¿Deberíamos incluir la incertidumbre instrumental al calcular la incertidumbre de una medida?

Consideremos el resultado de combinar dos distribuciones gaussianas del período de medición$T$(se supone el valor exacto$T_o$) con desviación$\sigma_1$y$\sigma_2$:

$$\begin{align} P_1(T) =& N_1 \exp\left(-\frac{(T-T_o)^2}{2\sigma_1^2}\right); \tag{1}\\ P_2(T) =& N_2 \exp\left(-\frac{(T-T_o)^2}{2\sigma_2^2}\right). \tag{2} \end{align}$$ Donde el$N_1$y$N_2$son la constante de normalización,$N_1 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}$y$N_2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}$.

Para investigar el efecto combinado de estos dos gaussianos, consideramos una representación de medición$T = t$de la ecuación (1), y luego la gaussiana de la ecuación (2) da la medida final$T$con promedio en$t$. La probabilidad total correlacionada:

$$\begin{align} P(T) =& \int_{-\infty}^\infty P_1(t-T_o) P_2(T-t) dt,\\ =& N_1 N_2 \int_{-\infty}^\infty dt \exp\left(-\frac{(t-T_o)^2}{2\sigma_1^2}\right) \exp\left(-\frac{(T-t)^2}{2\sigma_2^2}\right); \\ =& N_1 N_2 e^{-\left(\frac{T_o^2}{2\,\sigma_1^2}+\frac{T^2}{2\sigma_2^2}\right)} \int_{-\infty}^\infty dt \exp\left(-\frac{(\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2-2\sigma_2^2 t T_o -2\sigma_1^2 t T}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\right); \\ =& N_1 N_2 e^{-\left(\frac{T_o^2}{2\,\sigma_1^2}+\frac{T^2}{2\sigma_2^2}\right)} \int_{-\infty}^\infty dt \exp\left\{-\left[\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\right] \left(t^2-2t \frac{\sigma_2^2 T_o + \sigma_1^2 T}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\right) \right\}; \\ =& N_1 N_2 e^{-\frac{T_o^2\, \sigma_2^2 + T^2\,\sigma_1^2}{2\,\sigma_1^2\, \sigma_2^2} + \frac{(\sigma_2^2 \, T_o + \sigma_1^2\, T)^2}{2\sigma_1^2\,\sigma_2^2 (\sigma_1^2+\sigma_2^2)} } \int_{-\infty}^\infty dt \exp\left\{-\left[\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\right] \left(t- \frac{\sigma_2^2 T_o + \sigma_1^2 T}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\right)^2 \right\}; \\ =&\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} \exp\left\{-\frac{T_o^2\, \sigma_2^2 + T^2\,\sigma_1^2}{2\,\sigma_1^2\, \sigma_2^2} + \frac{(\sigma_2^2 \, T_o + \sigma_1^2\, T)^2}{2\sigma_1^2\,\sigma_2^2 (\sigma_1^2+\sigma_2^2)} \right\} \sqrt{\pi\frac{2\sigma_1^2\sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\\ =&\sqrt{\frac{1}{2\pi\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}} \exp\left\{-\frac{\sigma_1^2\sigma_2^2\left( T - T_o\right)^2}{2\,\sigma_1^2\, \sigma_2^2 \left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)} \right\} \\ =&\sqrt{\frac{1}{2\pi\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}} \exp\left\{-\frac{\left( T - T_o\right)^2}{2\, \left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)} \right\} \\ \end{align}$$

La integral confluente genera una distribución gaussiana con una desviación

$$\sigma^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2.$$

Desde el punto de vista del ingeniero, ¡proceda con precaución!

Al informar la incertidumbre, desea informar todas las contribuciones juntas en un solo valor; pero a veces es necesario distinguir entre las limitaciones del instrumento y la incertidumbre medida a partir de mediciones repetidas. Si fuera un medidor ideal, simplemente podría decir$1.3 \pm 0.05 \text{ s}$donde el cronómetro mide en incrementos de 0,1 s. Esto sería lo suficientemente bueno para la mayoría de las aplicaciones, incluso si hay mucho más que decir al respecto probabilísticamente. Es una cuestión de resolución, por lo que si desea un mejor rendimiento, simplemente use un mejor cronómetro; de lo contrario, combine la incertidumbre en cuadratura e informe esa cifra.

Ahora, técnicamente, debe considerar que cada medición tiene una incertidumbre asociada debido al instrumento, por lo que podría haber cierta propagación de términos de error a considerar. Tendré que comprobar mis propias referencias cuando vuelva a mi biblioteca.

Lo más importante es asegurarse de que cualquier persona que lea su trabajo entienda cómo y por qué calculó la incertidumbre de la forma en que lo hizo. Este es el propósito de cosas como GUM (Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición). Recomiendo encarecidamente usar GUM cuando, por ejemplo, publique. Por ejemplo, los errores instrumentales caerían dentro de los errores de tipo B con GUM.

Por cierto, también me interesaría escuchar las opiniones de otras personas sobre esto; ¡Yo mismo no soy un experto en experimentos!

Yo haría lo siguiente

1. Una vez que recopile todas las medidas para$T, \bar{T}$y$\sigma$, comprobaría cuál es el valor de$3\sigma$es decir, ya que de esta manera tendría una probabilidad del 99,73% de que todos los posibles valores de error estén contenidos en ese rango. Si usa solo un sigma, estaría contabilizando solo el 68.27%. Tenga en cuenta que en el CERN y otros grandes laboratorios de investigación existe este famoso criterio de que se necesitan 5 sigmas para considerar un evento como un descubrimiento.
2. Si ese valor de su error humano es mayor que la incertidumbre de su cronómetro, definitivamente usaría$3\sigma$
3. Si ese valor no es mayor, lo cual es poco probable, entonces usaría la incertidumbre de su dispositivo como error.

En general, si tiene errores de fuentes diferentes y no relacionadas, le interesa tomar la mayor parte de ellas. Si está seguro de que esas fuentes están relacionadas y se afectan entre sí, entonces debe combinar ambas desviaciones tal como lo mencionó.

$$\Delta=\sqrt{(3\sigma)^2+\sum \Delta _{sources}^2}$$