¿El teorema de Liouville para la subvariedad de cantidades conservadas dadas?

El teorema de Liouville establece que el volumen del espacio de fase se conserva en el tiempo con respecto al sistema dinámico generado por las ecuaciones de Hamilton y Hamilton.

Sin embargo, cualquier punto dado en el espacio de fases evolucionará dentro de una subvariedad caracterizada por ciertos valores de las cantidades conservadas (energía, cantidad de movimiento,...).

No es obvio para mí que el "volumen de fase" dentro de esta subvariedad también se conserve con el tiempo, ya que es un volumen de menor dimensión que el del espacio de fase.

¿Hay algún resultado aquí que me puedas señalar?

en.wikipedia.org/wiki/Non-squeezing_theorem tal vez sea un poco exagerado. Pero el punto es que este resultado se deriva de la geometría simpléctica.
@guillaumeTrojani, he intentado leer sobre geometría simpléctica, pero aún no entiendo cómo se relaciona con la mecánica hamiltoniana. ¿Cuál es la forma simpléctica aquí?
Entonces, en el caso más simple (o localmente si lo prefiere), la forma simpléctica es canónica, es decir: ω = d pag i ∧ d q i . Pero si lo prefiere, esta forma es la que "genera" la estructura de poisson. Puedo tratar de darle una respuesta completa, pero sospecho que alguien vendrá antes (y probablemente lo haga mejor)
(Para ser claro, no estoy seguro de qué d pag ∧ d q significa, y he hecho la pregunta aquí: physics.stackexchange.com/q/564834 ). ¿Es diferente de la integral doble? ∫ F d pag d q ?
No te preocupes, es un tema avanzado seguro. Creo que recibiste muy buenas respuestas en la otra publicación. Pero es un tema difícil para el primer encuentro. Y sobre el teorema de no compresión, yo mismo no entiendo (la prueba de) porque, hasta donde yo sé, usa una técnica de geometría algebraica llamada invariante de witten-gromov, así que, como dije, una exageración masiva a tu pregunta. Si tuviera una mejor respuesta, habría escrito una publicación. ¡Lo siento!
Ah, y solo para responder a su pregunta, la forma simpléctica de 2 y esta integral doble resultan ser las mismas en el caso porque está integrando sobre una superficie de 2, por lo que es lo mismo. La mejor manera de introducir el concepto de formas de volumen es pensar en cómo se transforman con la matriz de jacobiam.

Respuestas (1)

Para preguntar si se conserva el volumen de fase en la subvariedad, primero debemos definir el volumen de fase en la subvariedad. No es obvio cómo hacer esto: la forma simpléctica podría desaparecer en la subvariedad, o la subvariedad podría incluso volverse impar, por lo que no estamos garantizados para obtener una medida de volumen natural de la forma simpléctica. Una mejor pregunta es "¿podemos definir el volumen de fase en una subvariedad tal que se cumpla el teorema de Liouville?

Definir una medida de volumen sobre una subvariedad es equivalente a definir la integración sobre esa subvariedad. Para las variedades de Riemann, generalmente hacemos esto integrando sobre un ϵ -engrosamiento de la subvariedad, luego tomando el límite como ϵ → 0 + . Para una variedad simplética, un ϵ -El engrosamiento no tiene sentido, ya que no hay noción de distancia. Sin embargo, a veces podemos hacer algo similar usando órbitas. Afortunadamente, no nos importa definir el volumen en una subvariedad arbitraria. Nos preocupamos por definir el volumen en la órbita de algún punto inicial bajo el flujo hamiltoniano.

Dejar pag ser el punto inicial que nos importa, y dejar METRO sea ​​la variedad original. Dejar tu ⊂ METRO ser un barrio de pag . oscuro ⁡ tu = oscuro ⁡ METRO , por lo que sabemos cómo integrar más tu . También sabemos cómo integrar sobre la órbita de tu . Para integrar sobre la órbita de pag , podemos integrar sobre la órbita de tu , luego dividir por ∫ 1 y tome el límite como tu se encoge a pag . Esta integración da una medida de volumen bien definida en la órbita de pag . Con respecto a esta medida de volumen, se cumple el teorema de Liouville.

Ejercicios para el lector:

  • Muestre que la medida del volumen realmente está bien definida (es decir, el límite existe)
  • Demuestre que satisface el teorema de Liouville
  • Pensándolo bien, en realidad no es obvio para mí que la órbita de tu siempre tiene una dimensión bien definida. ¿Existen sistemas hamiltonianos con órbitas fractales?
  • Si tenemos dos hamiltonianos diferentes en METRO con las mismas órbitas, ¿las medidas de volumen asociadas serán las mismas? Yo tampoco sé la respuesta a esta.
¿El teorema de Liouville para la subvariedad de cantidades conservadas dadas?
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