ⎡ ⎣ ⎢ ∫ 0 0 ∞ re pag 2 π mi i x p - ϵ p + ∫ - ∞ 0 0 re pag 2 π mi i x p + ϵ p ⎤ ⎦ ⎥ = 1 2 π lim ϵ → + 0 [ 1 ϵ - i x + 1 ϵ + i x ] = lim ϵ → + 0 1 π ϵ ϵ 2 + x 2 . lim ϵ → + 0 0 [ ∫ 0 0 ∞ re pag 2 π mi yo X pag - ϵ pag + ∫ - ∞ 0 0 re pag 2 π mi yo X pag + ϵ pag ] = 1 2 π lim ϵ → + 0 0 [ 1 ϵ - yo X + 1 ϵ + yo X ] = lim ϵ → + 0 0 1 π ϵ ϵ 2 + X 2 .
Dejar que la última función funcione δ ϵ ( x ) δ ϵ ( X ) . Puedes demostrar fácilmente que ∫ δ ϵ ( x ) = 1 ∫ δ ϵ ( X ) = 1 ∀ ϵ > 0 ∀ ϵ > 0 0 y δ ( x ) → 0 δ ( X ) → 0 0 , ϵ → 0 ϵ → 0 0 ∀ | x | > 0 ∀ El | X El | > 0 0 . De estos dos y δ ϵ ( x ) > 0 δ ϵ ( X ) > 0 0 se puede demostrar que
lim ϵ → + 0 ∫ - ∞ ∞ δ ϵ ( x ) f ( x ) = f ( 0 ) lim ϵ → + 0 0 ∫ - ∞ ∞ δ ϵ ( X ) F ( X ) = F ( 0 0 ) .
Eso es general δ δ -función de propiedad. Entonces decimos que lim ϵ → + 0 δ ϵ = δ lim ϵ → + 0 0 δ ϵ = δ , pero recordamos que ese límite no existe. En realidad, trabajamos con δ ϵ δ ϵ y luego tomar límite ϵ → 0 ϵ → 0 0 .

Ahora podemos estudiar F ( x ) δ ( x ) F ( X ) δ ( X ) . Imagina que tienes algo δ δ -secuencia, como una escrita aquí (puede encontrar otras aquí )

δ ϵ ( x ) = 1 π ϵ ϵ 2 + x 2 δ ϵ ( X ) = 1 π ϵ ϵ 2 + X 2
y te interesa lim ϵ → 0 F ( x ) δ ϵ ( x ) lim ϵ → 0 0 F ( X ) δ ϵ ( X ) . Puedes usar la serie taylor F ( x ) = f ( 0 ) + o ( x ) , x → 0 F ( X ) = F ( 0 0 ) + o ( X ) , X → 0 0 y o ( x ) δ ϵ ( x ) → 0 , ϵ → 0 o ( X ) δ ϵ ( X ) → 0 0 , ϵ → 0 0 ∀ x ∀ X . Creo que puede mostrarlo usted mismo utilizando expresiones explícitas para δ ϵ ( x ) δ ϵ ( X ) .

Los matemáticos dicen que δ δ es una distribución Significa que actúa sobre la función ψ ( x ) ψ ( X ) y te devuelvo un número. por δ δ ese número es ψ ( 0 ) ψ ( 0 0 ) . Usted escribe ⟨Δ ( x ) | ψ ( x ) ⟩ = ψ ( 0 ) ⟨ δ ( X ) El | ψ ( X ) ⟩ = ψ ( 0 0 ) .

Si interpreta esa acción como un producto escalar de funciones (que es una integral) ⟨Ψ ( x ) | ϕ ( x ) ⟩ = ∫ ψ ∗ ( x ) ϕ ( x ) d X ⟨ ψ ( X ) El | ϕ ( X ) ⟩ = ∫ ψ ∗ ( X ) ϕ ( X ) re X entonces parece una función δ ( x ) δ ( X ) .

