Variación de la métrica con respecto a la métrica

Dado que la métrica$g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}$es simétrica, debemos exigir que

$$\begin{align} \delta g_{\mu\nu}~=~&\delta g_{\nu\mu}\cr~=~&\frac{1}{2}\left(\delta g_{\mu\nu}+\delta g_{\nu\mu}\right)\cr~=~&\frac{1}{2}\left( \delta_{\mu}^{\alpha}\delta_{\nu}^{\beta} + \delta_{\nu}^{\alpha}\delta_{\mu}^{\beta}\right)\delta g_{\alpha\beta},\end{align}\tag{1}$$

y por lo tanto

$$\frac{\delta g_{\mu\nu}}{\delta g_{\alpha\beta}} ~=~\frac{1}{2}\left( \delta_{\mu}^{\alpha}\delta_{\nu}^{\beta} + \delta_{\nu}^{\alpha}\delta_{\mu}^{\beta}\right).\tag{2}$$

El precio que pagamos por tratar las entradas de la matriz$g_{\alpha\beta}$como$n^2$variables independientes (a diferencia de$\frac{n(n+1)}{2}$elementos simétricos) es que aparece una mitad en las variaciones fuera de la diagonal.

Otra verificación del formalismo es que la derecha y la izquierda de la ec. (2) deben ser idempotentes debido a la regla de la cadena. Para obtener más información, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Otro enfoque sería, adaptado al caso de matrices simétricas en el OP pero también válido para matrices simétricas generales, así como en muchos otros contextos, para considerar el espacio$S^2_n$de$n\times n$matrices simétricas, vistas como el espacio de coordenadas$S^2_n=\mathbb R^{n(n+1)/2}$con coordenadas estándar

$$(s^{ij})_{i\le j}=(s^{11},s^{12},...,s^{1n},s^{22},s^{23},...,s^{33},s^{34},...),$$ y por lo tanto una función$f(s)=f(s^{11},s^{12},...,s^{1n},s^{22},s^{23},...)$no depende de ninguno de los$s^{ji}$($i<j$) porque esas no son realmente coordenadas en$S^2_n$.

también definir$T^2_n$ser el espacio de$n\times n$matrices, vistas como$T^2_n=\mathbb R^{n^2}$, con coordenadas (sin restricciones)

$$(x^{ij})_{i,j=1,...,n}=(x^{11},...,x^{1n},x^{21},...).$$

En este enfoque,$S^2_n$no es un subespacio de$T^2_n$, pero podemos definir dos mapas, una inclusión $\imath:S^2_n\rightarrow T^2_n$y una proyección / simetrización $\sigma:T^2_n\rightarrow S^2_n$, definido de la siguiente manera.

Si$s=(s^{ij})_{i\le j}$, entonces$x^{ij}=\imath(s)^{ij}$Se define como

$$x^{ij}=\left\{\begin{matrix} s^{ij} & i\le j \\ s^{ji} & i>j\end{matrix}\right. ,$$ es decir, es la extensión natural de$(s^{ij})_{i\le j}$en una matriz simétrica, mientras que la proyección/simetrización se define como - si$s=\sigma(x)$- de modo que $$s^{ij}=x^{(ij)}=\frac{1}{2}(x^{ij}+x^{ji}),\ i\le j,$$ es decir, primero simetrizamos$x^{ij}$, y restringen el valor de los índices para que$i\le j$.

Claramente$\sigma$es un inverso izquierdo de$\imath$en el sentido de que$\sigma\circ\imath=\mathrm{Id}_{S^2_n}$.

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Ahora podemos considerar vectores tangentes en$S^2_n$y$T^2_n$, en el primero un vector tangente genérico tiene la forma

$$v=\sum_{i\le j}v^{ij}\frac{\partial}{\partial s^{ij}}|_s \in T_sS^2_n,$$ mientras que en este último tenemos $$w=\sum_{i,j}w^{ij}\frac{\partial}{\partial x^{ij}}|_x\in T_xT^2_n.$$

Intentamos relacionar derivadas con respecto a las variables restringidas$s^{ij}$a derivados con respecto a las variables no restringidas$x^{ij}$al notar que para cualquier vector$v\in T_sS^2_n$y función$f\in C^\infty(S^2_n)$tenemos

$$v(f)=v(f\circ\sigma\circ\imath)=\imath_\ast(v)(\sigma^\ast f),$$ dónde$\imath_\ast$es impulsor a lo largo de la inclusión y$\sigma^\ast$es pullback a lo largo de la simetrización.

