¿Hay alguna forma de medir la consonancia o disonancia de un acorde?

Sí, hay formas de medirlo, aunque hay muchos algoritmos diferentes que afirman ser más correctos que los demás. Esta fórmula de Vassilakis es reciente (2007).

Estos miden la " aspereza ", que es similar a la disonancia. (La disonancia es básicamente aspereza, pero ponderada hacia ciertos intervalos debido al condicionamiento cultural, que obviamente es difícil de medir cuantitativamente). Para dos tonos sinusoidales, la aspereza frente a la diferencia de frecuencia se ve así:

(Fuente: William A. Sethares )

Para señales más complejas, compuestas por múltiples tonos:

La rugosidad de las señales correspondientes a espectros con más de dos componentes sinusoidales se calcula sumando la rugosidad de todos los pares sinusoidales del espectro.

Para tonos con espectros armónicos, el efecto neto de la rugosidad entre todos los armónicos presentes produce gráficos con muescas de consonancia en intervalos con los que estamos familiarizados, como 3:2 de quinta perfecta:

La curva negra es del artículo anterior de Plomp-Levelt de 1965 , con esta descripción:

Suponemos que la disonancia total de tal intervalo es igual a la suma de las disonancias de cada par de parciales adyacentes ... estas presuposiciones son bastante especulativas... De esta manera, las curvas... fueron calculadas para tonos complejos que consisten en de 6 armónicos. ... muestra cómo la consonancia de algunos intervalos, dada por relaciones de frecuencia simples, depende de la frecuencia.

(Entonces, la curva Plomp-Levelt se basa en sumar la rugosidad de los parciales adyacentes, mientras que Vassilakis suma " todos los pares de senos". (Sethares me escribió y dice que lo "adyacente" es solo porque el poder computacional era limitado en los años 60. Comparando cada par es más apropiado.))

Se pueden encontrar más descripciones de esta curva en Marc Leman - Fundamentos de la musicología como ciencia de procesamiento de contenido (que también habla sobre derivar las escalas slendro y pelog del mismo algoritmo aplicado a los instrumentos de gong inarmónicos) y Plomp y Levelt's Hidden Ratio

La curva azul es de Sethares Relating Tuning and Timbre , que utiliza este cálculo de MATLAB , también basado en las curvas Plomp-Levelt. (Y aquí está mi traducción de Python ). Aquí hay una aplicación basada en MATLAB que usa el modelo de Vassilakis de 2007 para calcular también la misma curva para 6 armónicos (y tiene el M3 como más consonante que el m3).

Puede ver que las dos curvas no están de acuerdo sobre si m3 o M3 es más consonante. No estoy seguro de si esto se debe a calcular solo los parciales adyacentes frente a todos los parciales o si los parciales tienen amplitudes diferentes o qué. Por supuesto, los instrumentos reales producen mucha variación en sus espectros armónicos, incluso tocando la misma nota en el mismo instrumento, por lo que estas curvas son inherentemente aproximaciones. Aquí hay un gráfico que hice de violín vs clarinete , que muestra que el M3 es más consonante cuando el violín toca la nota más alta, debido a que los clarinetes producen en su mayoría armónicos impares.

Además, para más de 2 tonos, el algoritmo de Sethares clasifica los acordes menores y mayores como igualmente consonantes , lo cual no es la interpretación habitual. Entonces, Erlich y Monzo interpretan el número de Sethares solo como una medida de "aspereza" y requieren que la "disonancia" incluya tanto la "aspereza" como la "tonalidad" , donde los acordes mayores son más consonantes porque están más cerca de la raíz de una serie armónica ( 4:5:6) mientras que los acordes menores están más alejados (10:12:15). Sin embargo, no conozco una forma de cuantificar eso para frecuencias arbitrarias.

Sí. Tiene que ver con la relación de sus frecuencias. Esencialmente, cuanto más pequeños sean los números involucrados, mejor.

El unísono perfecto, con una proporción de 1:1 (p. ej., C tocado con el mismo C), tiene consonancia perfecta. C a la siguiente G tiene una relación de 2:3; la quinta perfecta es la siguiente más consonante. La segunda menor (p. ej., C a C#) es la más disonante en las escalas occidentales con una relación de frecuencia de 15:16.

