¿Por qué la ecuación de Schrödinger no es relativista?

En la mecánica cuántica no relativista (NRQM), la dinámica de una partícula se describe mediante la evolución temporal de su función de onda asociada. $\psi(t, \vec{x})$con respecto a la ecuación de Schrödinger no relativista (SE)

Sin embargo, la idea central que subyace a la formulación de la teoría cuántica de campos es que esto no es suficiente. Más bien, combinar los principios de la invariancia de Lorentz y la Teoría Cuántica requiere abandonar el enfoque de una sola partícula de la Mecánica Cuántica.

• En cualquier teoría cuántica relativista, no es necesario conservar el número de partículas, ya que la relación de dispersión relativista$E^{2}=c^{2} \vec{p}^{2}+m^{2} c^{4}$implica que la energía se puede convertir en partículas y viceversa. Esto requiere un marco de múltiples partículas .
• Este punto a menudo está un poco escondido en libros o conferencias. La unitaridad y la causalidad no se pueden combinar en un enfoque de una sola partícula: en la mecánica cuántica, la amplitud de probabilidad de que una partícula se propague desde su posición$\vec{x}$a$\vec{y}$es $$G(\vec{x}, \vec{y})=\left\langle\vec{y}\left|e^{-\frac{i}{\hbar} H t}\right| \vec{x}\right\rangle$$ Se puede demostrar que, por ejemplo, para el hamiltoniano no relativista libre$H=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}$esto es distinto de cero incluso si$x^{\mu}=\left(x^{0}, \vec{x}\right)$y$y^{\mu}=\left(y^{0}, \vec{y}\right)$están a una distancia similar al espacio. El problema persiste si reemplazamos$H$por una expresión relativista en el SE.

La Teoría Cuántica de Campos (QFT) resuelve ambos problemas mediante un cambio radical de perspectiva.

Observación 1 : Todavía hay algunos casos (sin embargo, hay muchas sutilezas), donde uno puede usar RQM en el enfoque de una sola partícula. Luego, el SE se reemplaza por, por ejemplo, la ecuación de Klein-Gordon.

Observación 2 : La ecuación de Schrödinger se cumple para SR. No es el SE el que falla, es el hamiltoniano no relativista el que falla. La ecuación de Dirac es la SE, pero con el hamiltoniano de Dirac. La ecuación de Schrödinger es válida.

Para hacer mecánica cuántica relativista, debe abandonar la mecánica cuántica de partículas individuales y adoptar la teoría cuántica de campos.

La ecuación de Schrödinger es un ingrediente esencial en la teoría cuántica de campos. afirma

En la terminología correcta, la ecuación de Schrödinger aquí es covariante, pero no manifiestamente covariante. Es decir, tomaría la misma forma en algún otro marco de referencia inercial, pero esto no se hace evidente en la forma en que se escribió la ecuación.

Pero aquí tenemos una 'bestia' muy diferente a la ecuación de Schrödinger que encuentras cuando haces mecánica cuántica por primera vez. Eso ahora se llamaría mecánica cuántica de partículas individuales.$That$La ecuación de Schrödinger ciertamente no es covariante, y tampoco lo es toda la estructura de la teoría de la mecánica cuántica de partículas individuales.

La razón de la confusión aquí puede tener que ver con la historia de la ciencia. Los físicos de partículas comenzaron a trabajar con la ecuación de Klein-Gordon (KG) bajo la ilusión de que era una especie de reemplazo relativista de la ecuación de Schrödinger, y luego la ecuación de Dirac también se pensó de esa manera. Esta forma de pensar puede ayudar a hacer algunos cálculos básicos para el átomo de hidrógeno, por ejemplo, pero al final tienes que renunciar a ella. Para tener un pensamiento claro, debe aprender a cuantificar los campos, y luego aprenderá que, por ejemplo, para el espín cero, tanto la ecuación de Klein-Gordon como la de Schrödinger tienen funciones que desempeñar. Diferentes roles. Ninguno reemplaza al otro. Uno afirma con qué tipo de campo está tratando; el otro afirma la dinámica de la amplitud del campo.$^1$

Sin embargo, nunca he visto esto escrito clara y directamente en la sección introductoria de un libro de texto. ¿Alguien más tiene? Yo estaría interesado en saber.

