¿Análisis dimensional de la constante de amortiguamiento?

Question

¿Análisis dimensional de la constante de amortiguamiento?

Física
análisis dimensional

usuario3511

¿Cuáles son las unidades de la constante de amortiguamiento de la siguiente ecuación por análisis dimensional?

ζ = \frac{C}{2 \sqrt{metro k}}

$\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}$

Supongo que las unidades deben ser s^-1, ya que la constante de amortiguamiento está presente en la ecuación exponencial que traza el amortiguamiento de y=Ae^kt (que traza la amplitud frente al tiempo). ¿Es esa una suposición correcta?

Si alguien pudiera hacer un análisis dimensional rápido para confirmarlo, sería genial.

Fabian

Tal vez podrías decir, qué

c

$c$ ,

m

$m$ ,

k

$k$ y

ζ

$\zeta$ ¿son? (una vez que sepa cuáles son estas otras constantes, podría estar en condiciones de responder la pregunta usted mismo)

Jorge

¿Esto es tarea?

usuario3511

Bueno, la masa es kg, k es la constante de resorte (N/m) y ζ es obviamente la constante de amortiguamiento. Sin embargo, no tengo idea de cuáles son las unidades de área c.

Marcos Eichenlaub

@ user3511 Si sabe qué es el análisis dimensional, puede realizarlo usted mismo fácilmente. Si no sabes lo que es, usa internet para aprender. Si intenta usar Internet para aprender y tiene problemas porque hay algo que no entiende, haga una pregunta aquí. Tal como está, tu pregunta no tiene sentido porque acabas de arrojar una ecuación con cantidades indefinidas, y cuando alguien te preguntó qué significaban las variables, respondiste que no sabías. ¿Por qué preguntas sobre una ecuación con cantidades que ni siquiera puedes identificar? -1 por falta de esfuerzo.

usuario3511

Mis disculpas, necesitaba ayuda para confirmar los pasos y las unidades de cada uno. La próxima vez los publicaré en la pregunta.

Juan Alexiou

a menudo uso

k = metro ω_{norte}^{2} C = 2 ζ metro ω_{norte}

$k = m \omega_N^2 \\ c = 2 \zeta m \omega_N$ lo que hace que las unidades sean más obvias como

k

$k$ y

c

$c$ difieren solo por un

\frac{1}{s e c}

$\frac{1}{\rm sec}$ en unidades

Respuestas (2)

¿Análisis dimensional de la constante de amortiguamiento?

Tal vez podrías decir, qué $c$ , $m$ , $k$ y $\zeta$ ¿son? (una vez que sepa cuáles son estas otras constantes, podría estar en condiciones de responder la pregunta usted mismo)
Bueno, la masa es kg, k es la constante de resorte (N/m) y ζ es obviamente la constante de amortiguamiento. Sin embargo, no tengo idea de cuáles son las unidades de área c.
@ user3511 Si sabe qué es el análisis dimensional, puede realizarlo usted mismo fácilmente. Si no sabes lo que es, usa internet para aprender. Si intenta usar Internet para aprender y tiene problemas porque hay algo que no entiende, haga una pregunta aquí. Tal como está, tu pregunta no tiene sentido porque acabas de arrojar una ecuación con cantidades indefinidas, y cuando alguien te preguntó qué significaban las variables, respondiste que no sabías. ¿Por qué preguntas sobre una ecuación con cantidades que ni siquiera puedes identificar? -1 por falta de esfuerzo.
Mis disculpas, necesitaba ayuda para confirmar los pasos y las unidades de cada uno. La próxima vez los publicaré en la pregunta.
a menudo uso $k = metro ω_{norte}^{2} C = 2 ζ metro ω_{norte}$ $k = m \omega_N^2 \\ c = 2 \zeta m \omega_N$ lo que hace que las unidades sean más obvias como $k$ y $c$ difieren solo por un $\frac{1}{\rm sec}$ en unidades

mmc · Answer 1

Supongo que las unidades deben ser s^-1, ya que la constante de amortiguamiento está presente en la ecuación exponencial que traza el amortiguamiento de y=Ae^kt (que traza la amplitud frente al tiempo). ¿Es esa una suposición correcta?

No, la relación de amortiguamiento $\zeta$ es adimensional:

[C] = \frac{[F]}{[\frac{d X}{d t}]} = \frac{norte}{metro \cdot s^{- 1}} = \frac{k gramo \cdot metro \cdot s^{- 2}}{metro \cdot s^{- 1}} = k gramo \cdot s^{- 1}

$[c] = \frac{[F]}{\left[\frac{dx}{dt}\right]} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}} = \frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}} = \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}$

[ζ] = \frac{[C]}{\sqrt{[metro] [k]}} = \frac{k gramo \cdot s^{- 1}}{\sqrt{k gramo \cdot norte \cdot {metro}^{- 1}}} = \frac{k gramo \cdot s^{- 1}}{\sqrt{{k gramo}^{2} \cdot s^{- 2}}} = \frac{k gramo \cdot s^{- 1}}{k gramo \cdot s^{- 1}} = 1

