¿Dónde podrían ser realmente útiles los hercios por dioptría?

En relatividad especial, los hercios por dioptría son una excelente unidad para mostrar la invariancia conjunta de los fenómenos electromagnéticos en el comportamiento de todo tipo de lentes, reflectantes o refractivas, bajo los efectos de la transformación de Lorentz a lo largo del eje de movimiento. No conozco ninguna otra unidad que vincule esos dos dominios de esa manera. En el caso de las lentes refractivas con dispersión cromática, la invariancia resulta no trivial y un poco sorprendente, ya que afirma que los materiales atómicos en una lente comprimida de Lorentz deben mantener una relación muy específica en cómo interactúan con un espectro de frecuencias de luz con desplazamiento gamma.

Así es como funciona para el caso de lentes reflectantes más fácil. Primero, imagina una esfera de 4 metros de ancho con un$f=280$Onda de luz infrarroja resonante THz en el interior. ¿Por qué 4 metros? Bueno, estoy tratando de usar la definición correcta de dioptría . Esa es la distancia focal de una lente refractiva o reflectante, lo que significa la distancia que requiere para hacer converger la luz paralela en un solo punto focal. En este caso, la lente es reflectante y tiene curvatura esférica . Mirando solo una región lo suficientemente pequeña (por ejemplo, 2 cm de ancho) para evitar la aberración esférica, la distancia focal de la$d=4$m esfera es$L=\frac{1}{2}r=\frac{1}{4}d=\frac{1}{4}4=1$metro. Entonces, una esfera de 4 m de diámetro da correctamente una dioptría (curvatura) de$\delta=1/L=1/1=1$D, donde D$=m^{-1}$.

Luego, acelera la esfera a lo largo de su eje X a una velocidad de$v=\sqrt{\frac{3}{4}}$c, lo que da un factor de Lorentz de$\gamma=2$. Eso significa que tanto la esfera como el patrón de luz resonante dentro de ella se comprimirán para$\frac{1}{2}$sus longitudes originales a lo largo del eje X, desde la perspectiva de un espectador "en reposo" en relación con la esfera en movimiento.

Para las pequeñas regiones de lentes reflectantes alrededor de cada extremo donde el eje X cruza la esfera, la curvatura de preaceleración fue$\delta_0=1D$(el subíndice cero indica el marco de descanso). Después de la aceleración a$\gamma=2$la esfera se convierte en un esferoide achatado, y las curvaturas de las dos áreas de lentes reflectantes se han reducido a$\delta_1=2D$, donde los números de dioptrías más altos indican curvas más planas. (La prueba de eso se deja como ejercicio para el lector, pero no es difícil).

Ahora examinemos qué sucede con la frecuencia de la luz dentro de la esfera. Lo bueno de la relatividad especial es que la física debe permanecer invariable tanto para el observador como para el sistema observado. Entonces, si había n longitudes de onda de luz resonante cruzando la esfera a lo largo del eje X antes de que se acelerara, también debe haber n longitudes de onda a lo largo de esa misma longitud después de la compresión. En otras palabras, las longitudes de onda de la radiación también deben reducirse a la mitad a lo largo de X (solo), lo que da como resultado el doble de frecuencia que antes. Eso transforma el eje X original.$f_0=280$luz THz de la esfera en reposo en$f_1=560$THz de luz en la esfera en movimiento. Un observador en el marco de descanso vería esto como verde brillante.

Los lectores observadores ahora pueden estar diciendo "¡Oye, eso no puede ser correcto! El factor Lorentz también ralentiza el tiempo... entonces, ¿no debería la luz en la esfera en movimiento ser más lenta y, por lo tanto, menos energética?"

Si bien es cierto que el tiempo transcurrirá más lentamente dentro de la esfera en movimiento, no es correcto pensar que esta misma luz será más lenta cuando se vea desde el marco de reposo. Para esa situación gana la geometría de las longitudes de onda, y la luz se ve verde. Sin embargo, una forma más sencilla de pensarlo es que, dado que la luz está siendo emitida y reflejada por un objeto que viaja a$\gamma=2$(o equivalente$v=\sqrt{\frac{3}{4}}$c), el efecto Doppler ordinario duplicará su frecuencia.

(@ColinK ha notado correctamente que la explicación anterior pasa por alto algunas complicaciones importantes. Consulte su excelente comentario para obtener más información. Puedo tratar de abordarlo pronto).

Ahora es el momento de poner todo esto junto.

La luz y la esfera originales tenían un factor eta de:

$\eta_0=f_0/\delta_0 = (280 THz)/(1 D) = 280\times{10}^{12}$HPD

donde 1 HpD = 1 Hz/D (Hertz por dioptría).

