Centro instantáneo de rotación para dos engranajes conectados

Question

Centro instantáneo de rotación para dos engranajes conectados

Física
velocidad angular
mecanica clasica
dinámica de cuerpo rígido
cinemática-rotacional
deberes-y-ejercicios

larrydavid

Los dos engranajes tienen las velocidades angulares $\omega_1$ y $\omega_2$ respectivamente con respecto a $Oxyz$ . La tarea es determinar la velocidad angular. $\boldsymbol{\omega}$ del brazo $OA$ .

Denote el punto de contacto entre los dos engranajes con $C$ . En ese punto, el engranaje más pequeño le da al engranaje más grande una velocidad de $\textbf{v}_C = \omega_2 r \, \boldsymbol{e}_y$ . Las velocidades de dos puntos en un cuerpo rígido se relacionan por $\textbf{v}_1 = \textbf{v}_2 + \boldsymbol{\omega} \times \textbf{r}_{21}$ , por eso

v_{O} = ω_{2} r {mi}_{y} + ω_{1} {mi}_{z} \times (- R) {mi}_{X} = (ω_{2} r - ω_{1} R) {mi}_{y} .

$\textbf{v}_O = \omega_2 r \, \textbf{e}_y + \omega_1 \textbf{e}_z \times (-R) \, \textbf{e}_x = (\omega_2 r - \omega_1 R) \, \textbf{e}_y \ .$

Del mismo modo, en el punto $C$ , el engranaje más grande le da al engranaje más pequeño una velocidad de $\textbf{v}_C = \omega_1 R \, \textbf{e}_y$ . Por eso

v_{A} = ω_{1} R {mi}_{y} - ω_{2} {mi}_{z} \times r {mi}_{X} = (ω_{1} R - ω_{2} r) {mi}_{y} .

$\textbf{v}_A = \omega_1 R \, \textbf{e}_y - \omega_2 \, \textbf{e}_z \times r \, \textbf{e}_x = ( \omega_1 R - \omega_2 r) \, \textbf{e}_y \ .$

Analizando las velocidades del punto $A$ y $C$ del brazo $OA$ , tenemos

\begin{matrix} (ω_{1} R - ω_{2} r) {mi}_{y} = (ω_{2} r - ω_{1} R) {mi}_{y} + ω \times (R + r) {mi}_{X} \\ ⟺ \\ 2 (ω_{1} R - ω_{2} r) {mi}_{y} = ω (R + r) {mi}_{y} \end{matrix}

$\begin{gather} ( \omega_1 R - \omega_2 r) \, \textbf{e}_y = (\omega_2 r - \omega_1 R) \, \textbf{e}_y + \boldsymbol{\omega} \times (R + r) \, \textbf{e}_x \\ \iff \\ 2( \omega_1 R - \omega_2 r) \, \textbf{e}_y = \omega (R +r ) \, \textbf{e}_y \end{gather}$

Por eso

ω = \frac{2 (ω_{1} R - ω_{2} r)}{R + r} .

$\omega = \frac {2( \omega_1 R - \omega_2 r) }{R+r} \ .$

Resulta que esto, de hecho, es incorrecto. Por qué exactamente, no estoy seguro. Según la clave, el punto de contacto $C$ es un centro instantáneo de rotación para cada engranaje, es decir $\textbf{v}_C = \textbf{0}$ para cada engranaje. esto producirá

ω = \frac{(ω_{1} R - ω_{2} r)}{R + r},

$\omega = \frac {( \omega_1 R - \omega_2 r) }{R+r} \ ,$

es decir, mi resultado fue el doble de grande.

¿Cómo es que los engranajes no se influyen entre sí en el punto $C$ ? En problemas similares que he hecho, la velocidad del punto de contacto de los engranajes está influenciada por los otros engranajes giratorios. ¿Pero en este problema de repente no hay tal influencia? ¿Qué falla en mi comprensión de los centros instantáneos de rotación?

Juan Alexiou

¿ Está O fijo en el espacio y A orbitando alrededor?

Respuestas (5)

Centro instantáneo de rotación para dos engranajes conectados

dmafa · Answer 1

El punto C es el centro de rotación instantáneo seguro para ambos engranajes, de lo contrario, se romperían los dientes si alguno relativo se deslizara entre sí. La analogía es una rueda en una carretera que tiene un centro de rotación instantáneo en el punto inferior, por lo que la velocidad del punto superior es dos veces mayor que la del automóvil.

Según tengo entendido, el punto de confusión es que primero calculas VO con respecto al punto A que se está moviendo . En la siguiente línea calculas VA con respecto al punto O que también se mueve , justo en dirección opuesta al punto A. Por eso el resultado se duplica.