Tenemos

$$(\sigma^\ast f)(x)=(f\circ\sigma)(x)=f(\sigma(x)).$$ Calculando la derivada da $$\frac{\partial(f\circ\sigma)}{\partial x^{ij}}(x)=\sum_{k\le l}\frac{\partial f}{\partial s^{kl}}(\sigma(x))\frac{\partial\sigma^{kl}}{\partial x^{ij}}(x) = \sum_{k\le l}\frac{\partial f}{\partial s^{kl}}(\sigma(x))\frac{\partial\frac{1}{2}(x^{kl}+x^{lk})}{\partial x^{ij}}(x) \\= \sum_{k\le l}\frac{\partial f}{\partial s^{kl}}(\sigma(x))\frac{1}{2}(\delta^k_i\delta^l_j+\delta^l_i\delta^k_j) ,$$ y como tal para cualquier vector tangente$w=\sum_{ij}w^{ij}\frac{\partial}{\partial x^{ij}}$obtenemos $$w(f\circ \sigma)=\sum_{i,j}w^{ij}\frac{\partial (f\circ\sigma)}{\partial x^{ij}}(x)=\sum_{i,j}\sum_{k\le l} w^{ij}\frac{\partial f}{\partial s^{kl}}(\sigma(x))\frac{1}{2}(\delta^k_i\delta^l_j+\delta^l_i\delta^k_j) \\ =\sum_{k\le l}\frac{1}{2}\left( w^{kl}+w^{lk}\right)\frac{\partial f}{\partial s^{kl}}(\sigma(s)).$$

Supongamos ahora que existe un vector tangente$v=\sum_{i\le j}v^{ij}\frac{\partial}{\partial s^{ij}}|_s\in T_sS^2_n$tal que$w=\imath_\ast(v)$. Es muy fácil comprobar (usando por ejemplo la definición del mapa tangente en términos de curvas) que$\imath_\ast(v)$es solo$\sum_{ij}w^{ij}\frac{\partial}{\partial x^{ij}}|_{x=\imath(s)}$, donde el$w^{ij}$son sólo las extensiones simétricas de la$v^{ij}$.

Obtenemos así rigurosamente que

$$v(f)=\sum_{i\le j}v^{ij}\frac{\partial f}{\partial s^{ij}}|_s=\sum_{i,j}v^{ij}\frac{\partial (f\circ\sigma)}{\partial x^{ij}}|_{x=\imath(s)},$$ donde en la última igualdad, los componentes$v^{ij}$han sido automáticamente extendidos simétricamente.

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Ahora apliquemos esto al caso cuando$f=s^{kl}$es una función de coordenadas, y extendamos las funciones de coordenadas simétricamente para que$s^{kl}=s^{lk}$para valores no restringidos de los índices. Entonces

$$v(s^{kl})=\sum_{i\le j}v^{ij}\frac{\partial s^{kl}}{\partial s^{ij}}=\sum_{i,j}v^{ij}\frac{\partial(s^{kl}\circ\sigma)}{\partial x^{ij}}=\sum_{i,j}v^{ij}\frac{\partial\sigma^{kl}}{\partial x^{ij}}\\=\sum_{ij}v^{ij}\frac{1}{2}(\delta^k_i\delta^l_j+\delta^l_i\delta^k_j).$$ Deberíamos ver esto como la igualdad $$\sum_{ij}v^{ij}\frac{\partial s^{kl}\circ\sigma}{\partial x^{ij}}=\sum_{ij}v^{ij}\frac{1}{2}(\delta^k_i\delta^l_j+\delta^l_i\delta^k_j),$$ lo cual es cierto para todos (incluso asimétricos)$v^{ij}$y obtenemos $$\frac{\partial s^{kl}\circ\sigma}{\partial x^{ij}}=\frac{1}{2}(\delta^k_i\delta^l_j+\delta^l_i\delta^k_j).$$ Este es un resultado que podríamos haber obtenido mucho antes con mucha menos pelusa, pero...

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El punto de la pelusa es que no tiene sentido calcular$\partial s^{kl}/\partial s^{ij}$para$i>j$, por lo que definimos

$$\frac{\partial s^{kl}}{\partial s^{ij}}\equiv\frac{\partial s^{kl}\circ\sigma}{\partial x^{ij}}=\frac{1}{2}(\delta^k_i\delta^l_j+\delta^l_i\delta^k_j)$$ como una especie de abuso de notación. Pero este abuso no es peligroso, porque como hemos visto, para cualquier arreglo$v^{ij}_{i\le j}$que automáticamente extendemos simétricamente, tenemos $$\sum_{i\le j}v^{ij}\frac{\partial f}{\partial s^{ij}}\equiv\sum_{i,j}v^{ij}\frac{\partial (f\circ\sigma)}{\partial x^{ij}},$$ por lo tanto, si usamos$\partial f/\partial s^{ij}$con índices sin restricciones como una abreviatura para el simétrico$\partial (f\circ\sigma)/\partial x^{ij}$, y reemplazamos todas las sumas restringidas con sumas no restringidas, obtenemos los mismos resultados, pero el precio de esto es que a través de esta identificación, obtenemos el resultado extraño$\partial s^{12}/\partial s^{12}=1/2$.