Lo que esto representa es la frecuencia con la que las ondas sonoras "coinciden". Cada tercer ciclo de una C coincide con cada segundo ciclo de una G y viceversa; es decir, los picos de las ondas ocurren al mismo tiempo cada dos ciclos (o tres ciclos, según la nota que elija como base). ¡Esto es a menudo! Entonces, en general, su oído percibe los sonidos sincronizados y melodiosos. Por el contrario, las ondas que coinciden con poca frecuencia, como la segunda menor con solo la coincidencia del ciclo 15 (16), están en gran parte desincronizadas y, por lo tanto, son disonantes.

La mente es extraña, y lo que uno percibe como disonancia no es necesariamente lo que otro percibiría como disonancia. Dicho esto, lo más cercano a una medida absoluta y objetiva es el logaritmo de base 2 del mínimo común múltiplo de los lados de la razón. P.ej:

    largo(mcm(15, 16)) = largo(240) ~= 7.9

Esto es aproximadamente 3 veces más que

    lg(MCM(2, 3)) = lg(6) ~= 2.6

Pulcramente,

    lg(MCM(1, 1)) = lg(1) = 0

entonces esto también refleja el hecho de que el unísono perfecto no tiene disonancia. Curiosamente, Euler parecía pensar que el LCM también era la forma de hacer esto ¹ .

(Tenga en cuenta que LCM(x, y) = x*ypara proporciones totalmente reducidas; por ejemplo, 2:3 en lugar de 4:6).

[1]: Knobloch, Eberhard (2008). Euler transgrediendo los límites: el infinito y la teoría musical. Quaderns d'Història de l'Enginyeria, IX , 9-24. Disponible en línea: http://upcommons.upc.edu/revistes/bitstream/2099/8052/1/article2.pdf

Sí, hay una manera. Hay una investigación brillante de Norman D Cook que analiza específicamente las propiedades acústicas de las tríadas. Lo que hace es sumar varios parciales de tres tonos cualesquiera y asignarlos a un espacio tridimensional. Para hacer que las tríadas encajen en el espacio 2-D, calcula la diferencia de intervalo entre la primera y la segunda nota, y la coloca en un eje, la diferencia entre la segunda nota y la tercera en el eje y. Luego realiza los cálculos matemáticos para varias propiedades como consonancia, tensión, modalidad e inestabilidad. Él coloca esto en lo que él llama la cuadrícula triádica, donde M representa la tríada mayor, m para menor, s para sus y a para aumentada. Esta teoría modela cómo percibimos esos acordes en el orden en que sabemos que son consonantes, pero que hasta ahora no hemos podido explicar matemáticamente.Este es uno de los artículos de Cook sobre el tema .

El documento es razonablemente denso, si no te gustan las matemáticas y la teoría musical, te sugiero que veas este video de él discutiendo su teoría. Es revolucionario, creo, porque esta respuesta, creo, hasta ahora ha eludido a todos. Parece que debería basarse en cómo actúan las proporciones puramente matemáticamente, pero en realidad es más complejo que eso, por eso lo llama un modelo psicofísico de percepción de armonía. https://www.youtube.com/watch?v=CrmnaiyS5EE[![N . Vídeo de D. Cooks sobre su modelo musical de disonancia para triadas] 2 ] 2

Hay una respuesta corta y una respuesta más larga y complicada; Solo daré la respuesta corta aquí junto con los conceptos básicos de la respuesta larga.

La respuesta corta es: Sí, la hay, más o menos. Si toma la relación de las frecuencias de los dos tonos, obtendrá una fracción en términos más bajos. Cuanto más pequeños sean los números en esa fracción, más consonante será el intervalo. Por ejemplo, dos tonos al unísono tienen una proporción de 1:1. Una octava tiene una relación de 2:1. Una quinta perfecta (como C a G) tiene una proporción de 3:2, etc. Matthew hace un buen trabajo en su respuesta al explicar por qué las proporciones con números más pequeños suenan más consonantes que las proporciones con números más grandes.

