Dos lugares que tienen la misma aceleración gravitacional: ¿también tienen la misma curvatura del espacio-tiempo?

Si hay dos lugares (posiblemente sobre/encima de dos planetas diferentes) que tienen la misma aceleración gravitatoria (g), ¿implicaría eso que los dos lugares tienen la misma extensión de la curvatura del espacio-tiempo y tendrán la misma dilatación del tiempo? Responda con las matemáticas mínimas requeridas, no es necesario poner todas las matemáticas, si se trata de matemáticas largas.

La densidad del planeta, por lo tanto, su radio también tendría un impacto. Si aprietas la Tierra al tamaño de una pelota de béisbol, se convertiría en un agujero negro.
@PeterR: ¿Las pelotas de béisbol miden 9 mm ?
pequeñas pelotas de béisbol
Debí haber sido más especifico. El intervalo de espacio-tiempo bajo la solución de Schartzchild tiene el radio de Schwarzchild como uno de los componentes, por lo tanto, podría tener la misma aceleración gravitacional para un planeta más masivo pero menos denso en comparación con un planeta más denso pero menos masivo. Cada uno tendrá un radio de Schwarzchild diferente. Lo importante a recordar es que la masa de un planeta aumenta con el cubo del radio mientras que la aceleración gravitacional disminuye con el cuadrado del redius.
@ Peter-R: Parece que la respuesta es: los dos lugares pueden tener diferentes curvaturas incluso con la misma aceleración gravitacional. ¿Bien?

Respuestas (1)

Como menciona planetas en la pregunta, tomemos la métrica de Schwarzschild que describe la geometría alrededor de un objeto esféricamente simétrico como (aproximadamente) un planeta. La aceleración medida por un observador estacionario a una distancia r del planeta es:

a = GRAMO METRO r 2 1 1 − r s / r

La dilatación del tiempo medida por el mismo observador, relativa a un observador en el infinito es:

t ∞ τ = 1 1 − r s r

Entonces la razón de los dos es:

a t ∞ / τ = GRAMO METRO r 2

Y esto varía con la masa del objeto, por lo que es diferente para planetas con diferentes masas.

Aunque su pregunta compara específicamente la aceleración con la dilatación del tiempo, también hace una pregunta más general sobre si la aceleración puede ser la misma para diferentes curvaturas. Sin embargo, esto no se puede responder sin definir qué quiere decir con curvatura del espacio-tiempo . La curvatura está descrita por una matriz (el tensor métrico), no por un solo número, por lo que no hay que hacer una comparación sencilla.

Dos lugares que tienen la misma aceleración gravitacional: ¿también tienen la misma curvatura del espacio-tiempo?
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