¿Cómo es consistente una fuerte dilatación del tiempo con fuerzas de marea débiles?

La razón más simple de esto es el hecho de que la dilatación del tiempo gravitacional está gobernada, en orden principal (en el caso de giro cero por simplicidad), por el factor$\sqrt{1 -\frac{2GM}{c^{2}r}}$. Ahora, solo para facilitar nuestras mediciones, reescribamos la masa en términos del radio del horizonte de eventos:

Ahora, nuestro factor de dilatación del tiempo es:$\sqrt{1 -\frac{r_{0}}{r}}$

Mientras tanto, para un curso de frente con el agujero negro, y en orden de avance, obtenemos que la aceleración radial y las fuerzas de marea son proporcionales a$\frac{GM}{r^{2}} = \frac{r_{0}c^{2}}{2r^{2}}$. Tenga en cuenta que cuando$r \rightarrow \infty$, tiene el factor de dilatación del tiempo tendiendo a 1 y las fuerzas de marea tendiendo a cero, como era de esperar.

Pero, aquí está la cosa. Si duplico mi distancia del agujero negro, entonces$r \rightarrow 2r$, entonces la fuerza se reducirá por un factor de 4, mientras que la dilatación del tiempo se reducirá mucho más lentamente${}^{1}$. Entonces, esto significa que es perfectamente posible que la dilatación del tiempo sea un efecto fuerte mientras que las fuerzas de las mareas aún son débiles, solo porque el efecto de la dilatación del tiempo cae más lentamente.

${}^{1}$digamos que voy de$2_{r_{0}}$a$4 r_{0}$, entonces el factor de dilatación del tiempo cambiará de$\sqrt{\frac{1}{2}}$a$\sqrt{\frac{3}{4}}$, para un factor de cambio de$\frac{1}{\sqrt{3}}$, que ciertamente es un factor mucho menos agresivo que dividir por 4.

el tiempo se ralentiza en presencia de fuertes campos gravitatorios

No es el campo gravitatorio lo que determina la dilatación del tiempo, es el potencial gravitatorio. La aproximación newtoniana realmente no es correcta aquí, pero usémosla de todos modos para comprender:

• El potencial cae como$1/r$con distancia$r$.

• El campo se cae como$1/r^2$.

• Los efectos de marea van como$1/r^3$.

Para obtener un gran potencial y pequeños efectos de marea, claramente desea un gran$r$. Eso es lo que tienes con un agujero negro supermasivo, ya que su horizonte de eventos es grande.