Prueba del teorema de Liouville: Relación entre el volumen del espacio de fase y la función de distribución de probabilidad

Para obtener el resultado$\frac{\text d \rho }{\text d t}=0$necesita dos hechos: el primero es que el flujo hamiltoniano conserva el volumen del espacio de fase. El segundo hecho es la conservación de la probabilidad , es decir, la probabilidad de que el sistema se encuentre en un volumen$U$en el momento$t=0$es igual a la probabilidad de encontrarlo dentro$\Phi _t U$en el momento$t$, dónde$\Phi _t$denota el flujo hamiltoniano. Esta es una consecuencia directa de la naturaleza determinista de la mecánica clásica: las dos proposiciones “$(p(0),q(0))\in U$" y "$(p(t),q(t))\in \Phi _t U$” son equivalentes.

Usando la conservación de la probabilidad, para un volumen arbitrario$U$podemos escribir una ecuacion:

$$\int _U \rho(p,q,0) \text d p \text d q=\int _{\Phi _t U} \rho(p,q,t)\text dp \text d q .$$ Por el teorema de Jacobi: $$\int _{\Phi_t U} \rho (p,q,t)\text d p \text d q=\int _U\rho (\Phi _t (p,q),t)\text J_{\Phi _t}d p \text d q.$$ el jacobiano $J_{\Phi _t}=1$, porque el flujo conserva los volúmenes. Resulta que: $$\int _U \rho (p,q,0)\text d p \text d q =\int _U \rho (\Phi _t (p,q),t)\text d p \text d q,$$ y, dado que el volumen $U$fue arbitrario, $\rho (p,q,0)=\rho (\Phi _t (p,q),t)$, o $\text d\rho /\text d t=0$.

No creo que el flujo hamiltoniano conserve las distribuciones de probabilidad... considere una distribución de probabilidad que sea una$\delta$-función en el espacio de fase en el tiempo inicial (solo tiene un punto con probabilidad uno), por lo que es una partícula con coordenadas y momento fijos. Si evoluciona en el tiempo según el flujo hamiltoniano, se encontrará en el punto del espacio de fase correspondiente a la posición y el momento de evolución de la partícula. Corresponde de nuevo a un$\delta$-función de distribución de probabilidad, pero en un punto diferente, tan diferente del de partida.

Creo que deberías caracterizar la evolución de las distribuciones de probabilidad con la ayuda de medidas. Una distribución de probabilidad tiene un significado matemático como medida de probabilidad$\mu$en el espacio de fase$\mathscr{Z}$. Tienes eso$\mu(\mathscr{Z})=1$(la probabilidad total es uno). Dado que la distribución inicial es la medida$\mu_0$y llamando$\Phi(t)$el flujo hamiltoniano, debe obtener la medida en el momento$t$como el avance de la medida inicial por el flujo:$\mu_t=\Phi(t)_*\mu_0$.

Sin embargo, no estoy completamente seguro de eso, espero recibir algunos comentarios y eventuales correcciones de alguien más experto en mecánica estadística clásica ;-)

La densidad del espacio de fase$\varrho(p,q)$nos dice cuántas trayectorias dinámicas posibles (DPT) pasan a través de una unidad de volumen dada de espacio de fase. Por lo tanto, es una medida de la probabilidad de encontrar un sistema en el estado$(p,q)$ya que si hay más DPT, es más probable encontrar un sistema en este estado (si suponemos que cada DPT es igualmente probable, es decir, cada condición inicial es igualmente probable).

En este sentido$\varrho(p,q)$ es la distribución de probabilidad

Puedes pensar en ello como en el caso de un fluido simple. Debe imponer la conservación de la probabilidad (de la misma manera que podría imponer la conservación de la masa en la dinámica de fluidos, por ejemplo, o la conservación de la carga en la electrodinámica).

Según tengo entendido, la conservación de la probabilidad es una premisa adicional a la conservación del volumen del espacio de fase bajo el flujo hamiltoniano y esto parece ir en el sentido de la respuesta de yuggib.

Si su medida de probabilidad se caracteriza por una densidad de probabilidad en el espacio de fase$\rho(\mathbf{q},\mathbf{p})$asociado a la medida de Lebesgue en el espacio de fase, por ejemplo, entonces sabe que la conservación de la probabilidad conduce a una ecuación como esta:

$$\begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \textrm {div} (\rho \mathbf{v}) = 0 \end{equation}$$

Aplicando ahora el hecho de que$\textrm {div} (\rho \mathbf{v}) = \rho\, \textrm {div}(\mathbf{v}) + \mathbf{v} \cdot \textrm{grad} (\rho)$y eso

$$\textrm {div}(\mathbf{v}) = \frac{\partial \dot{q}}{\partial q} + \frac{\partial \dot{p}}{\partial p} = \frac{\partial^2 H}{\partial q \partial p} - \frac{\partial^2 H}{\partial p \partial q} \equiv 0$$ (teorema de Liouville), puedes usar el otro hecho de que $\mathbf{v} \cdot\textrm{grad}(\rho) = \{H, \rho \}$lo que conduce al resultado que está buscando (no he verificado los signos, por lo que puede haber un inconveniente en algún lugar):

$$\begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t} = \{\rho, H \} \end{equation}$$

A partir de aquí, ¿cómo decimos que la función de distribución de probabilidad es constante a medida que fluimos en el espacio de fase?

Más precisamente, el valor de la función de distribución de probabilidad$f_t(p,q)$en el punto representativo$p^*(t),q^*(t)$moverse a lo largo de cualquier trayectoria hamiltoniana en el espacio de fase es constante en el tiempo. La función en sí misma generalmente cambia con el tiempo. Este valor es

$$f_t(p^*(t),q^*(t)) =$$

$$= \frac{\text{prob. per phase space element centered on the moving point}}{\text{volume of the element}}$$

Esto es constante en el tiempo porque tanto el numerador como el denominador son constantes en el tiempo.

El numerador es constante porque el elemento evoluciona con el flujo y aunque su límite se deforma, el elemento no pierde ninguna probabilidad.

El denominador es constante debido a la propiedad hamiltoniana del flujo (las trayectorias del punto representativow obedecen a las ecuaciones de Hamilton).