Pero todo esto se complica más por el temperamento, que es la forma en que los tonos se afinan entre sí. Mira, supón que afinas tu A a 440 Hz y luego comienzas a afinar las otras notas en relación con ese A, usando las proporciones de números enteros como guía. Afinarás E a 660 Hz, por ejemplo. Para las primeras notas, todo sonará genial, pero no pasará mucho tiempo antes de que comiences a escuchar algunos intervalos extraños. Algunos intervalos tienen buenas proporciones de números enteros, pero otros que crees que deberían sonar bien, como la tercera mayor de Eb a G, suenan realmente mal. Para abreviar una larga historia, resulta imposible afinar las doce notas cromáticas utilizando proporciones de frecuencias de números enteros y hacer que todo salga bien. Matemáticamente, simplemente no se puede hacer.

Así que tienes que hacer algunos compromisos en alguna parte. Hay muchas, muchas maneras diferentes de llegar a tal compromiso, y no las detallaré aquí. Pero durante los últimos doscientos cincuenta años más o menos, nos hemos decidido por un sistema de afinación conocido como temperamento igual . En este sistema, comienza con un tono de referencia (p. ej., A440), y luego la frecuencia de cada nota alterna es 2 ^n/12 , donde n es el número de semitonos por encima del tono de referencia.

En este sistema, ninguno de los intervalos tendrá razones de números enteros. Pero todos los intervalos son consistentes (algunos dirían que son consistentemente imperfectos), por lo que te permite tocar en cualquier tono. Es un compromiso efectivo, pero se pierde la pureza de los verdaderos intervalos de razón de números enteros. Y así, la respuesta corta que di arriba resulta ser solo correcta en cierto modo, porque los intervalos de consonantes tendrán proporciones que son casi , pero no de hecho, buenas proporciones pequeñas de números enteros.

Usando la fórmula empírica A+B dividida por AB donde A y B representan la relación de frecuencia de las dos notas de ese intervalo parece dar una medida absoluta de la magnitud del grado de consonancia de la siguiente manera

La relación de frecuencia al unísono 1:1 produce un valor de 2

La relación de frecuencia de octava 2: 1 produce un valor de 1.5

La relación perfecta de quinta frecuencia 3:2 produce un valor de 0,833

La relación perfecta de cuarta frecuencia 4:3 produce un valor de 0,583

Relación de sexta frecuencia principal 5:3 da un valor de 0,533

La relación de 3ra frecuencia principal 5:4 produce un valor de 0,45

Relación de tercera frecuencia menor 5:6 produce un valor de 0,366

Relación de sexta frecuencia menor 5:8 da un valor de 0,325

Relación de segunda frecuencia principal 8:9 da un valor de 0,236

Relación de séptima frecuencia principal 8:15 da un valor de 0,192

Relación de séptima frecuencia menor 9:16 produce un valor de 0,174

Relación de segunda frecuencia menor 15:16 da un valor de 0,129

Aunque la fórmula utilizada es empírica, los resultados se adhieren notablemente al orden aceptado de grado de consonancia de los intervalos armónicos dentro de una octava.

solo un par de comentarios adicionales:

1. Para calcular una medida de disonancia, se deben tener en cuenta los armónicos, es decir, calcular todas las contribuciones por pares a la medida y sumarlas (no es demasiado difícil de hacer).
2. Para acordes de más de dos tonos, simplemente suma todas las contribuciones por pares a la medida, los fundamentales y los armónicos.
3. La disonancia disminuye con la distancia: la equivalencia de octava realmente no funciona a este respecto. Un segundo menor es más disonante que un nueve menor que a su vez es más disonante que un 17 menor.

Toma toda la teoría con pinzas. Puede amar los pimientos picantes u odiar los pimientos picantes.

Puede pensar que el acorde de séptima mayor (por ejemplo, CEGB) que finaliza muchas composiciones de jazz y "La Création du Monde" de Darius Milhaud es la consonancia más hermosa imaginable, mucho más interesante que una tríada simple. O puedes pensar que es la disonancia más horrible.

La consonancia y la disonancia se pueden definir objetivamente, como puede ver en las otras respuestas, pero la mayoría de las personas las consideran términos subjetivos. Como tales, dependen de los oídos, el gusto y la historia del oyente.