Desde ese punto de vista, es aún más fácil ver que se mantiene la identidad deseada. ⟨F ( x ) δ ( x ) | ψ ( x ) ⟩ = ⟨δ ( x ) | F ( x ) ψ ( x ) ⟩ = f ( 0 ) ψ ( 0 ) = ⟨f ( 0 ) δ ( x ) | ψ ( x ) ⟩ ⟨ F ( X ) δ ( X ) El | ψ ( X ) ⟩ = ⟨ δ ( X ) El | F ( X ) ψ ( X ) ⟩ = F ( 0 0 ) ψ ( 0 0 ) = ⟨ F ( 0 0 ) δ ( X ) El | ψ ( X ) ⟩ (según los matemáticos no es una prueba, es una definición).

PD : Creo que la definición común de estados coherentes corrige la fase de manera diferente ( ℏ = 1 ℏ = 1 )

⟨R | ψ ( r yo , p yo ) ⟩ = ( 2 γ π ) 1 4 4 Exp [ - γ ( r - r yo ) 2 + i p yo ( r - r yo ) + i 2 pag yo r yo ] ⟨ r El | ψ ( r yo , pag yo ) ⟩ = ( 2 γ π ) 1 4 4 Exp ⁡ [ - γ ( r - r yo ) 2 + yo pag yo ( r - r yo ) + yo 2 pag yo r yo ] .
Entonces
El | ψ ( r yo , p yo ) ⟩ = Exp [ γ 2 ( r 2 yo + p 2 yo ) ] ∑ n = 0 ∞ γ norte n ! - - - √ ( r yo + i p yo ) norte El | n⟩ . El | ψ ( r yo , pag yo ) ⟩ = Exp ⁡ [ γ 2 ( r yo 2 + pag yo 2 ) ] ∑ norte = 0 0 ∞ γ norte norte ! ( r yo + yo pag yo ) norte El | norte ⟩ .

PSS @WetSavannaAnimalakaRodVance gracias por tu comentario. Yo sé eso θ ∉ S θ ∉ S , pero como tengo curiosidad sobre el valor de θ ( x ) δ ( x ) θ ( X ) δ ( X ) y s u p p δ = 0 s tu pag pag δ = 0 0 eso es solo discontinuidad en x = 0 X = 0 0 de lo que debería estar preocupado. También puede aplicar los siguientes argumentos a θ ( x ) θ ( 1 - | x | ) = r e c t ( x - 1 2 ) - r e c t ( x + 1 2 ) θ ( X ) θ ( 1 - El | X El | ) = r mi C t ( X - 1 2 ) - r mi C t ( X + 1 2 ) y obtener el mismo resultado.

Leí https://math.stackexchange.com/q/1832691/10549 y me gustó la respuesta. Yo creo x = 0 X = 0 0 sería un punto de Lebesgue de θ θ si tu dejas θ ( 0 ) = 1 2 θ ( 0 0 ) = 1 2 ya que

lim ε → + 0 1 2 ε ∫ - ε ε θ ( x ) d x = 1 2 . lim ε → + 0 0 1 2 ε ∫ - ε ε θ ( X ) re X = 1 2 .

Argumentaré ahora que θ ( x ) δ ( x ) = 1 2 δ ( x ) θ ( X ) δ ( X ) = 1 2 δ ( X ) en S ′ S ′ con cualquier definición sensata que se pueda encontrar.

