Al analizar los datos de un experimento, ¿cada xixix_i es una variable aleatoria?

En probabilidad y estadística, una "variable aleatoria" es básicamente una cantidad que puede tomar diferentes valores. Es como cualquier otra variable en física: posición$\vec x$, masa$m$, momento angular$\vec{J}$, etc., excepto que en lugar de posiblemente asignar un valor a la variable como lo haría en un problema teórico, obtiene el valor de una medición o algún otro proceso aleatorio.

Los valores individuales son muestras , no variables por derecho propio.

Así que si$\{x_i\}$(esto significa "el conjunto de$x_i$para todos$i$") representa diferentes valores de la misma medida, entonces$x$es la variable aleatoria, y cada$x_i$es un valor de muestra, no una variable aleatoria en sí misma. Si alguien dijo lo contrario, estaba equivocado, según las definiciones que he descrito.

Sin embargo, tenga en cuenta que las personas generalmente son descuidadas con la terminología, y es posible que otra persona no esté usando el término "variable aleatoria" de la misma manera que yo estoy aquí.

¿Por qué en un experimento, cuando medimos x1,…,xnx1,…,xn valores de la misma cantidad, cada xixi es en sí mismo una variable aleatoria?

Cada vez que mida algo, el resultado de su medición será la suma del valor real más algún término de error.

$$x_i = x + \epsilon_i$$

Dependiendo de la naturaleza de la medición, podría ser un buen modelo que el$\epsilon_i$son (muestras de un ¹ ) variable aleatoria con alguna distribución. Así, la suma del error con algún número fijo ($x$) es también una variable aleatoria.

¹ Gracias a DavidZ por señalar el matiz terminológico,

En teoría, si tomara un número muy, muy grande de lecturas, obtendría lo que se llama una media poblacional.

La palabra "aleatorio" en este contexto significa que cuando toma una lectura, no sabe exactamente en qué parte de la población de lecturas posibles se encuentra su valor, es decir, no sabe qué tan cerca o lejos está su lectura de la media de la población. .
Entonces, todos los valores son posibles, aunque los valores dentro de un cierto rango de valores pueden ser más probables que los valores dentro de otro rango; es más probable que mida un valor que esté más cerca de la media de la población que uno que esté más alejado de la media de la población.
Una lectura individual es una variable aleatoria.

Ahora, en lugar de tomar una lectura, decide tomar 10 lecturas (la muestra) y encontrar la media de esas diez lecturas, que se denomina media de la muestra.
Cada una de esas diez lecturas se eligió al azar de la población y, por lo tanto, debe seguirse que la media de esas 10 lecturas elegidas al azar también debe ser aleatoria.
Sin embargo, es más probable que encuentre una media muestral que esté cerca de la media poblacional que una que esté más alejada de la media poblacional.
Una media muestral es una variable aleatoria.