¿Por qué dividimos la desviación estándar entre n−−√n\sqrt{n}? [duplicar]

Un concepto esencial para comprender este proceso es que cualquier cosa que estemos midiendo en el laboratorio es básicamente una muestra de la gran cantidad de experimentos necesarios para determinar la media real.$\mu$. Entonces, la media obtenida del experimento, es decir, la media de un valor medido$N$veces es básicamente una media muestral.

Podemos obtener la media real repitiendo la medida un número infinito de veces, lo que nos da una curva normal con media$\mu$y varianza$\sigma^2$. Como esto no es factible en la práctica, tomamos un número finito de medidas$X_1, X_2, ... , X_N$en el laboratorio, y tome la media de la muestra$\bar{X}$, definido como:

$$\begin{equation} \bar{X}= \frac{X_1+X_2+...+X_N}{N} \end{equation}$$

Esto se expresa como la 'media obtenida en el experimento'. Cabe resaltar que$\bar{X}$no es un valor determinado sino una variable aleatoria , y tiene una desviación estándar ($\sigma_\bar{X}$) asociado a ella, que es de nuestro interés.

Cada una de las medidas individuales.$X_1, X_2, ... , X_N$son también variables aleatorias normales, independientes e idénticamente distribuidas con la media$\mu$y varianza$\sigma^2$. Cabe aclarar que esta desviación estándar ($\sigma$) es diferente de la desviación estándar de la media ( muestra ) ($\sigma_\bar{X}$).

Puesto que todos$X_i$son idénticos e independientes, la varianza de$N\bar{X}\left(=X_1+X_2+...+X_N\right)$es

$$\begin{equation} \sigma^2_{N\bar{X}}=N\sigma^2 \implies N^2\sigma^2_{\bar{X}}=N\sigma^2 \end{equation}$$

$$\begin{equation} \therefore \sigma^2_{\bar{X}}=\frac{\sigma^2}{N} \text{, or } \sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{N}} \end{equation}$$

La motivación clave detrás de este análisis de errores es considerar que todo el conjunto de mediciones (necesarias para la media real) es la población , y el conjunto de observaciones registradas finitas (tomadas en el laboratorio) como una muestra . Entonces, esto no es más que encontrar el error estándar en la media muestral.

Una de las implicaciones de esta fórmula es que: "Para disminuir el error en la media por$k$, el número de observaciones tomadas debe incrementarse a$k^2$."