Posdata sobre las ondas de De Broglie

de Broglie propuso su relación entre las propiedades de las ondas y las partículas teniendo muy en cuenta la relatividad especial, por lo que su relación es relativista (el trasfondo es que$(E, {\bf p})$forma un cuadrivector y también lo hace$(\omega, {\bf k})$.) Schrödinger y otros, en su trabajo para abordar la idea de onda de De Broglie en contextos más generales, se dieron cuenta de que se necesitaba una ecuación que fuera de primer orden en el tiempo. Según tengo entendido, la ecuación de Schrödinger surgió de una estrategia deliberada para observar el límite de baja velocidad. Entonces, desde este punto de vista, parece una coincidencia notable que la misma ecuación vuelva a aparecer en una teoría totalmente relativista. Pero quizás no deberíamos sorprendernos tanto. Después de todo, la segunda ley de Newton,${\bf f} = d{\bf p}/dt$sigue siendo exactamente correcta en la dinámica clásica relativista.

$^1$Por ejemplo, para el campo KG libre, la ecuación KG da la relación de dispersión para soluciones de ondas planas. Luego, la ecuación de Schrödinger le indica la dinámica de la amplitud del campo para cada solución de onda plana, que se comporta como un oscilador armónico cuántico.

Un intento de compartir el desarrollo histórico del descubrimiento de la mecánica ondulatoria no relativista por E. Schrödinger en relación con la siguiente consulta de OP.

"Entonces, la ecuación de Schrödinger debería incluir la relatividad, ¿verdad? Pero no lo hace... ¿Cómo desaparece la relatividad de la ecuación de Schrödinger o nunca "incluyó" la relatividad de alguna manera?"

Las conferencias del curso impartidas por Hermann Weyl en ETH, Zurich, 1917 fueron el punto de partida de este viaje de ecuaciones de onda. Su idea central era lo que más tarde se conocería como la transformación de calibre . Schrödinger había estudiado las notas compiladas con mucha devoción en 1921 ( Influencia en el pensamiento ) y utilizó a menudo la idea central en su trabajo posterior.

Aplicó la teoría de la medida de Weyl (espacios métricos) a las órbitas de los electrones en los modelos atómicos de Bohr-Sommerfeld. Consideró la trayectoria de un electrón en una sola órbita completa e hizo cumplir la condición de Weyl de la trayectoria geodésica, lo que implica la existencia de órbitas cuantizadas. Más tarde se dio cuenta de que este trabajo ya contenía las ideas de de Broglie sobre la órbita de Bohr en términos de ondas de electrones.

En el año 1922, Erwin Schrödinger sufría los tormentos de una enfermedad respiratoria y se había trasladado a la estación alpina de Arosa para recuperarse. Tenía ideas vagas sobre las implicaciones de su formulación sobre las propiedades de las órbitas de los electrones. Es muy posible que, de haber gozado de mejor salud, las propiedades ondulatorias del electrón le hubieran sido claras incluso antes que De Broglie, a partir de su propio trabajo.

De hecho, Einstein había citado el trabajo de de Broglie al hacer una conexión entre las estadísticas cuánticas y las propiedades ondulatorias de la materia y esto lo sabía Schrödinger, quien leyó la mayoría de sus artículos (Influencia en el pensamiento ) . Schrödinger había dicho más tarde que "la mecánica ondulatoria nació en la estadística" refiriéndose a su trabajo en mecánica estadística de gases ideales. Dijo que su enfoque no era más que tomarse en serio la teoría ondulatoria de una partícula en movimiento de Broglie-Einstein, según la cual la naturaleza de la partícula es como un apéndice de la naturaleza ondulatoria básica.

Para pensar en qué tipo de ondas satisfarían los obritos cerrados y las ecuaciones relevantes, ya estaba pensando en términos relativistas (relaciones energía-momento) y, por lo tanto, era natural que su intento de formular la ecuación de onda descansara sobre la base de la teoría relativista. ecuaciones Su primera derivación de la ecuación de onda para partículas , antes de su célebre Quantisierung als Eigenwertproblem (Cuantización como un problema de valores propios) de 1926, quedó inédita y se basó completamente en la teoría relativista dada por de Broglie .