  1. La diferenciación de distribuciones es una operación bien definida. Permítanme ahora imaginar que también obedece reglas comunes como ( f 2 ) ′ = 2 f F ′ ( F 2 ) ′ = 2 F F ′ , luego θ ⋅ δ = 1 2 ( θ 2 ) ′ θ ⋅ δ = 1 2 ( θ 2 ) ′ y creo que estarás de acuerdo en que θ 2 = θ θ 2 = θ en S ′ S ′ . Por lo tanto ∀ φ ∈ S ∀ φ ∈ S
    ⟨Θ ⋅ δ , φ⟩ = 1 2 ⟨ ( Θ 2 ) ′ , φ⟩ = - 1 2 ⟨Θ 2 , φ ′ ⟩ = - 1 2 ∫ 0 0 ∞ φ ′ ( x ) d x = 1 2 φ ( 0 ) . ⟨ θ ⋅ δ , φ ⟩ = 1 2 ⟨ ( θ 2 ) ′ , φ ⟩ = - 1 2 ⟨ θ 2 , φ ′ ⟩ = - 1 2 ∫ 0 0 ∞ φ ′ ( X ) re X = 1 2 φ ( 0 0 ) .
  2. Otra forma de entenderlo es aproximar θ θ con funciones continuas
    θ ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ψ metro ( x ) = 1 2 + 2 ∑ m = 1 ∞ pecado ( 2 m - 1 ) x π ( 2 m - 1 ) , x ∈ ( - π , π ) θ ( X ) = ∑ metro = 0 0 ∞ ψ metro ( X ) = 1 2 + 2 ∑ metro = 1 ∞ pecado ⁡ ( 2 metro - 1 ) X π ( 2 metro - 1 ) , X ∈ ( - π , π ) .
    Y definir
    ⟨Θ ⋅ δ , φ⟩ = ∑ m = 0 ∞ ⟨Δ , ψ metro ⋅ φ⟩ = φ ( 0 ) ∑ m = 0 ∞ ψ metro (0) = 1 2 φ ( 0 ) . ⟨ θ ⋅ δ , φ ⟩ = ∑ metro = 0 0 ∞ ⟨ δ , ψ metro ⋅ φ ⟩ = φ ( 0 0 ) ∑ metro = 0 0 ∞ ψ metro ( 0 0 ) = 1 2 φ ( 0 0 ) .
    Además, hay un teorema en el análisis que dice que si la función F ∈ L 1 ( - π , π ) F ∈ L 1 ( - π , π ) tiene F ′ ( x 0 0 ± 0 ) F ′ ( X 0 0 ± 0 0 ) entonces su suma de la serie de Fourier converge a 1 2 ( f ( x 0 0 + 0 ) + f 0 0 ( x 0 0 - 0 ) ) 1 2 ( F ( X 0 0 + 0 0 ) + F 0 0 ( X 0 0 - 0 0 ) ) .
Si esto es cierto, responde mucho. ¿Tiene una referencia sobre esta propiedad?
@QuantumBrick que es fácil de ver. ¿Con qué definición del delta de Dirac están familiarizados?
Puedes usar la física: δ ( x ) ∝ ∫ re p e - i p x δ ( X ) ∝ ∫ re pag mi - yo pag X .
Esta es la respuesta correcta, independientemente de si el δ × exp ( ) δ × Exp ⁡ ( ) El resultado es correcto o no. La definición real de la función delta, @QuantumBrick, es
∫ sol ( x ) δ ( x ) d x = g ( 0 ) ∫ sol ( X ) δ ( X ) re X = sol ( 0 0 )
para todos sol sol continua en 0. Desde allí puedes ver que
∫ sol ( x ) f ( x ) δ ( x ) d x = f ( 0 ) g ( 0 ) = ∫ sol ( x ) f ( 0 ) δ ( x ) d x , ∫ sol ( X ) F ( X ) δ ( X ) re X = F ( 0 0 ) sol ( 0 0 ) = ∫ sol ( X ) F ( 0 0 ) δ ( X ) re X ,
para F F continua a 0, entonces F ( x ) δ ( x ) F ( X ) δ ( X ) y F ( 0 ) δ ( x ) F ( 0 0 ) δ ( X ) son iguales como distribuciones, y eso es lo único que cuenta.
@ EmilioPisanty ¡Gracias Emilio! Ya había publicado algo que era una respuesta antes, solo le aconsejé que pegue todo en una sola respuesta. Además, muchas gracias por la información @DavidSaykin!
Estados coherentes e integridad
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