Significado físico del momento de inercia alrededor de un eje

El momento de inercia de masa 3×3 representa un tensor que expresa un solo radio de giro para cada plano que pasa por el centro de masa.

¿Qué es un radio de giro?

El radio de giro (RGYR) expresa la distribución de masa alrededor del eje de rotación (perpendicular a dicho plano) como un anillo o cilindro equivalente con toda la masa en un solo radio del eje.

Pero hace más. Define también dónde está el eje de percusión para una rotación dada alejándose del centro de masa.

¿Qué es un eje de percusión?

El eje de percusión, comúnmente conocido como el punto dulce en los deportes, es el eje en el espacio que, cuando se impacta, induce una rotación particular.

¿Cómo?

En 2D es algo mágico. Suponga que tiene un cuerpo rígido con radio de giro$r_G$y quieres rotarlo sobre un pivote ubicado a una distancia$c$del centro de masa. Aquí está el croquis en el plano perpendicular a la rotación.

He dibujado el radio de giro desde el centro de masa.

Ahora sigue estos pasos:

1. Dibuje líneas de construcción desde el punto de rotación tangente al radio de giro y conecte los puntos tangentes
2. Refleje esta línea sobre el centro de masa

Ya tienes definido el eje de percusión.

$$p = \frac{I_{\rm plane}}{m c} = \frac{r_G^2}{c}$$

Observe que el eje de percusión es puramente una construcción geométrica una vez que se conoce el radio de giro. Lo anterior está relacionado con un mapeo polo-polar en geometría.

lema

El radio de giro en un plano puede asignar cada punto en el plano (centro de rotación) a una línea única en el plano (eje de percusión) y viceversa. Si el punto de rotación está en el infinito (una traslación pura), entonces el eje de percusión pasa por el centro de masa (una fuerza a través de CM traslada un cuerpo). Además, si el punto de rotación está en el centro de masa, entonces el eje de percusión está en el infinito, lo que representa un par puro en el cuerpo. Por lo tanto, un momento de torsión puro siempre hará girar un cuerpo alrededor de su centro de masa.

¿Qué pasa con el 3D?

En 3D, el tensor de momento de masa 3×3 representa tres radios de giro y una masa.

$$\boldsymbol{\rm I} = m \begin{vmatrix} r_y^2+r_z^2 & -r_x r_y & -r_x r_z \\ -r_x r_y & r_x^2+r_z^2 &-r_y r_z \\ -r_x r_z & -r_y r_z & r_x^2+r_y^2 \end{vmatrix}$$

Lo anterior se reduce a tres radios principales de giro sobre algún sistema de coordenadas rotado que elimina los términos cruzados (términos no diagonales).

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Prueba de la geometría de percusión

Considere el triángulo ABC desde la rotación hasta el punto tangente y el centro de masa.

El ángulo$\theta$es encontrado por$\sin \theta = \frac{r_G}{c}$

Ahora considere el pequeño triángulo BDC que tiene un lado$p = r_G \sin \theta$porque es similar a ABC .

El eje de percusión en el punto del espejo B' es por lo tanto

$$\boxed{ p = r_G \sin\theta = \frac{r_G^2}{c} }$$

Dejaré que el lector demuestre que una fuerza a través del eje de percusión sobre un cuerpo en reposo provocará una rotación alrededor del pivote sin ninguna fuerza de reacción .

Puede calcular el momento de inercia usando su definición en términos de la densidad de masa de un objeto y su significado quedaría claro a partir de ahí, pero como no usó esta definición en su pregunta, le daré otro enfoque intuitivo para ver lo que significa

Tome la segunda ley de Newton:

$$\vec{F} = m \vec{a} \quad \Rightarrow \quad m = \frac{F}{a} \, ,$$

lo que significa que si aplicas una fuerza a un cuerpo y mides la aceleración que adquiere, obtendrás como resultado su masa. Cuanto menor sea la masa, mayor será la aceleración con la que terminará.

Tome ahora la segunda ley de Newton para las rotaciones, que es la derivada temporal de su primera ecuación:

$$\vec{\tau} = I \vec{\alpha} \quad \Rightarrow \quad I = \frac{\tau}{\alpha} \, ,$$

lo que significa exactamente lo mismo en el contexto de las rotaciones: aplique un par de torsión y un cuerpo adquirirá cierta aceleración angular, y si los divide obtendrá el momento de inercia: cuanto menor sea el momento de inercia, más rápido será el cuerpo girar.

Si quiere usar exclusivamente su primera ecuación, entonces sigue el mismo razonamiento, excepto que cambia$\vec{F} = m \vec{a}$a$\vec{p} = m \vec{v}$.

El momento de inercia para el movimiento de rotación es lo que es la masa para el movimiento de traslación. Es una resistencia contra los cambios de movimiento (una resistencia contra la aceleración (angular)).

Ambos en masa $m$y momento de inercia $I$son tipos de inercia . Es "difícil" mover un objeto con gran inercia.