Rotación de cuerpo rígido con dos velocidades angulares diferentes

Question

Rotación de cuerpo rígido con dos velocidades angulares diferentes

Física
rotación
velocidad angular
momento de inercia
dinámica de cuerpo rígido

Sørën

Considere un cilindro que gira alrededor de un eje fijo vertical con velocidad angular $\vec{\Omega}$ mientras gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro de masa con velocidad angular $\vec{\omega}$ .

Ahora las dos velocidades angulares de rotación $\omega$ y $\Omega$ no son lo mismo, supongo, y no hay relación entre las dos velocidades angulares, ¿es así?

En primer lugar, ¿cuál es la velocidad angular del cuerpo rígido? supongo que es

\vec{ω^{*}} = \vec{ω} + \vec{Ω}

$\vec{\omega^{*}}=\vec{\omega}+\vec{\Omega}$

¿Pero por qué?

y entonces cual es el momento de inercia con respecto al eje $z$ del cuerpo rígido? Si uso el teorema del eje paralelo obtengo

I_{z} = I_{C metro} + metro R^{2}

$I_{z}=I_{cm}+mR^2$

Dónde $R$ es la distancia de $z$ . Pero eso no parece correcto. El cilindro no gira alrededor de su centro de masa a la misma velocidad angular de rotación alrededor $z$ . entonces usando $(1)$ dar algunos resultados incorrectos. Por ejemplo energía cinética

k = \frac{1}{2} I_{z} {\vec{Ω}}^{2} = \frac{1}{2} (I_{C metro} + metro R^{2}) {\vec{Ω}}^{2}

$K=\frac{1}{2} I_{z} \vec{\Omega}^2= \frac{1}{2}(I_{cm}+mR^2)\vec{\Omega}^2$

Pero esa es la energía cinética de un cuerpo que gira alrededor $z$ y centro de masa con la misma velocidad angular $\vec{\Omega}$ , y este no es el caso.

Estoy confundido, ¿alguien puede ayudarme con sugerencias sobre la velocidad angular y el momento de inercia en problemas donde el cuerpo rígido gira al mismo tiempo sobre dos ejes diferentes?

Juan Alexiou

Es

ω

$\omega$ la velocidad conjunta (relativa) o la velocidad absoluta del cilindro?

Respuestas (3)

Rotación de cuerpo rígido con dos velocidades angulares diferentes

Es $\omega$ la velocidad conjunta (relativa) o la velocidad absoluta del cilindro?

l.levrel · Answer 1

Ya se ha respondido un poco en esta otra pregunta tuya: el teorema de los ejes paralelos y el teorema de Koenig para el momento angular (ver también mi comentario a la respuesta).

La velocidad angular, como la velocidad de traslación, debe definirse con referencia a un marco. En su pregunta, afirma que la velocidad angular sobre el eje principal es $ω$ . Entonces su velocidad angular es... $ω$ . Si estudia el movimiento en el marco (no galileano) centrado en el CM y que tiene un eje que apunta hacia adentro a $z$ , la velocidad angular será $ω-Ω$ . Esto recuerda la diferencia entre el día estelar y el día solar.
El momento de inercia se utiliza para la rotación alrededor de un punto o eje. $I_z$ es como dices; pero esto sería útil solo si el cuerpo estuviera girando alrededor $z$ . Que no es el caso. El movimiento aquí es una combinación de:
- rotación sobre el eje principal,
- traducción circular (llamada revolución en astronomía) sobre $z$ .
Para calcular el momento angular o la energía cinética en movimientos combinados como este, utilice los teoremas de König.

