Estoy tratando de entender la relación entre las dos leyes de conservación. Según tengo entendido, el resultado de Liouville es una condición más débil: se basa simplemente en la forma particular asumida por las ecuaciones de Hamilton y su campo vectorial hamiltoniano correspondiente, mientras que la conservación de la energía en el formalismo hamiltoniano requiere que el hamiltoniano sea explícitamente independiente del tiempo. Me atrevería a decir que es un principio más profundo a este respecto.
Por otro lado, sus implicaciones directas para las trayectorias y el movimiento de las partículas me son bastante esquivas. He visto principalmente sistemas físicos donde tanto la energía como el volumen del espacio de fase se conservan y he visto un montón de sistemas disipativos, digamos un oscilador amortiguado, donde ambos no se conservan. Estoy buscando ejemplos en algún lugar intermedio para capturar su singularidad respectiva: conservación del volumen del espacio de fase pero sin conservación de energía, una situación hipotética en la que se conserva la energía pero el teorema de Liouville no se cumple, etc. Prefiero conocer un ejemplo de mecánica clásica que de mecánica estadística, que sé que es donde el teorema de Liouville resulta particularmente útil, pero no sé casi nada al respecto.
En realidad, el teorema de Liouville es más general: es válido incluso si la función de distribución depende del tiempo, e incluso si el hamiltoniano depende del tiempo.
http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(Hamiltoniano)
-> conservación del volumen del espacio de fase pero sin conservación de la energía: cualquier hamiltoniano que dependa del tiempo, pero eso ya lo sabes. Por ejemplo, sistema de partículas libres bajo la acción de fuerzas prescritas dependientes del tiempo.
-> la energía se conserva pero el teorema de Liouville no se cumple: esto es más difícil de encontrar. El teorema de Liouville es válido para todo hamiltoniano normal, por lo que hay que buscar un sistema no hamiltoniano que, sin embargo, tenga energía y ésta se conserve. Lo único que puede tener tal comportamiento que me viene a la mente es un sistema no holonómico con algunas restricciones de movimiento desagradables, como una pelota en un plano sin deslizamiento. Basado en lo que dice Goldstein en el capítulo 2 de su libro, creo que para tales sistemas puede que no haya hamiltoniano, ergo no hay teorema de Liouville. Uno tiene más bien las ecuaciones newtonianas básicas de movimiento y las ecuaciones y desigualdades de restricción: la energía se puede definir como la suma de las energías cinéticas y se puede conservar.
El teorema de Liouville no solo depende de la forma de las ecuaciones de Hamilton sino también del hecho de que , dónde es la función de distribución estadística del sistema. Esto es estrictamente cierto solo para sistemas cerrados y es aproximadamente cierto para sistemas casi cerrados cuando no se observan durante demasiado tiempo.
La energía de un sistema se conserva cuando su lagrangiano, y por tanto también el hamiltoniano, no depende explícitamente del tiempo. Para cuerpos macroscópicos, esto será cierto solo para un sistema cerrado y aproximadamente cierto para un sistema casi cerrado durante un período de tiempo lo suficientemente corto.
Una duración de tiempo se considera larga o corta en comparación con el tiempo de relajación del sistema. El tiempo de relajación es, aproximadamente, el tiempo que tarda el sistema en adaptarse a su entorno.
Por tanto, tanto el teorema de Liouville como la conservación de la energía son ciertos en la misma escala de tiempo y en las mismas condiciones. En ese sentido, son equivalentes.