Primero asumiría que el engranaje grande se detuvo (significa echar un vistazo en el marco de referencia del engranaje más grande). Aquí el punto C no se mueve, por lo que el punto A tiene una velocidad VA = - w2 * r (negativa porque A va hacia abajo). Luego permita que el engranaje más grande gire (es decir, eche un vistazo en el marco de referencia Oxyz). Ahora tenemos que sumar la velocidad ascendente (positiva) VC a VA, por lo que obtendremos VA = - w2 * r + VC = - w2 * r + w1 * R. Finalmente, tome la velocidad angular del brazo como la velocidad del punto A con respecto a O, dividido por la longitud del brazo, es decir (R+r). Entonces obtenga w = (w1*R - w2*r) / (R+r).

Aparentemente hay muchas maneras de lidiar con este problema. Para mí, parece más fácil echar un vistazo primero al marco de referencia relativo.

El punto C es un centro instantáneo relativo de rotación. En un marco inercial $Oxyz$ el punto C tiene velocidad tangencial.
De acuerdo, @ ja72. Es por eso que tenemos que agregar el término ( w1 * R ) que es la velocidad relativa VC para cambiar el cuadro relativo a Oxyz. Esto nos da la solución final.

fénix87 · Answer 2

fénix87

Abordaría este problema "pensando" que el engranaje $A$ es como en una cinta de correr. Entonces el engranaje $O$ es como moverse "hacia atrás" mientras el engranaje $A$ está tratando de avanzar. Puede calcular fácilmente la velocidad de los dos puntos de contacto y ver qué sucede.

larrydavid

¿Podría mostrarme cómo exactamente tenía en mente? Gracias

fénix87

Si linealiza el problema, entonces el engranaje O está cambiando el suelo, digamos hacia la izquierda, con velocidad

ω_{1} R

$\omega_1R$ , mientras que el engrane A se mueve hacia la derecha con velocidad

ω_{2} r

$\omega_2r$ . La velocidad relativa te dará el movimiento del brazo. Creo que ahora puedes tomarlo desde aquí.

larrydavid

¿A qué te refieres con linealizar? No veo qué es no lineal en el problema. La velocidad de los puntos de contacto es aparentemente cero según la clave, ¿está sugiriendo que no son cero? ¿Llega a la respuesta correcta, es decir, la velocidad angular correcta del brazo, con su enfoque? ¡Muy apreciado si pudiera describir detalladamente lo que quiere decir!

Ján Lalinský · Answer 3

Este es un problema que involucra solo el cálculo de velocidades a partir de otras velocidades, no es necesario considerar ninguna influencia (fuerzas).

Imagine el sistema tal como aparece en el sistema inercial donde el punto de contacto de las dos ruedas está en reposo.

Dado que el punto de contacto está en reposo, los puntos de masa de ambas ruedas que se tocan entre sí están en reposo. Dado que cualquier movimiento plano de un cuerpo rígido es una rotación en este plano, esto significa que el punto de contacto es un centro de rotación de ambas ruedas.

Las velocidades angulares son las mismas que en el marco inercial original, $\omega_1$ , $\omega_2$ .

La velocidad del centro 1 es entonces $\omega_1 R$ , la velocidad del centro 2 es $\omega_2r$ . Los extremos del brazo tienen las mismas velocidades.

El brazo también es un cuerpo rígido en movimiento plano, por lo que gira en este plano. Gira sobre algún punto $P$ en algún lugar del eje infinito definido por los centros de las dos ruedas. Usemos para denotar la distancia de este punto $P$ desde el punto $A$ por $X$ .

La velocidad angular del brazo alrededor $P$ tiene que ser tal que los puntos extremos tengan velocidades superiores. Esto conduce a ecuaciones

ω X = ω_{1} R,

$\omega X =\omega_1 R,$

ω (X - R - r) = ω_{2} r .

$\omega (X-R-r) = \omega_2 r.$

El $\omega$ que resuelve estas dos ecuaciones es de hecho

\frac{ω_{1} R - ω_{2} r}{R + r} .

$\frac{\omega_1 R - \omega_2 r}{R+r}.$

Posición del punto $P$ - coordinar $X$ - También se puede calcular.

erenusto · Answer 4

¿Por qué tu respuesta es incorrecta? Porque al principio estás calculando la velocidad de $C$ punto de suposición $A$ está en reposo. Entonces la velocidad que encuentras para el punto $O$ es su velocidad relativa al punto $A$ . De manera similar, cuando estás calculando la velocidad del punto $A$ lo que encuentras es en realidad su velocidad relativa a $O$ . Son lo mismo, solo que con una diferencia de signo, así que cuando los sumas obtienes el doble de la respuesta correcta.

John · Answer 5

El centro o la rotación no se encuentra donde esos dos engranajes hacen contacto, está en un punto más cercano al centro del engranaje más pequeño.

La definición del centro instantáneo de rotación está en el punto de contacto (cf. esta entrada de Wikipedia ).

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