¿Son proporcionales la fuerza gravitacional y la dilatación del tiempo gravitacional?

Las partículas en los campos gravitatorios están sujetas a la dilatación del tiempo gravitacional. Cuanto más cerca está una partícula de una fuente gravitacional, más lento corre su reloj. Me gustaría saber más sobre la relación entre la gravedad y la dilatación del tiempo gravitacional.

Para tener una impresión aproximada, utilicé la ecuación de gravedad de Newton (que puede usarse para campos débiles, y descubrí que la gravedad y la dilatación del tiempo son (aproximadamente) proporcionales: ¿Se puede confirmar este resultado sobre la base de la ecuación de campo de Einstein (quizás incluso para campos más fuertes)?

dτ = tiempo propio de una partícula en el campo gravitatorio de la Tierra, dt = tiempo propio de un observador en el infinito, rs = radio de Schwarzschild de la Tierra, r = distancia partícula - centro de la Tierra

Dilatación del tiempo gravitacional:

d τ d t = 1 − r s r ≈ 1 − r s 2 r

Dilatación del tiempo (diferencia):

1 − d τ d t ≈ r s 2 r = GRAMO METRO C 2 r

Fuerza gravitatoria (ecuación de Newton):

F = GRAMO metro METRO r 2

GRAMO r a v i t a t i o norte a yo F o r C mi T i metro mi d i yo a t i o norte ( d i F F mi r mi norte C mi ) ≈ GRAMO metro METRO r 2 GRAMO METRO C 2 r = metro C 2 r = r mi s t mi norte mi r gramo y ( o F t h mi pag a r t i C yo mi s tu b j mi C t t o t i metro mi d i yo a t i o norte ) d i s t a norte C mi ( o F t h mi pag a r t i C yo mi )

(Como resultado, la dilatación del tiempo sería aproximadamente la gravedad, dividida por la energía en reposo de la partícula, multiplicada por su distancia).

Hola Moonraker. Si aún no lo ha hecho, tómese un minuto para leer la definición de cuándo usar la etiqueta de tarea y ejercicios y la política de Phys.SE para problemas similares a la tarea.
Hola @Qmechanic, gracias por tu información, leí la página que indicaste. - No sé por qué crees que mi pregunta entra en esta categoría. Mi pregunta está claramente indicada en el título, y no hay otra pregunta: ¿Existe alguna relación de proporcionalidad entre la fuerza gravitacional y la dilatación del tiempo gravitatorio? Incluso podría reformular mi pregunta sin las fórmulas que proporcioné (si lo desea). Solo necesito la información sobre las ecuaciones de campo de Einstein, nada más.
Además, para referencia futura, no elimine y vuelva a publicar preguntas. En cambio, si no son bien recibidos, debe editarlos para mejorarlos.
@David Z♦: OK, recuperé la pregunta anterior. Gracias por este comentario formal, espero haberlo solucionado. Me gustaría saber su comentario sobre el tema de mi pregunta. Atentamente

Respuestas (2)

Si echa un vistazo a mi respuesta a la Deducción de un radio de Schwarzschild usando la masa relativista , analizo cómo la aproximación de campo débil nos da una métrica aproximada para el potencial gravitatorio newtoniano. ϕ :

d s 2 ≈ − ( 1 + 2 ϕ C 2 ) C 2 d t 2 + 1 1 + 2 ϕ / C 2 ( d X 2 + d y 2 + d z 2 )