El problema con la fórmula de distancia armónica de Tenney y otras fórmulas es que para números primos y compuestos más altos en proporciones que suenan cercanas a las proporciones simples, se medirán como si tuvieran un HD más grande, por ejemplo, 3001/2000 suena increíblemente cerca de una quinta perfecta pero tiene un HD muy grande aunque sería consonante. Aquí hay un artículo sobre armonía donde la fórmula funciona para muchas situaciones pero probablemente tenga el mismo problema: https://www.mat.ucsb.edu/Publications/Quantification_of_Harmony_and_Metre.pdf

Escribiste "Acorde" pero hablaste solo de combinaciones de dos notas, y la respuesta ya está marcada. Tampoco olvides que aquí estamos hablando de música. Lo que se mide no es el tono físico sino la percepción del oyente.

Sin embargo, quería responder que para acordes 'reales' con tres o más miembros, las matemáticas simples ya no se aplican. El componente psicológico cobra mayor importancia. Un acorde aumentado (ceg#) es una consonancia (imperfecta) para todas las combinaciones, pero se percibe como uno de los acordes más disonantes.

También para combinaciones de dos notas importa en qué octava las tocas. Los intervalos disonantes son menos disonantes si los toca con una octava de diferencia, mientras que los intervalos consonantes son menos consonantes cuando se tocan separados, ambos efectos psicológicos.

Hay otros parámetros además del tono que pueden tomar el control. Incluso con solo intervalos de sintonización en el extremo inferior de nuestro espectro auditivo, no suenan tan "buenos" como en el rango medio. Nuestro oído no es lineal, tiene sus bandas preferidas en el espectro de audio, donde está el lenguaje hablado.

Respondería a esto desde una perspectiva de teoría musical pura, en lugar de una perspectiva de procesamiento de señal o EE o ingeniería de audio. El problema cuando vas por ese camino (IMO) es que obtienes todo tipo de señales que se pueden observar en un osciloscopio, o ejecutar a través de un FFT, que no son musicales en absoluto, podría ser el sonido del metal para chirrido de metal de un vagón de ferrocarril en las vías. En términos musicales todo tipo de semitonos que no se encuentran en la escala diatónica o cromática.

Desde la perspectiva de la teoría musical, la disonancia se mide por la cantidad de notas ALTERADAS en el acorde. Las notas alteradas son simplemente b5, #5, b9 y #9. En C mayor, estos son Gb, G#, Db y D# respectivamente. Tenga en cuenta que estos son todos un 1/2 paso por encima y por debajo del 5 y la tónica (raíz) del acorde. La raíz y el 5 son las notas que suenan más consonantes, por lo que al tocar notas a solo 1/2 paso de distancia obtenemos el sonido disonante.

Vaya a un piano o guitarra y toque un acorde usando solo estas notas - G, C#, G#, C - la 5, b9, #5 y fundamental, en tono ascendente. Esto es tan disonante como querrás escuchar.

Tal vez relevante después de nueve años :-) ¿Cómo clasificar por similitud de tono?

El método descrito anteriormente se basa en la suposición de que dos tonos con relación $a/b$ suenan consonantes, si $a,b$ son números pequeños.

Usé la función $k(a,b) = \frac{\gcd(a,b)^2}{ab}$ para medir la simplicidad de la razón y, por lo tanto, la consonancia asumida. Si la función toma un valor cercano a uno, entonces los dos tonos suenan consonantes (nuevamente, debe ponderar subjetivamente el volumen y la duración); de lo contrario, si toma un valor cercano a cero, suenan disonantes.

Dado que desea usar la computadora, este enlace a un conjunto de datos de notas en formato vectorial también podría ser útil:

https://www.kaggle.com/musescore1983/measuring-note-consonance-with-psd-kernel

Sí, hay un nuevo método que he desarrollado:

Se basa en un índice de disonancia basado en la ecuación modulador-portador, y el número de picos y variaciones de amplitud de la onda de sonido resultante del acorde (incluido el efecto de modulación)

Un aumento en el número de picos de amplitud y sus variaciones produce más estrés y una sensación desagradable para los oídos. El método incluye algunas consideraciones sobre la Resolución Temporal y la Función de Modulación Temporal.

