Espacio de fase en mecánica cuántica y principio de incertidumbre de Heisenberg

En mi libro sobre mecánica cuántica dan una derivación de que para una partícula un área de h en 2 D el espacio de fase contiene exactamente un estado mecánico cuántico. En mi libro sobre física estadística hacen exactamente lo mismo, pero ahora por 6 D espacio de fase (ahora un estado mecánico cuántico cubre un volumen de h 3 ).

No estoy seguro de interpretar esto bien. ¿Significa esto que en este 6 D volumen del espacio de fase (de h 3 ), la partícula solo puede estar exactamente en una ubicación con solo un conjunto posible de vectores de momento pag X , pag y , pag z (así es como interpreto "un estado posible")?

Si esta interpretación es correcta, tengo el siguiente problema. Ambos libros dicen que esto se ajusta al principio de incertidumbre de Heisenberg, pero no veo por qué. Me parece que porque uno puede medir (fi en 2 D espacio de fase) pag X y X de modo que ∆ X ∆ pag X = h y debido a que esta es exactamente la superficie del espacio de fase en el que solo hay un estado, ahora se ha determinado exactamente la posición y el momento de la partícula (porque solo hay un estado en esta área). Debido a esto, supongo que algo está mal con mi interpretación (aunque parece coincidir con la derivación).

Respuestas (1)

Tu interpretación no es del todo correcta. Se puede dar una interpretación aguda a este "corte" del espacio de fase en cubos de tamaño h 2 norte (aquí norte es la dimensión del espacio de configuración del sistema), es que permite utilizar el espacio de fase clásico para contar el número de estados propios de energía del hamiltoniano cuántico correspondiente. En lugar de tratar de describir lo que quiero decir, investiguemos esto a través de un ejemplo.

Considere el oscilador armónico simple unidimensional. el hamiltoniano es

H ( q , pag ) = 1 2 metro pag 2 + 1 2 metro ω 2 q 2
Digamos que quiero responder lo siguiente:

Pregunta. Dada una energía mi > 0 , ¿cuántos estados hay con energías menores que mi ?

Ahora, debemos tener cuidado aquí porque el término "estado" significa cosas diferentes en los casos clásico y cuántico. En el caso clásico, un estado es un punto ( q , pag ) en el espacio de fase. En el caso cuántico, un estado es un vector en el espacio de Hilbert. Por lo tanto, podemos reinterpretar la pregunta de la siguiente manera:

Versión clásica. cual es el area A ( mi ) de la región de fase correspondiente a todos los estados clásicos ( q , pag ) con energías inferiores a mi ?

Versión cuántica. ¿Cuántas energías autoestados Ω ( mi ) posee el hamiltoniano con energías menores que mi ?

Lo asombroso es que si medimos el área en el espacio fase en unidades de h , y siempre que consideremos h mucho más pequeñas que las otras escalas del problema, ¡ambas preguntas darán (aproximadamente) la misma respuesta! Mostremos esto. En el caso clásico, la región del espacio de fase que contiene todos los estados con energías menores que mi es el área del interior de la elipse definida por

mi < H ( q , pag )
Resulta que el área de esta elipse es
A ( mi ) = 2 π mi ω
Por otro lado, en el caso cuántico recuerde que los valores propios de la energía son mi norte = ( norte + 1 / 2 ) ℏ ω . Esto significa que el número de autoestados que tienen energía menor que mi se encuentra resolviendo
( Ω ( mi ) + 1 2 ) ℏ ω = mi
que, por h pequeña da
Ω ( mi ) ∼ mi ℏ ω
Ahora aquí es donde ocurre la magia, observe que
A ( mi ) Ω ( mi ) ∼ 2 π mi ω mi ℏ ω = 2 π ℏ = h
entonces tenemos
Ω ( mi ) ∼ A ( mi ) h
En palabras: el área del espacio de fase, medida en unidades de h , nos permite contar con precisión el número de estados cuánticos por debajo de una energía dada

Gracias, eso hizo las cosas más claras. Aunque todavía tengo algunas preguntas. Si tomamos, en el caso del oscilador armónico, una elipse en el espacio de fase, la cantidad de estados cuánticos es el área de la elipse dividida por h . Pero me pregunto cómo debo interpretar el caso, si no tomamos una elipse, sino media elipse o un cuadrado en el espacio de fase. Porque en estos libros dicen que (en el caso de una partícula libre) para un área aleatoria de d pag X d X en el espacio de fase (las coordenadas generalizadas ahora son pag X y X ), la cantidad de estados en esta área es d pag X d X h .
Entonces, aunque entiendo cómo podemos hablar sobre "una cantidad de estados" en una elipse en el espacio de fase (en el caso del oscilador armónico), realmente no veo cómo podemos generalizar esto a un área aleatoria en el espacio de fase. ¿Cómo se puede interpretar físicamente una cantidad de estados en un área aleatoria?
@yarnamc Estoy de acuerdo en que parece que el procedimiento que he descrito no parece ser inmediatamente generalizable para decir volumen de fase arbitrario. Mi sensación es que cuando los autores hacen afirmaciones sobre tales cosas, simplemente están siendo imprecisos. Después de todo, hay más en la mecánica cuántica de lo que el espacio de fases clásico puede decirnos. En particular, solo debemos esperar que las declaraciones clásicas concuerden con las cuánticas en algún límite (como en mi respuesta donde consideramos h → 0 ). En resumen, creo que estos autores están llenos de eso :) y tampoco veo cómo podemos generalizar.
Sin embargo, debo decir que estaría muy interesado si alguien más en física sabe algo que yo no. ¡Esperemos que más personas lean esto!
Ahora creo que la cantidad de estados en un área aleatoria es solo un concepto matemático sin interpretación física. Gracias por tus respuestas :D
¡Gracias por esta información @joshphysics! ¿Existe un teorema que muestre que esto es siempre así? es decir, que el área del espacio de fase clásico es h veces el número de estados propios?
@EnriqueMendez No estoy seguro, ha pasado mucho tiempo desde que pensé en esto, pero si encuentra uno probado en algún lado, me interesaría saberlo.
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