La prueba crucial de cualquier teoría en ese momento era el átomo de hidrógeno. Se requería que cualquier nueva teoría reprodujera al menos algunas características del trabajo de Bohr sobre los niveles de energía del átomo de hidrógeno y los números cuánticos. Además, una teoría relativista debe ser capaz de explicar la fina estructura proporcionada por la ecuación de Sommerfeld. Su teoría relativista no estaba de acuerdo con los experimentos porque carecía de un ingrediente clave: el espín del electrón.

El manuscrito original de su formulación de mecánica ondulatoria relativista está, en el mejor de los casos, perdido y sólo se encuentra disponible un cuaderno de cálculos en los archivos. Sin embargo, su formulación no relativista sí se imprimió y se ha convertido en un material de libro de texto estándar para el curso de mecánica cuántica de pregrado.

Referencias:

1. Una vida de Erwin Schrödinger (serie original de Canto) de Walter J. Moore.

2. El desarrollo histórico de la teoría cuántica por Jagdish Mehra, Erwin Schrödinger, Helmut Rechenberg.

En primer lugar, la terminología es desordenada. La ecuación de Schrödinger original no es relativista, sin embargo, la gente a menudo llama "ecuación de Schrödinger" como quiera, sin importar qué hamiltoniano usen, por lo que, "en su libro", la ecuación de Schrödinger puede ser relativista.

Entonces, Schrödinger claramente se basó en las ideas relativistas de De Broglie, ¿por qué escribió una ecuación no relativista? En realidad, comenzó con una ecuación relativista (a la que ahora llamamos ecuación de Klein-Gordon), sin embargo, no describía correctamente los espectros del hidrógeno (porque no tenía en cuenta el espín), por lo que Schrödinger no se atrevió a publicarla. Más tarde, Schrödinger notó que la versión no relativista (que ahora conocemos como la ecuación (original) de Schrödinger) describía correctamente los espectros del hidrógeno (hasta las correcciones relativistas:-)), por lo que publicó su ecuación no relativista.

Si está interesado, intentaré buscar las referencias a los hechos históricos anteriores.

EDITAR (21/6/2020): En realidad, encontré la referencia: Dirac, Recuerdos de una era emocionante // Historia de la física del siglo XX: Actas de la Escuela Internacional de Física "Enrico Fermi". Curso LVII. - Nueva York; Londres: Academic Press, 1977. -P.109-146. Dirac recuerda su conversación con Schrödinger que tuvo lugar (aproximadamente) en 1940.

La ecuación de Schrödinger no es relativista por construcción. Se sigue de la expresión de energía clásica no relativista al aplicar la idea de De Broglie para reemplazar$(E,\vec p)$por$-i\hbar (\partial_t, \vec \nabla)$.

Las relaciones de De Broglie relacionan la energía$E$y el impulso$p$, con frecuencia$\nu$y longitud de onda$\lambda$

La ecuación de Schrödinger (para una partícula) se basa en la relación no relativista

Si quiere una teoría relativista, querrá encontrar una ecuación de onda que reproduzca la relación relativista

En lo anterior me limité al caso de escribir la ecuación de Schrödinger para una partícula. Como también se ha señalado en esta página, una forma de generalizar la mecánica cuántica a la teoría cuántica de campos es promover la función de onda a funcional de onda (un mapa de configuraciones de campo a números complejos). El funcional de onda obedece a la ecuación de Schrödinger (excepto ahora que el hamiltoniano es un operador en un espacio de Hilbert mucho más grande). Esta ecuación de Schrödinger es relativista, si la teoría cuántica de campos que describe es relativista. Sin embargo, esto tiene un nivel de sofisticación mucho más alto de lo que creo que se estaba pidiendo.

Como es sabido la ecuación de Schrödinger difunde una partícula inicialmente localizada tanto como queramos en un tiempo tan pequeño como queramos (pero con poca probabilidad).

En fórmulas el problema es parabólico:

Sin embargo, uno podría usar condiciones de contorno relativistas$u(\pm ct,t)=0$

Al resolver por métodos espectrales, diagonalizamos el lhs, obteniendo una base de funciones propias dependiente del tiempo.

Reemplazando el problema, los coeficientes de desarrollo en la base se obtienen por integración. Me dijeron que esto no tenía solución, pero la solución que podría escribir es como un sistema infinito de odos acoplados para los coeficientes de expansión.

Las funciones propias son

La solución se obtiene formalmente como una matriz infinita exponenciada.

En este caso, la partícula no puede volar ftl para violar la causalidad (relativista).