En base a este nuevo concepto, se ha construido una nueva escala musical con todos los mejores acordes consonánticos de dos notas extraídos de las secuencias de Brocot, y puede extenderse a cualquier número de notas, por lo que una tabla con todos los acordes más consonánticos (hasta 6 notas) para esa escala está incluida. Cabe señalar que se puede extender a cualquier número de notas.

Esta nueva escala no se basa en el antiguo mito de la Octava, sino solo en fundamentos científicos.

Muy breve explicación: Es necesario buscar otra forma de definir y medir la consonancia, y desde arriba nunca prevalecerá la consonancia, que debe ser el principio fundamental de la música, ni la razón geométrica como principio generador, ni el antiguo mito de la 'Octava'. ' como principio rector para dividir todo el reino de los sonidos y establecer leyes sobre su igualdad, ni el concepto de bemoles y sostenidos como consecuencia de las incongruencias en la construcción de las escalas, ni la igualdad de los intervalos entre las proporciones para cumplir las Requisitos de los instrumentos musicales.

Todos hemos escuchado muchas composiciones que nos parecen muy agradables, pero también hemos escuchado piezas clásicas llenas de acordes disonantes y desagradables, y no precisamente porque hayan sido construidas o ejecutadas deliberadamente para representar algún estado emocional en la composición, sino simplemente porque son acordes muy disonantes los que habitan esas escalas y otros músicos prefieren no utilizar en sus piezas musicales.

Este trabajo tiene como objetivo encontrar una forma científica de crear un índice para medir la disonancia. De esta forma, trabajaremos inicialmente con la geometría de entrada de dos sonidos, más adelante comentaremos cómo extender este análisis a cualquier número de sonidos.

La siguiente imagen es muy importante por varias razones,

aquí puedes ver varios tipos de ondas, correspondientes a las proporciones 7/1, 3/1, osea de arriba hacia abajo, 7/1, 3/1, 5/2, 2/1 que es la octava, 4/3 y 9/8.

¿Cuál crees que tiene la apariencia más uniforme? La relación 3/1 parece más uniforme porque sus picos de amplitud son todos iguales, no hay deformación ni modulación de onda y la distribución de picos es totalmente uniforme.

Si vamos de 9/8 hacia arriba, podemos ver que 9/8 es una onda modulada, y eso sucede cuando las frecuencias están muy cerca unas de otras. El efecto de modulación va decreciendo a medida que subimos de octava, y en ese punto la modulación aún no ha desaparecido, entonces esto quiere decir que la relación 2/1 --el acorde de octava-- pertenece a la zona de modulación, 2/1 es ciertamente otra onda modulada.

Continuando hacia arriba, la modulación tiende a desaparecer hasta llegar al ratio 3/1, donde ya no queda rastro de ella, la onda es totalmente uniforme.

De 3/1 en adelante, la onda siempre tendrá esa forma sinusoidal, parece estar delimitada o confinada por dos envolventes imaginarias, como se puede ver en la imagen de arriba, dos envolventes sinusoidales paralelas que le dan una especie de espesor constante a la onda. .

En cambio, en la zona por encima del ratio 3/1, no existe la misma variedad de formas de onda que en la zona inferior. En el caso de la relación 3/1, esas envolventes parecen convertirse en dos rectas paralelas.

A medida que retrocedemos desde 3/1 hacia 1/1, esas envolventes sinusoidales imaginarias parecen cambiar entre sí, y el cambio de fase continúa hasta que produce las formas típicas de los paquetes (modulación) y esas envolventes ya no son paralelas sino simétricos entre sí como en el caso de 9/8.

De la imagen de arriba se pueden sacar dos conclusiones:

En primer lugar, hay dos zonas definidas que dividen el dominio de los acordes, la zona superior por encima de la relación 3/1 y la zona inferior por debajo de 3/1 que podríamos llamar la zona de modulación.

Así, la relación 3/1 es un verdadero hito para la definición de consonancia de acordes, incluso más importante que la octava.

La segunda conclusión es que existen dos tipos mixtos de consonancia dentro del intervalo [1,3] la primera regida por el número de picos y sus amplitudes, y otra disonancia introducida por el empaquetamiento de ondas, es decir, la modulación.

