Desaceleración del tiempo bajo la gravedad.

No llamo a esto dilatación gravitatoria del tiempo porque es un efecto relativista debido al principio de equivalencia. ... Pero GR lo predice solo a través de marcos acelerados y, por lo tanto, incorporando la relatividad. No veo ninguna relatividad en mi caso. Es solo la curvatura del espacio-tiempo.

Lo que tienes es dilatación del tiempo gravitacional. Pero incluso si no lo llamas así, en cualquier espacio-tiempo curvo estático con dilatación de tiempo entre relojes estacionarios, al menos algunos de los relojes están necesariamente acelerados. Un espacio-tiempo estático tiene una dirección temporal privilegiada en la que la geometría sigue siendo la misma, y ​​su tensor métrico$g$por lo tanto, puede expresarse de la siguiente forma:

$$\mathrm{d}s^2 = -e^{2\phi}\,\mathrm{d}t^2 + h_{ij}\,\mathrm{d}x^i\,\mathrm{d}x^j\text{,}$$ dónde $\phi$es una función que puede depender de cualquier coordenada espacial $x^i$( $i = 1,2,3$), pero no en $t$. Un reloj estacionario en este espacio-tiempo tendrá cuatro componentes de aceleración $a^\alpha = g^{\alpha\beta}\phi_{,\beta}$. Si hay alguna dilatación de tiempo entre relojes estacionarios en diferentes posiciones, entonces $\phi$no es constante con respecto a las coordenadas espaciales, por lo que al menos algunas de las derivadas parciales $\phi_{,\beta}$no desaparezcan: por lo tanto, algunos (quizás todos) de los relojes estacionarios están necesariamente acelerados.

Además, cualquier teoría en la que las partículas de prueba en caída libre toman geodésicas en un espacio-tiempo curvo satisface automáticamente el principio de equivalencia débil .

GR lo explica de la siguiente manera: suponga que está cayendo del espacio a la tierra, en una posición más alta su velocidad no es muy alta y, por lo tanto, experimenta menos dilatación del tiempo (ya que la dilatación del tiempo depende directamente de su velocidad) mientras que cuando obtiene más cerca de la superficie, tu velocidad se vuelve más alta y experimentas más dilatación del tiempo.

No. Considere dos observadores estacionarios en un campo gravitatorio, uno encima del otro, separados por una altura a lo largo de la cual la gravedad no cambia mucho (por lo que podemos aproximarnos al campo gravitatorio como uniforme). Como están acelerados, la situación es equivalente a tenerlos fuera de un campo gravitatorio pero en un cohete acelerando verticalmente.

Digamos que el cohete es transparente. Luego, se verá que un haz de luz horizontal que ingresa al cohete en aceleración se curva hacia abajo en el marco del cohete. Por lo tanto, debe hacerlo también en el caso de un campo gravitatorio. Con unos pocos reflejos del haz de luz, esta situación es idéntica a su configuración.

¿No conducirá esto también a la desaceleración del tiempo en un área gravitacional más alta (donde la fuerza de la gravedad es mayor)?

Sí.

¿Puede ser esto una razón real para la dilatación del tiempo gravitacional o no?

Algo así como. En lugar de pasar el haz de luz horizontalmente, habría sido mucho más sencillo hacerlo pasar verticalmente. Supongamos que dos observadores estacionarios en un campo gravitacional, uno encima del otro, separados por una altura lo suficientemente pequeña como para que la gravedad no cambie mucho sobre él, se pasan pulsos de luz a intervalos regulares (según sus cálculos). Esta situación es entonces equivalente a hacer lo mismo fuera de un campo gravitatorio pero en un cohete acelerando verticalmente. Entonces se vuelve obvio que la parte inferior está recibiendo señales a una velocidad diferente a la que las envía la parte superior, ya que la parte inferior está alcanzando los pulsos de luz mientras están en tránsito.

Nuevamente: esto no es realmente específico de GTR. El argumento sería virtualmente idéntico en cualquier espacio-tiempo estático y curvo, porque los observadores estacionarios en tal espacio-tiempo son acelerados. Entonces podemos considerar la situación en un marco inercial local y todo lo demás sigue como arriba. La idea relativista clave es simplemente que los campos gravitatorios desaparecen en marcos de inercia.

Incluso GR predice que un reloj funcionará más lento en alta gravedad, pero en realidad no da una razón.

La presentación habitual del razonamiento de GTR con respecto a la dilatación del tiempo gravitacional implica una configuración moralmente equivalente a la suya, excepto que la mayoría de las veces se presenta de una manera más simple, porque es más fácil hacer que los rayos de luz vayan en la misma dirección que la aceleración. No tiene nada que ver con la velocidad ganada mientras cae como parece pensar.