$[\zeta] = \frac{[c]}{\sqrt{[m][k]}} = \frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}}{\sqrt{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1}}} = \frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}}{\sqrt{\mathrm{kg}^2\cdot\mathrm{s}^{-2}}} = \frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}} = 1$

La solución de la ecuación diferencial del oscilador armónico amortiguado (cuando está subamortiguado) es

X (t) = A {mi}^{- ζ ω_{0} t} pecado (\sqrt{1 - ζ^{2}} ω_{0} t + φ)

$x(t) = A e^{-\zeta \omega_0 t} \ \sin \left( \sqrt{1-\zeta^2} \ \omega_0 t + \varphi \right)$

entonces el exponente es adimensional (como debe ser):

[ζ ω_{0} t] = 1 \cdot s^{- 1} \cdot s = 1

$[\zeta \omega_0 t] = 1\cdot\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm{s} = 1$

Parámetros adimensionales y dimensionales

La ecuación diferencial de un oscilador armónico amortiguado es

metro \frac{d^{2} X}{d t^{2}} + C \frac{d X}{d t} + k X = 0

$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0$

Podemos reducir el número de parámetros a 2 simplemente dividiendo por $m$

\frac{d^{2} X}{d t^{2}} + \frac{C}{metro} \frac{d X}{d t} + \frac{k}{metro} X = 0

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{c}{m}\frac{dx}{dt} + \frac{k}{m}x = 0$

Luego podemos transformar los dos parámetros restantes para obtener uno adimensional, controlando la forma de la solución, y uno dimensional, estableciendo la escala de tiempo. Una forma de hacerlo es definir

ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{metro}}

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

ζ = \frac{\frac{C}{metro}}{ω_{0}} = \frac{C \sqrt{metro}}{metro \sqrt{k}} = \frac{C}{\sqrt{k metro}}

$\zeta = \frac{\frac{c}{m}}{\omega_0} = \frac{c\sqrt{m}}{m\sqrt{k}} = \frac{c}{\sqrt{k\,m}}$

por lo que la ecuación diferencial toma la forma:

\frac{d^{2} X}{d t^{2}} + ζ ω_{0} \frac{d X}{d t} + ω_{0}^{2} X = 0

$\frac{d^2x}{dt^2} + \zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^2x = 0$

La razón para elegir $\omega_0$ como el parámetro dimensional es físico: cuando el sistema está subamortiguado , $\omega_0$ es la frecuencia angular de oscilación.

Se puede ver más información sobre esta ecuación diferencial y su interpretación física en Wikipedia.

Estaba publicando lo mismo, ¡pero me ganaste! +1. Para una respuesta perfecta, podría agregar algo sobre la ecuación característica.
¡Gracias, eso es genial! ¿ Puede explicar más por qué la constante de amortiguamiento será adimensional en términos de la ecuación diferencial? (No entiendo muy bien la última línea).
@mmc, ¿está seguro de que la frecuencia es parte de la solución del oscilador armónico amortiguado? Nunca antes lo había visto en el exponente, la ecuación siempre se muestra sin él como aquí: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html#c4
@ usuario3511 El $\gamma$ se muestra que solo hay $\zeta\,\omega_0$ . Entonces, mientras $\zeta$ es adimensional, $[\gamma] = \mathrm{s}^{-1}$ . La misma solución se puede expresar de muchas maneras diferentes, enfatizando diferentes cosas :-)
Olvidaste el factor de 2 en el coeficiente de amortiguamiento. La parametrización debe conducir a $\ddot{X} + 2 ζ ω_{0} \dot{X} + ω_{0}^{2} X = 0$ $\ddot{x} + 2 \zeta \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = 0$ esto se resuelve con $x=\exp\left( - \zeta \omega_0 t\right) \sin \left( \omega_0 \sqrt{1-\zeta^2} t \right)$

Juan Alexiou · Answer 2

Lo anterior es unidad menos. ¿Cómo? bien, la amortiguación siempre es fuerza/velocidad, por lo tanto $c=[\rm{N}\,\rm{s}\,\rm{m^{-1}}]$ , y la rigidez es fuerza/distancia $k=[\rm{N}\,\rm{m^{-1}}]$ , y por supuesto un newton es $[\rm{N}]=[\rm{kg}\,\rm{m}\,\rm{s^{-2}}]$

Combínalos todos para hacer

\frac{norte / (metro / s)}{\sqrt{k gramo norte / metro}} = \sqrt{\frac{norte s^{2}}{k gramo metro}} = \sqrt{\frac{k gramo (metro / s^{2}) s^{2}}{k gramo metro}} = 1

$\dfrac{\mathrm{N\,/(m/s)}}{\sqrt{{\rm kg\, N/m}}}=\sqrt{\dfrac{{\rm N}\,{\rm s}^{2}}{{\rm kg\, m}}}=\sqrt{\dfrac{{\rm kg\, (m/s^{2})\, s^{2}}}{{\rm kg\, m}}}=1$

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