Considerando todo eso, la acción inmediata debe ser construir, un Índice de Disonancia basado en el valor de las frecuencias de los acordes, de esta manera, se desarrolló un código de programación para generar números racionales irreducibles de acuerdo a las conocidas sucesiones de Brocot, las cuales se utilizan como relaciones de frecuencia en la ecuación Portador-Modulador, para finalmente obtener los parámetros requeridos para el índice de disonancia.

Utilizando dicho Índice de Disonancia elegiremos las proporciones más consonantes, para crear la escala denominada 'Tríplice', que se basa exclusivamente en los acordes de dos notas más consonantes, un principio muy diferente al utilizado en las escalas tradicionales.

Por supuesto, algunos valores de esta nueva escala coincidirán con algunas proporciones de escalas musicales personalizadas porque hay consonancias obvias, sin embargo, otros no.

Sigue la ecuación de la suma de dos ondas sinusoidales

expresada como el producto de una función moduladora coseno y otra función seno llamada Portadora, cuya frecuencia es el promedio de las frecuencias del acorde de dos sonidos

(La onda resultante está representada por la curva más gruesa)

Junto a la onda resultante, se incluyen las ondas Moduladora y Portadora: Coseno y Seno.

El elemento más importante aquí es la relación entre la mitad del período del Modulador y el período completo del Portador.

En el caso de la relación 3/1, la mitad del período del modulador abarca solo un período de la portadora, y esto es importante porque explica por qué la relación 3/1 es una especie de límite límite para los tipos de acordes, ya que la relación desciende de 3/ 1 hacia 1/1, la mitad del período del modulador abarcará muchos períodos de la portadora. En cambio, en la zona superior que corresponde a todos los ratios superiores a 3/1, ocurre lo contrario, el periodo de la portadora es siempre superior a la mitad del periodo del modulador.

Ahora la pregunta es: ¿Cómo actúa el modulador sobre la portadora para generar la onda resultante? Para la relación 3/1, y dentro del periodo fundamental de la onda resultante, el Modulador y el Portador se cortan a la vez en el eje horizontal, a ambos lados de ese punto el modulador cambia de signo y como es producto de el coseno por el seno, entonces todo el pico de la portadora también cambia de signo.

Además, el Modulador también escala la amplitud del pico de la Portadora sin modificar su forma (ver notas) y finalmente como resultado una forma de onda tan uniforme.

En el caso de la relación 2/1, la portadora no coincide con el modulador cuando corta el eje horizontal, y en ese punto, por su cambio de signo, el modulador modifica la forma de la onda portadora, y un nuevo pico adicional se crea en la onda resultante. Por lo tanto, el modulador no solo escala el pico de la portadora sino que modifica la forma de onda de la portadora (ver notas).

Como ya dije para relaciones más cercanas a 1/1, un medio período de modulador abarca muchos períodos de portadora, por lo que empaqueta gradualmente sus picos de amplitud de acuerdo con la función coseno, es decir, como en el caso de 9/8 que vimos más temprano.

En este punto es importante mencionar el tema de la precisión de los oídos para decodificar y procesar la entrada, me refiero a la Resolución Temporal de los oídos y la Función de Modulación Temporal, entre otros temas, por lo que los especialistas en la materia coinciden en que para bajas frecuencias se convierte en más fácil para el oído percibir la diferencia de amplitud de modulación, mientras que para las frecuencias altas este tipo de percepción disminuye, por ello, en el caso de los acordes de baja frecuencia se puede percibir en cierta medida la disonancia de modulación, y hay que señalar que esto ocurre incluso en el caso de la octava, pero no para la relación 3/1.

Por lo tanto, las expresiones "Puro" y "Perfecto", entre muchas otras que se usan comúnmente en la música, no deben usarse para dar relevancia a las proporciones por debajo de 3/1. Para ratios 4/3 y 5/4 no necesitas frecuencias muy bajas para percibir la disonancia de modulación.

Todo esto está completamente detallado en el libro y para el caso de comparación de consonancia entre diferentes acordes se incluye una tabla con los parámetros correspondientes. En las imágenes que se muestran en pantalla se nota que todos los picos de las portadoras coinciden con los picos de las ondas resultantes.

La relación entre la mitad del período del Modulador y el período completo de la Portadora, que se muestra como la relación 'r' en la imagen de arriba, facilita saber cómo se genera la forma de onda, también permite calcular el número de picos y sus amplitudes.