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Ha escrito que el fondo está recibiendo señales a un ritmo diferente. Pero me gustaría recordarles que la gravedad no provoca ningún cambio de velocidad en la luz cuando la luz es vertical. Por favor explique.

La única diferencia es la orientación del reloj de luz. La velocidad de la luz es la misma en todos los marcos de inercia, y en el marco de inercia que se mueve instantáneamente con el reloj de luz (en caída libre desde el reposo), ambos extremos del reloj de luz aceleran hacia arriba. Por lo tanto, la parte inferior acelera hacia un pulso descendente y la parte superior acelera alejándose de un pulso ascendente, por lo que la distancia que recorren esos pulsos es diferente.

En cuanto a cómo se ve la situación en el marco estacionario, la velocidad coordinada de la luz es diferente en la parte superior del reloj de luz es diferente de la velocidad coordinada de la luz en la parte inferior. Con una coordenada radial explícita, la métrica anterior (sin$c=1$unidades) es

$$\mathrm{d}s^2 = -e^{2\phi}\,c^2\,\mathrm{d}t^2 + h_{rr}\,\mathrm{d}r^2 + \{\text{other spatial terms}\}\text{,}$$ de modo que la luz vertical tiene $$\left|\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right| = c\frac{e^{\phi}}{\sqrt{h_{rr}}}\text{.}$$ Dado que la parte superior tiene el tiempo adecuado $\tau_\text{top}$con $\mathrm{d}\tau_\text{top} = e^{\phi_\text{top}}\,\mathrm{d}t$y la parte inferior tiene el tiempo adecuado $\tau_\text{bot}$con $\mathrm{d}\tau_\text{bot} = e^{\phi_\text{bot}}\,\mathrm{d}t$, generalmente con $\phi_\text{top}\neq\phi_\text{bot}$, no estarán de acuerdo con la cantidad de tiempo que tardan los pulsos de luz vertical en atravesar el mismo $r$-intervalo de coordenadas.

Por cierto, GTR predice que para campos débiles (apropiados cerca de nuestra Tierra),$h_{rr} \approx e^{-\phi}$y$\phi\approx\Phi/c^2$, dónde$\Phi$es el potencial gravitatorio newtoniano. Pero lo anterior mantiene la discusión general para cualquier espacio-tiempo estático, ya sea que esté de acuerdo con lo que GTR predice para la situación o no.

No entendí cómo es el caso de dos observadores similar a uno en un cohete fuera del espacio como has dicho.

En un marco inercial local, los dos observadores aceleran hacia arriba. La condición de que el campo gravitacional no cambie mucho sobre la altura relevante significa que podemos considerar que su aceleración es la misma. Esa es la aceleración del cohete, pero puede olvidarse del cohete si lo desea y considerar la misma aceleración en un marco inercial local.

No llamo a esto dilatación gravitatoria del tiempo porque es un efecto relativista debido al principio de equivalencia.

Note una cosa: el principio de equivalencia dice que la gravedad hacia abajo es equivalente a la aceleración hacia arriba. Ahora, a partir de esto, Einstein pasó a formular la Teoría de la Relatividad General, donde la aceleración gravitacional se reemplaza con la curvatura del espacio (tiempo) . Así que en la mecánica clásica tienes la gravedad como aceleración y en GR tienes la gravedad como curvatura. Entonces, si asumimos que esta definición es cierta, tenemos dilatación del tiempo gravitacional en ambos casos.

De todos modos, volviendo a tu pregunta:

El reloj de arriba (que es el reloj en la parte derecha de la imagen) está lejos de la tierra y experimenta menos gravedad. Por lo tanto, el rayo de luz se desviará menos y llegará más rápido al extremo receptor.

¿No conducirá esto también a la desaceleración del tiempo en un área gravitatoria superior?

Parece :) Así es como GR explica la dilatación del tiempo "gráficamente".

Si 1 segundo se define como el período que tarda el rayo de luz en ir del emisor al receptor, y el rayo de luz del reloj situado más arriba tarda menos en viajar de uno a otro, entonces, como dices, este reloj marcaría más rápido que el reloj situado más abajo. Por lo tanto, 1 segundo en la Tierra es más tiempo en comparación con 1 segundo sobre la Tierra. Entonces, el reloj ubicado más arriba va más rápido y el reloj ubicado más abajo va más lento .

¿No conducirá esto también a la desaceleración del tiempo en un área gravitacional más alta (donde la fuerza de la gravedad es mayor)? ¿Puede ser esto una razón real para la dilatación del tiempo gravitacional o no?

Sí, eso es exactamente lo que sucede. Por esta razón, el GPS debe tener en cuenta los diferentes tiempos en la órbita y en la superficie terrestre.

Agregar: En cuanto a los comentarios sobre posibles experimentos, esa también es una forma de medir el efecto.