Curvatura intrínseca de un cilindro

Un observador incrustado en una superficie puede saber si la superficie es curva al caminar alrededor de lo que debería ser un cuadrado. Ese es su camino es$4$segmentos de igual longitud con$90^{\circ}$gira entre ellos.

En la Tierra, ese camino podría comenzar en el ecuador. Iría al norte hacia el polo norte, giraría a la izquierda, iría al sur hasta el ecuador, giraría a la izquierda, iría al oeste$1/4$de la vuelta al mundo (que es volver al principio), gire a la izquierda y diríjase hacia el norte hasta el polo norte.

Como no termina donde empezó, puede concluir que la superficie es curva.

La curvatura en el espacio-tiempo, tal como se mide en la Relatividad General, implica un transporte paralelo alrededor de dicho camino. Mientras camina por el camino, lleve una flecha y manténgala apuntando en la misma dirección. Si la flecha apunta en una dirección diferente cuando haya terminado, la superficie es curva. El cambio de dirección es una medida de la curvatura.

Por ejemplo, comience con la flecha que apunta al norte. A medida que camina el primer tramo, apunta hacia adelante. Después de girar a la izquierda, apunta a su derecha, que es el este. Después de girar a la izquierda y caminar a lo largo del ecuador, apunta detrás de usted, que es el este. Después de girar a la izquierda y caminar hacia el norte nuevamente, apunta a su izquierda, que es el este. Cuando llegas al final del poste, está apuntando a tu izquierda. Si vuelve a girar a la izquierda, apunta delante de usted. Pero esta es una dirección diferente que cuando empezaste.

La ruta de ejemplo era grande porque es fácil visualizar la diferencia de dirección y posición. Y las diferencias son grandes para un camino grande. Pero aún habría una pequeña diferencia si los lados del cuadrado fueran$1$milla de largo

También tenga en cuenta que en lugar de caminar por toda la plaza, puede caminar por la mitad y ver si termina en el mismo lugar si camina la otra mitad. En un espacio plano, ambas mitades terminan en la diagonal opuesta. En el espacio curvo, terminan en diferentes lugares.

Si elige un camino cuadrado en un cilindro, debería ser fácil convencerse de que regresaría al punto original y que la flecha que llevaba no cambiaría de dirección.

Puedes ver que el espacio-tiempo es curvo por el hecho de que el tiempo corre un poco más lento cerca de la superficie de la tierra que lejos de la tierra.

En el espacio-tiempo, puedes elegir un cuadrado donde dos de los lados sean similares al tiempo. Así que empieza lejos de la tierra. En un medio camino, espera$1$segundo y mover$100$millas más cerca. En la otra mitad, muévase$100$millas más cerca y esperar$1$segundo. Dado que el tiempo se mueve más lento cuando esperas cerca de la tierra, terminas en el mismo punto, pero en momentos diferentes. Estos son diferentes puntos en el espacio-tiempo.

Hay dos interpretaciones diferentes de la curvatura en conflicto aquí, a saber, la curvatura intrínseca y la extrínseca. La curvatura intrínseca es la curvatura real que es detectable para alguien que se mueve dentro del espacio. Por otro lado, la curvatura extrínseca solo se puede definir si el espacio está incrustado en otro espacio dimensional superior, por ejemplo, el cilindro incrustado en$\mathbb{R}^3$. Tiene una curvatura extrínseca pero su curvatura intrínseca es la del plano, es decir, no está curvado intrínsecamente. Tenga en cuenta que, en el contexto de la relatividad general, el espacio-tiempo tiene una curvatura intrínseca, pero no se supone que el espacio-tiempo esté incrustado en ningún espacio de dimensiones superiores.
Para su pregunta sobre el regreso del observador al punto de partida. Esto no está realmente relacionado con la curvatura, sino más bien con la topología del espacio, es decir, que un cilindro puede verse como una cinta bidimensional infinita pero con sus dos lados identificados.

Consulte también https://math.stackexchange.com/questions/2002965/intrinsic-and-extrinsic-curvature .