Confirma que la relación 3/1 es un hito que representa un punto muy especial para la relación 'r', además, saca a la luz el límite entre dos zonas, dos categorías de cuerdas o tipos de formas de onda. Es interesante observar la distribución de los picos de las portadoras dentro de los intervalos [2,3] y [1,2].

La siguiente imagen muestra el eje y, que representa el número de picos de la portadora, y el eje x que representa las relaciones de frecuencia.

El nombre: Harmonies Garden es solo una abstracción, debido a la similitud de esa imagen con un bosque o un jardín. Esa imagen muestra muchas propiedades curiosas. principalmente al hacer zoom y detallar en la parte inferior de cualquiera de los arbustos que ahí aparecen, claro, si se me permite llamarlos así.

Se desarrolló un código de programación para generar las secuencias de Brocot, y mediante el procesamiento de los parámetros de la onda resultante, así como mediante el uso de la ecuación del Modulador-Transportador, se calcula un índice de disonancia geométrica.

Este índice de disonancia geométrica se denota con el acrónimo Idm y se basa en varios factores.

Como puede ver, el Idm aparece en la última columna de la tabla, de la cual solo se muestra una pequeña sección aquí. Además, hay dos gráficos de distribución de Idm para los intervalos [1,2] y [2,3] que para una mejor visibilidad aparecen separados en la pantalla.

Solo tenga en cuenta que deben estar unidos ya que estamos tratando con toda la escala [1,3].

Esas dos gráficas nos permiten elegir las relaciones con los índices de disonancia más bajos, es decir, aquellas relaciones que se muestran junto a los vértices más bajos en ambas gráficas.

El eje y indica el índice de disonancia y el eje x representa las relaciones de frecuencia correspondientes.

Esas son las proporciones elegidas para la nueva escala denominada: El Tríplice, por supuesto, cada uno es libre de agregar razones de otros vértices o eliminar otras según cualquier criterio.

El punto es establecer un límite para el índice de disonancia. También se incluye la ecuación Modulador-Portador para más de dos ondas sinusoidales, por lo que el índice de disonancia se puede calcular para cualquier número de sonidos.

En ese caso, la expresión tiene básicamente la misma estructura, tiene varias funciones de coseno de modulación que se multiplican a una función de seno de portador, y al usar esa ecuación, se puede seguir fácilmente un procedimiento similar para calcular el índice de disonancia.

Otra forma de determinar la disonancia es agrupar los sonidos en conjuntos de dos notas y luego calcular la suma o el promedio de todos esos conjuntos.

También se debe tener en cuenta que para realizar comparaciones entre armónicos es necesario realizar análisis espectrales y eso puede representar algún inconveniente para algunas personas. Así, comúnmente se argumenta que para determinar la consonancia, las ondas cuyos armónicos no tienen nodos coincidentes son disonantes, sin embargo, el problema es que al comparar cuerdas, si todos los nodos de los armónicos de máxima amplitud no coinciden, entonces se vuelve muy difícil determinar cuál es más disonante y en qué medida. Con el índice de disonancia de modulación, no hay tal problema.

Nota: Aplicaciones para Análisis Estructural (Ingeniería Estructural)

Finalmente, aunque el tema de la consonancia siempre está orientado hacia las artes, también podría tener cierta importancia para las ciencias de la ingeniería. Para un ingeniero estructural o mecánico, los modos de vibración de una estructura, que en música suelen llamarse 'armónicos', son la columna vertebral del análisis estructural, entonces, si además de tener en cuenta los fenómenos de resonancia, así como la participación de las masas en las fuerzas aplicadas a la estructura, debido a esos armónicos, como se hace comúnmente en el análisis estructural, entonces también incluiría en el análisis lo que podría llamar la consonancia de masas o la música de las estructuras, entonces el índice de disonancia Idm podría usarse para inferir por adelantado la demanda de desplazamiento en la estructura.

Recuerde que un acorde consonante tiene una pequeña cantidad de picos de amplitud, menos complejidad geométrica de onda, baja demanda para los oídos y mínima demanda de disipación de energía.

Puede encontrar información completa sobre este método en: https://numbermusicrevolution.com/musicrevolution/

también en: