¿Cómo puedo describir estos "diferentes tipos" de ejes principales

La siguiente pregunta se refiere al momento de inercia tensor de la mecánica clásica, dado por

$$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\ I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\ I_{zx}&I_{zy}&I_{zz} \end{bmatrix}$$

Dónde están$I_{ii}$son momentos de inercia y todo$I_{ij}$son productos de inercia . También definimos el momento angular$\vec{L}$por$\vec{L} = \mathbf{I}\vec{\omega}$, dónde$\vec{\omega}$es la velocidad angular del cuerpo giratorio.

Decimos que si una elección de ejes$x, y, z$produce un vector de momento angular que es paralelo al vector de velocidad angular ($\vec{L} = \mathbf{I}\vec{\omega} = \beta\vec{\omega}$,$\beta$= const.), entonces esos ejes$x, y, z$son los ejes principales del cuerpo.

---

CASO 1:

Bien, entonces, considera un cubo de longitud lateral$\alpha$girando alrededor de su diagonal principal (el eje de rotación pasa por$(0,0)$y$(\alpha, \alpha)$). Saltándonos las integrales y simplemente presentando el resultado, el momento angular$\vec{L}$de tal cuerpo es

$$\vec{L} = \mathbf{I}\vec{\omega} = \dfrac{M\alpha^2}{12}\begin{bmatrix} 8&-3&-3\\-3&8&-3\\-3&-3&8\end{bmatrix}\omega\hat{\omega}=\dfrac{M\alpha^2}{6}\vec{\omega}$$

EDITAR: aclaración: El$x, y, z$los ejes son paralelos a las aristas del cubo, con el origen en una esquina inferior. Desde$\vec{\omega}$actúa a través de la diagonal principal del cubo, tenemos

$$\mathbf{I}\vec{\omega} = \mathbf{I}\dfrac{\omega}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},$$

desde la dirección de$\vec{\omega}$es desde el origen en una esquina en$(0,0,0)$a la esquina opuesta en$(1,1,1)$(y he normalizado esta dirección con un factor de$1/\sqrt{3}$). Entonces, puedes ver que usando el tensor de inercia dado arriba, obtenemos

$$\textbf{I}\vec{\omega} = \dfrac{M\alpha^2}{12}\dfrac{\omega}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix} = \dfrac{M\alpha^2}{12}2\vec{\omega} = \dfrac{M\alpha^2}{6}\vec{\omega}$$

---

CASO 2:

A continuación, considere el mismo cubo girando alrededor de cualquier eje a través de su centro (un caso más general de lo anterior), con los mismos ejes definidos anteriormente. El momento angular aquí es

$$\vec{L} = \mathbf{I}\vec{\omega} = \dfrac{M\alpha^2}{6}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\vec{\omega} = \dfrac{M\alpha^2}{6}\vec{\omega}$$

---

CASO 3:

Y, finalmente, considere un cono que gira alrededor de un eje que pasa por su punto y por el centro de su base. El momento angular aquí es

$$\vec{L} = \mathbf{I}\vec{\omega} = \dfrac{3}{20}M\begin{bmatrix}R^2+4h^2&0&0\\0&R^2+4h^2&0\\0&0&2R^2\end{bmatrix}\vec{\omega} = \begin{bmatrix}\lambda_1\omega_x\\ \lambda_2\omega_y \\ \lambda_3\omega_z\end{bmatrix}$$

dónde$h$es la altura del cono y$R$es el radio de su base.

---

En el primer caso, el tensor de inercia es diagonal y hermitiano. En el segundo caso, estos siguen siendo ciertos, pero con la cualidad adicional de que el tensor de inercia es un múltiplo de la matriz identidad. En el último caso, el tensor de inercia sigue siendo hermitiano y es la matriz identidad multiplicada por un vector en lugar de un escalar.

Mi pregunta es; ¿Cómo analizo adecuadamente las diferencias en los "sabores" de los ejes principales? Todos estos son ejes principales, ¿correcto? Dado que la velocidad angular apunta en la misma dirección que el momento angular en todos los casos.

Editar: me equivoqué al afirmar que el tensor de inercia del primer caso es diagonal. Mi libro de texto establece que un tensor de inercia expresado en base a ejes principales debe ser diagonal, con cero para todos los elementos fuera de la diagonal. Pero, esto no es totalmente consistente con la definición de que los ejes principales son aquellos que, al evaluar el tensor de inercia sobre esa base, el momento angular es paralelo a la velocidad angular.