La luz y la esfera en movimiento tienen un factor eta de:

$\eta_1=f_1/\delta_1 = (560 THz)/(2 D) = 280\times{10}^{12}$HPD.

En otras palabras, el factor eta$\eta$, que relaciona las ondas electromagnéticas transformadas por Lorentz con los espejos físicos contraídos por Lorentz desde los cuales se reflejan, ha permanecido invariable para este ejemplo de$\gamma=2$.

No es un caso aislado. Es fácil demostrar que$\eta$es un invariante universal de la relatividad especial:

$\forall{v_i}(\eta_i=\frac{f_i}{\delta_i}= C)$

donde C es una constante en unidades de HpD = Hz/D = Hertz por dioptría.

Ahora, la notable generalización de todo esto es que por los mismos tipos de argumentos geométricos y la aplicación del principio de "la física debe ser preservada en ambos marcos", las lentes refractivas también deben caer bajo el argumento anterior. Si una lente refractiva tiene dispersión cromática (las franjas coloreadas que se ven en las lentes baratas), entonces la constante C en la ecuación anterior se convertirá en un valor dependiente de la frecuencia.$C(f)$. ¡Sin embargo, la invariancia de eta permanece intacta! Eso es sorprendente porque la dispersión de la luz es un fenómeno bastante complicado, sin embargo, desde el resto del marco, estos desordenados átomos comprimidos deben, sin embargo, mantener la invariancia eta. Eso es... inesperado.

Por lo tanto, las unidades HpD no solo tienen un significado físico real, sino un significado que se relaciona directamente con la intención original de las unidades de hercios y dioptrías (en lugar de simplemente ser$m/s$disfrazada). Este significado, a su vez, proporciona una manera fácil de expresar una relación invariable en la relatividad especial que vincula las transformaciones de Lorentz electromagnética y mecánica de una manera inesperada y no intuitiva.

Y finalmente, a pesar de todo lo anterior inesperadamente interesante (¡al menos para mí!) las relaciones SR involucradas, la unidad HpD realmente se originó como un poco de humor en (lo mejor que pude descubrir) esta publicación de discusión sobre xkcd en 2007 . Entonces, shrodingersduck de la República Popular Democrática de Leodensia, dondequiera que estés seis años después, te agradezco por crear sin darte cuenta una oportunidad interesante y bastante divertida para explorar la relatividad especial en un contexto bastante inusual.

Anexo 2013-01-31

Creo que la generalidad de la unidad HpD en la relatividad especial puede establecerse de manera aún más amplia. Entonces, aquí va:

La frecuencia de la luz, las formas geométricas y los índices de refracción dependientes de la frecuencia cambian cuando los sistemas se someten a la transformación de Lorentz, por lo que no son individualmente invariantes de Lorentz. Teorema: si las características ópticas de un sistema óptico se describen utilizando HpD (hercios por dioptría) y/o su unidad inversa DpH (dioptrías por hercio), la descripción resultante de sus propiedades ópticas permanecerá constante ("invarianza eta") independientemente de marco u orientación relativista a partir del cual se analiza el sistema óptico.

Eso es solo un teorema. La excelente observación de @ColinK de que el argumento Doppler que hice podría ser falso porque el cambio funciona de manera diferente dependiendo de si la luz se mueve con o contra la velocidad todavía me preocupa. Entonces, quiero ver eso mucho más de cerca y ver si puedo refutar mi propio teorema.

Aún así, ¿no sería delicioso si una unidad definida como una broma resultara ser relativistamente invariable cuando las unidades comunes para los mismos fenómenos no lo son?

La otra pregunta de generalización obvia es la siguiente: ¿Se aplica la invariancia eta (si existe) a otros fenómenos ondulatorios?

Y finalmente, @JoeZeng, creo que no entendí bien su pregunta sobre si los factores eta (descripciones de componentes ópticos que usan unidades HpD) están relacionados con la velocidad de la luz. Bueno, HpD tiene una equivalencia dimensional con una velocidad ($m/s$), pero si hay una forma significativa de reinterpretar un valor de HpD como una velocidad, seguro que no lo veo. Una pregunta intrigante, sin embargo...

Es una broma: enseñar a la gente sobre el análisis dimensional.

Podría tener cierto sentido reemplazar el segundo con el hercio (1/s) ya que hay muchas más ecuaciones físicas con una cantidad dividida por segundos que multiplicada, simplemente porque a menudo estás estudiando la tasa de algo.

Si sigue esta lógica hasta su conclusión, también podría usar dioptrías (1/m) y tener la velocidad como hercios/dioptrías en lugar de metros/segundo.