¿Por qué el momento de inercia debe ser una transformación lineal?

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¿Por qué el momento de inercia debe ser una transformación lineal?

Física
momento angular
momento de inercia
mecanica clasica
dinámica de cuerpo rígido
formalismo lagrangiano

Paladín sin nombre

Parece ser que en el contexto de la dinámica de cuerpos rígidos, el momento de inercia se introduce como la cantidad que mapea los componentes de la velocidad angular en los componentes del momento angular.

Bueno, la velocidad angular es una velocidad generalizada, por lo tanto, debería ser un elemento del espacio tangente en algún punto de la variedad y el momento angular vive en el espacio cotangente cuyas componentes se definen como componentes gradientes del Lagrangiano, es decir

{pag}_{i} = \frac{\partial L (q, \dot{q}, t)}{\partial {\dot{q}}^{i}}

$p_i = \dfrac{\partial\mathcal{L}(q,\dot{q},t)}{\partial\dot{q}^i}$

Aquí $p_i$ son las componentes del momento angular y $q^i$ son componentes de la velocidad angular. Ahora bien, ¿suponemos que estos componentes están relacionados por transformación lineal, es decir, el momento de inercia? Si es así, entonces no es del todo obvio para mí por qué $L$ debe depender linealmente con $\omega$ . Además, incluso si lo hiciera, ¿cómo califica exactamente el momento de inercia como un $(1,1)$ ¿tensor? Parece estar mapeando un vector a un covector.

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¿Por qué el momento de inercia debe ser una transformación lineal?

qmecanico · Answer 1

El momento de inercia es para el movimiento de rotación lo que la masa (inercial) es para el movimiento lineal. En otras palabras, el momento de inercia es una masa generalizada.
Deja el $n$ -espacio de configuración dimensional $M$ tienen posiciones generalizadas $(q^1, \ldots, q^n)$ . En la mecánica de puntos (a diferencia de la teoría de campos), las masas generalizadas son, por definición, los coeficientes de estructura en el término cinético.
$\frac{1}{2} \sum_{i, j = 1}^{norte} {metro}_{i j} {\dot{q}}^{i} {\dot{q}}^{j}$ $\frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n m_{ij}~\dot{q}^i\dot{q}^j$ que es cuadrático en las velocidades $\dot{q}^i$ en el lagrangiano $L$ . El tensor de masa generalizado
$metro = \sum_{i, j = 1}^{norte} {metro}_{i j} d q^{i} ⊙ d q^{j} \in Γ ({S y metro}^{2} (T^{*} METRO))$ $m~=~ \sum_{i,j=1}^n m_{ij} ~\mathrm{d}q^i \odot \mathrm{d}q^j~\in~ \Gamma\left( {\rm Sym}^2(T^{\ast}M)\right)$ es una sección en el producto tensorial simétrico ${S y metro}^{2} (T^{*} METRO) = T^{*} METRO ⊙ T^{*} METRO$ ${\rm Sym}^2(T^{\ast}M)~=~T^{\ast}M\odot T^{\ast}M$ sobre el haz cotangente $T^{\ast}M$ . En otras palabras, $m$ es un simétrico $(0,2)$ campo tensor covariante . Si es definida positiva, es un tensor métrico en el espacio de configuración $M$ .
Hasta ahora $m_{ij}$ podría en principio depender de las posiciones generalizadas $q^i$ . Si además exigimos (como suele hacerse) que $m_{ij}$ es independiente de las posiciones generalizadas, entonces solo podemos permitir transformaciones de coordenadas afines en la construcción del tensor.

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Paladín sin nombre

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qmecanico

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