Juan Alexiou · Answer 2

Puedes ver esta situación de dos maneras. Primero en términos de movimientos absolutos. $\Omega$ y $\omega$ , y en segundo lugar en términos del movimiento relativo $\dot{q} = \omega - \Omega$ . Los resultados son los mismos

El cilindro gira con $\omega$ velocidad y traduciendo con $\Omega R$ velocidad. La combinación de cantidad de movimiento y energía cinética es
- Momento lineal: $pag = metro R Ω$ $p = m R \Omega$
- Momento angular sobre CM: $L = I_{C metro} ω$ $L = I_{cm} \omega$
- Momento angular respecto a Z : $L_{z} = L + R \times pag = I_{C metro} ω + metro R^{2} Ω$ $L_z = L + R \times p = I_{cm} \omega + m R^2 \Omega$
- Energía cinética $k = \frac{1}{2} metro (R Ω)^{2} + \frac{1}{2} I_{C metro} (ω)^{2}$ $K = \frac{1}{2} m (R \Omega)^2 + \frac{1}{2} I_{cm} (\omega)^2$
El cilindro gira con velocidad relativa. $\dot{q}$ y traduce con $\Omega R$ velocidad. La combinación de cantidad de movimiento y energía cinética es
- Momento lineal: $pag = metro R Ω$ $p = m R \Omega$
- Momento angular sobre CM:: $L = I_{C metro} (Ω + \dot{q})$ $L = I_{cm} (\Omega+\dot{q})$
- Momento angular respecto a Z : $L_{z} = L + R \times pag = (I_{C metro} + metro R^{2}) Ω + I_{C metro} \dot{q}$ $L_z = L + R \times p =(I_{cm} + m R^2) \Omega + I_{cm} \dot{q}$
- Energía cinética $k = \frac{1}{2} metro (R Ω)^{2} + \frac{1}{2} I_{C metro} (Ω + \dot{q})^{2} = \frac{1}{2} ((I_{C metro} + metro R^{2}) Ω^{2} + I_{C metro} (ω^{2} - Ω^{2}))$ $K = \frac{1}{2} m (R \Omega)^2 + \frac{1}{2} I_{cm} (\Omega+\dot{q})^2\\ = \frac{1}{2} \left( (I_{cm}+m R^2) \Omega^2 + I_{cm} (\omega^2-\Omega^2)\right)$

Tenga cuidado de que su "2". todavía describe el movimiento en el marco de referencia "fijo", no en el "giratorio", y es por eso que $p$ , $L$ , $L_z$ , $K$ tienen el mismo valor en su "1". y 2."
La ecuación en un marco no inercial no tiene sentido. Siempre miro las cosas en marcos inerciales, simplemente en diferentes ubicaciones o con diferentes opciones de modelado (movimiento absoluto versus movimiento relativo).
Decir que esto "no tiene sentido" es un poco exagerado. Estoy de acuerdo en que los marcos inerciales son generalmente preferibles, pero a veces es más fácil estudiar en el marco no inercial con pseudofuerzas adicionales: por ejemplo, ¡no vas a estudiar balística en el marco geocéntrico!

Arrozal · Answer 3

Sí... Las dos velocidades angulares son independientes entre sí...

Es básicamente como la Tierra girando alrededor del Sol... La velocidad de revolución de la Tierra alrededor del Sol es independiente de su velocidad de rotación sobre su propio eje...

No estoy muy seguro de tu primera ecuación en la que sumas las dos velocidades angulares...

Como dijo Leverl, los dos movimientos son completamente diferentes... No se puede definir un momento de inercia "COMÚN"...

Y sí, usa los teoremas de Konig para resolver las otras dos preguntas...

¡¡¡Espero que esto ayude!!!

Saludos,

Pradyoth Shandilya

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Sørën

Juan Alexiou

Respuestas (3)

l.levrel

Juan Alexiou

l.levrel

Juan Alexiou

l.levrel

Arrozal

¿Existe una fórmula para el vector de rotación en términos del vector de velocidad angular?

¿Se puede encontrar de esta manera el momento angular de cualquier cuerpo rígido (simétrico o asimétrico)?

¿Cómo probamos la existencia del eje instantáneo de rotación?

¿Cuál es la fórmula para la composición de dos vectores de rotación eje-ángulo?

Significado físico del momento de inercia alrededor de un eje

Relación entre la derivada del vector de rotación y la velocidad angular cuando el ángulo de rotación es constante

¿Cuál es el significado físico de los ejes principales de inercia?

¿Bajo qué condiciones se cumple la relación L⃗ =Iω⃗ L→=Iω→\vec{L} =I \vec{\omega}? [duplicar]

Momento angular instantáneo de un disco

Desconcertante: movimiento relativo de dos puntos en un disco giratorio