Para extraer la dilatación del tiempo de esto, tomamos un objeto estacionario, por lo que d X = d y = d z = 0 y usar la relación entre el elemento de línea y el tiempo adecuado d s 2 = − C 2 d τ 2 Llegar:

d τ d t ≈ 1 + 2 ϕ C 2

Para aclarar esto, tome dos observadores A y B con energías potenciales gravitatorias ϕ A y ϕ B , entonces la ecuación nos dice que los tiempos transcurridos registrados por A y B están relacionados por:

d t A d t B ≈ 1 + 2 ( ϕ A − ϕ B ) C 2

Esta ecuación sólo es válida cuando 2 Δ ϕ / C 2 ≪ 1 , en cuyo caso podemos usar la expansión binomial:

d t A d t B ≈ 1 + Δ ϕ C 2 + términos más altos

y eliminando los términos superiores y reorganizando:

d t A − d t B d t B ≈ Δ ϕ C 2

Y esto es más o menos lo que describes. Recuerda que la energía potencial ϕ es la energía potencial por unidad de masa, así que si multiplicamos la parte superior e inferior del lado derecho por la masa para obtener la energía potencial total Φ obtenemos:

d t A − d t B d t B ≈ Δ Φ metro C 2

que es de hecho el potencial gravitatorio dividido por el resto de la energía.

Pero esta es una aproximación que funciona (de manera confiable) solo en el límite del campo débil. Sucede que la expresión de campo débil funciona para cualquier valor de r en la métrica de Schwarzschild, pero como se discutió en la pregunta vinculada, esta es una coincidencia accidental y no se puede confiar en ella.

Explicaciones agradables e interesantes, ¡pero estás lejos de responder mi pregunta! Confirmó que mi cálculo aproximado con la ecuación de Newton produce resultados aproximadamente correctos para campos débiles. Lo sé, incluso si no pudiera explicarlo con las métricas de Schwarzschild como lo hiciste tú. Pero mis cálculos (y los tuyos también) inducen la idea de que la fuerza gravitacional y la dilatación del tiempo gravitacional son proporcionales, con un factor de proporcionalidad igual a la energía en reposo de la partícula dividida por la distancia. - ¿Son proporcionales o no?
@Moonraker: Pensé que eso era obvio a partir de mi ecuación final. En el límite de campo débil, la dilatación relativa del tiempo es proporcional al potencial gravitatorio. Sin embargo, esto solo es cierto en el límite de campo débil, por lo que funciona para calcular la dilatación del tiempo de los satélites geoestacionarios, pero no para calcular la dilatación del tiempo cerca de un agujero negro.
Mi pregunta no es para fines de aplicaciones tecnológicas, sino para explorar la naturaleza de la dilatación del tiempo gravitacional y la gravedad (incluso en campos más fuertes). Su ecuación aproximada final no incluye más información que mi ecuación aproximada final, la ecuación de Newton es apropiada para campos débiles.
Agradezco que haya mostrado la aproximación de Schwarzschild, pero puede haber otras ideas derivadas de la ecuación de campo de Einstein que están arrojando algo de luz sobre esta supuesta proporcionalidad. La masa produce gravedad y la masa produce dilatación del tiempo gravitacional. ¿Puede haber una relación directa entre ambos?
@Moonraker: Debo confesar que no entiendo a qué te refieres. La proporcionalidad lineal es un fenómeno de campo débil y es una consecuencia inevitable del hecho de que en el límite de campo débil GR debe reproducir la gravedad newtoniana. Fuera del límite del campo débil, la dilatación del tiempo obviamente está relacionada con la masa (más precisamente, el tensor de tensión-energía), pero recuerde que puede elegir cualquier sistema de coordenadas que desee y la dilatación del tiempo dependerá de las coordenadas que elija, por lo que la relación es una uno complicado
¿La dilatación del tiempo gravitatorio depende del sistema de coordenadas que elija?
@Moonraker: eso depende. El tiempo propio es un invariante, pero el tiempo coordinado no lo es. Supongo que deberíamos definir la dilatación del tiempo como la razón de los tiempos propios, en cuyo caso la razón será independiente de las coordenadas.

No tienen que estar relacionados.

Por ejemplo, si tiene una capa esférica hueca de materia, entonces el interior de la esfera es una región plana de espacio-tiempo y tiene la misma dilatación temporal que la capa.

Pero como el interior es plano, no hay fuerza gravitatoria dentro del cascarón. Sin embargo, hay dilatación del tiempo.

¿Son proporcionales la fuerza gravitacional y la dilatación del tiempo gravitacional?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v