Cómo obtener la longitud de Planck

La expresion$(\hbar G/c^3)^{1/2}$es el producto único de las potencias de$\hbar, G,c$, tres constantes dimensionales más universales, que tiene la unidad de longitud. porque las constantes$\hbar, G,c$describen los procesos fundamentales de la mecánica cuántica, la gravedad y la relatividad especial, respectivamente, la escala de longitud obtenida de esta manera expresa la escala de longitud típica de los procesos que dependen de la gravedad cuántica relativista.

La fórmula y el valor ya los conocía Max Planck hace más de 100 años, por eso se llaman unidades de Planck.

A menos que haya dimensiones extra muy grandes o extrañamente deformadas en nuestro espacio-tiempo, la longitud de Planck es la escala de longitud mínima a la que se le puede asignar la interpretación física y geométrica habitual. (E incluso si hay sutilezas provenientes de dimensiones adicionales grandes o deformadas, la escala de longitud mínima que tiene sentido, que podría ser diferente de$10^{-35}$metros, sin embargo, aún puede llamarse una longitud de Planck de dimensiones superiores y se calcula mediante fórmulas análogas que, sin embargo, deben usar la constante de Newton relevante que se aplica a un mundo de dimensiones superiores). El papel especial de la longitud de Planck puede expresarse por muchos definiciones relacionadas, por ejemplo:

• La longitud de Planck es el radio del agujero negro más pequeño que (marginalmente) obedece las leyes de la relatividad general. Tenga en cuenta que si el radio del agujero negro es$R=(\hbar G/c^3)^{1/2}$, la masa del agujero negro se obtiene de$R=2GM/c^2$es decir$M=c^2/G\cdot (\hbar G/c^3)^{1/2} = (\hbar c/G)^{1/2}$que es lo mismo que la longitud de onda de Compton$\lambda = h/Mc = hG/c^3 (\hbar G/c^3)^{-1/2}$del mismo objeto, hasta factores numéricos tales como$2$y$\pi$. El tiempo que tarda un agujero negro de este tipo en evaporarse por la radiación de Hawking también es igual al tiempo de Planck, es decir, la longitud de Planck dividida por la velocidad de la luz. Los agujeros negros más pequeños (más ligeros) no se comportan como agujeros negros en absoluto; son partículas elementales (y el tiempo de vida más corto que el tiempo de Planck es una señal de que no se puede confiar en la relatividad general para objetos tan diminutos). Los agujeros negros más grandes que la longitud de Planck se comportan cada vez más como agujeros negros de larga vida que conocemos por la astrofísica.

• La longitud de Planck es la distancia a la que la incertidumbre cuántica de la distancia se vuelve del orden del 100 por ciento, hasta un coeficiente de orden uno. Esto se puede calcular mediante varios cálculos aproximados arraigados en la teoría cuántica de campos: valores esperados de$(\delta x)^2$provenientes de fluctuaciones cuánticas del tensor métrico; correcciones de derivada superior a la acción de Einstein-Hilbert; fenómenos no locales, etc.

Las correcciones inusuales de la geometría, incluidos los fenómenos no locales, se vuelven tan fuertes en distancias que son formalmente más cortas que la longitud de Planck que no tiene sentido considerar distancias más cortas. Las reglas habituales de la geometría se romperían allí. La longitud de Planck más o menos es también la escala de distancia más corta que pueden medir los aceleradores, incluso en principio. Si uno aumentara la energía de los protones en el LHC y eligiera un colisionador de radio comparable al Universo, la longitud de onda de los protones se acortaría inversamente proporcionalmente a la energía de los protones. Sin embargo, una vez que la energía del centro de masa de los protones alcanza la escala de Planck, uno comienza a producir los "agujeros negros mínimos" mencionados anteriormente. Un aumento posterior de la energía terminará con agujeros negros más grandes que tienen una resolución peor, no mejor. Entonces, la longitud de Planck es la distancia mínima que uno puede sondear.

Es importante mencionar que estamos hablando de la arquitectura interna de partículas y objetos. Muchas otras cantidades que tienen unidades de longitud pueden ser mucho más cortas que la longitud de Planck. Por ejemplo, la longitud de onda del fotón puede ser obviamente arbitrariamente corta: cualquier fotón siempre puede ser reforzado, como lo garantiza la relatividad especial, de modo que su longitud de onda sea aún más corta.

Se conocen muchas cosas (percepciones de miles de artículos de algunos de los mejores físicos del mundo) sobre la física de la escala de Planck, especialmente algunas características cualitativas de la misma, independientemente de la inaccesibilidad experimental de ese ámbito.

Usando constantes físicas fundamentales, intente construir una expresión que tenga una unidad de longitud.
Entonces usando el análisis dimensional, tenemos:

• $G = m^3 \cdot kg^{-1} \cdot s^{-2}$
• $c = m \cdot s^{-1}$
• y$\hbar = J \cdot s = kg \cdot m^2 \cdot s^{-1}$.

De lo que debemos construir longitud$l = m$de la siguiente manera:

La fórmula se obtiene por análisis dimensional. Hasta un factor adimensional constante, la expresión dada es la única de longitud de dimensión que se puede hacer de las constantes fundamentales$\hbar$,$c$, y$G$.

Las discusiones sobre el significado físico de la longitud de Planck no tienen apoyo experimental (y muy poco teórico), por lo que su segunda pregunta no puede responderse (excepto especulativamente).

Esta es una respuesta a la parte de la pregunta sobre por qué las escalas más pequeñas son inaccesibles.

Los físicos de partículas están en el negocio de medir cosas a distancias muy pequeñas. Para hacer esto, tienen que usar partículas con longitudes de onda comparables a la escala de distancia que están tratando de sondear, y tienen que hacer chocar esas partículas con lo que están tratando de sondear.

Sin embargo, algo sale mal si sigues intentando hacer que la longitud de onda$\lambda$más y más corto. Aunque acelerar una partícula a una velocidad ultrarrelativista no la convierte en un agujero negro (después de todo, en su propio marco está en reposo), la colisión con el objeto que se está probando puede crear un agujero negro, y lo hará, en términos generales. , si la energía$E$es equivalente a un$mc^2$para el cual el radio de Schwarzschild$2Gm/c^2$es más pequeño que el$\lambda\sim hc/E$. (Esto no es riguroso, ya que lo que realmente importa es el tensor de tensión-energía, no la energía, pero es lo suficientemente bueno para una estimación del orden de magnitud). Resolviendo para$\lambda$, obtenemos algo del orden de la longitud de Planck.

Si hace que la longitud de onda sea más corta que la longitud de Planck, está aumentando la energía. Luego, la colisión produce un agujero negro más grande, lo que significa que no estás sondeando escalas más pequeñas, estás sondeando escalas más grandes.

Debo estar de acuerdo con Lubos (excepto por la excepción que hace con respecto a Photons, ya que SR es la herramienta incorrecta para usar y GR tampoco deja que Photons se destaque) en que teóricamente está muy bien establecido que la escala de Planck establece un punto más allá del cual la nueva física debería suceder y la teoría de cuerdas ofrece una posible forma que podría adoptar esta nueva física.

Olvidando las cadenas, aparte de los argumentos de Blackhole, uno puede apelar al marco RG moderno para afirmar que cualquier teoría de campo renormalizable pero no asintóticamente libre a bajas energías (como el Modelo Estándar) señala la existencia de una escala UV más allá de la cual una nueva teoría de campo debe ser reemplazado La escala de Planck es la única escala relevante que conocemos que posiblemente podría ser candidata para un qft gravitacional. Mire "Un toque de renormalización" de Delamotte para una descripción clara de este punto.