¿La forma del Universo se refiere a la curvatura del espacio-tiempo en un espacio de 5 dimensiones? [duplicar]

No, tu creencia no es correcta. Nosotros, al menos en la Relatividad General (GR), no incrustamos nuestro espacio-tiempo en un espacio dimensional superior (o como dijiste en 4 dimensiones del espacio).

Aunque estoy de acuerdo en que es posible imaginar muchas superficies curvas incrustadas en una dimensión superior, no es así como hacemos GR. De hecho, la imagen que tienes es una de las más engañosas para interpretar las matemáticas de GR.

Entonces, lo que está sucediendo es que estás restringido a tu variedad de 4 dimensiones y no sabes qué hay fuera de él, como una hormiga restringida en una esfera que simplemente lo imaginaría como un espacio de 2 dimensiones y no sabría que está incrustado en un espacio tridimensional.

Ahora bien, para hacer frente a tales problemas, Gauss había encontrado la maquinaria matemática correcta que fue refinada por Reimann. De hecho, el resultado que afirma sobre las sumas de los ángulos de un triángulo en una superficie curva se obtiene sin incrustar la superficie en una dimensión superior. Nos las arreglamos para averiguar si el espacio es curvo o no quedándonos en ese espacio y no viéndolo desde afuera (mediante la incrustación).

Las matemáticas comienzan con el teorema de Gauss-Bonnet y luego conducen a la geometría reimaniana. Lo que calculamos es la curvatura intrínseca. Por ejemplo: imagina un cilindro, puedes verlo como curvo pero no es una superficie curva. Tiene curvatura intrínseca cero. Para llegar a eso puramente matemáticamente, debe mostrar que el tensor de curvatura de Reimann se desvanece, pero también puede verlo intuitivamente. Por otro lado, una esfera es curva.

El cilindro tiene una curvatura extrínseca (que se puede calcular incrustándolo), pero no tiene una curvatura intrínseca, mientras que una esfera tiene una curvatura intrínseca.

GR está formulado en el lenguaje de la curvatura intrínseca. Ciertamente, no hay nada de malo en estudiar, digamos, una esfera doble incrustada en un espacio tridimensional. Pero no es necesario y exigir que exista un espacio de dimensiones tan altas es una restricción indebida. Es bastante maravilloso darse cuenta de que una esfera de 2 simplemente puede existir en nada más que 2 dimensiones: la geometría está codificada en la superficie.

No hay necesidad de un espacio de dimensiones superiores en el que incrustar la variedad espacial. La curvatura de Riemann es una medida de la curvatura intrínseca de la superficie, es independiente y no requiere ninguna incrustación.

El tensor de Riemann es la cantidad fundamental que describe la curvatura intrínseca de las superficies. Una buena manera de visualizar cómo "mide" la curvatura intrínsecamente (sin referencia a un espacio de incrustación), es examinar cómo un solo vector,$V^\mu$, termina cuando es transportado en paralelo a lo largo de dos curvas diferentes,$C$y$C'$. La siguiente imagen es de Nakahara 7.3:

Comenzando un$p$, transporte paralelo de$V^\mu(p)$a$q$una distancia$\epsilon$lejos a lo largo$C$da$V^\mu_C(q) = V_0^\mu - V_0^\kappa \Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p)\epsilon^\nu$. Luego, junto a$q$una distancia$\delta$a$r$da

$$V^\mu_C(r) = V^\mu_C(q)-V^\kappa_C(q)\Gamma^\mu_{\nu \kappa}(q)\delta^\nu$$ que podemos escribir como $$V^\mu_C(r) \simeq V_0^\mu - V_0^\kappa\Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p)\epsilon^\nu - V_0^\kappa\Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p)\delta^\nu - V_0^\kappa[\partial_\lambda \Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p)-\Gamma^\rho_{\lambda \kappa}(p)\Gamma^\mu_{\nu \rho}(p)]\epsilon^\lambda\delta^\nu$$ donde hemos mantenido los términos hasta el segundo orden en$\epsilon$y$\delta$.

Puedes hacer el mismo ejercicio a lo largo de la otra curva,$C'$. Entonces, cuando tomas la diferencia de los vectores en el punto$r$usted obtiene

$$V^\mu_{C'}(r) - V^\mu_C(r) = V_0^\kappa[\partial_\lambda \Gamma^\mu_{\nu \kappa}(p) - \partial_\nu \Gamma^\mu_{\lambda \kappa}(p) - \Gamma^\rho_{\lambda \kappa}(p)\Gamma^\mu_{\nu \rho}(p) + \Gamma^\rho_{\nu \kappa}(p)\Gamma^\mu_{\lambda \rho}(p)]\epsilon^\lambda \delta^\nu = V_0^\kappa R^\mu_{\kappa \lambda \nu}\epsilon^\lambda \delta^\nu,$$ dónde$R^\mu_{\kappa \lambda \nu}$es el tensor de Riemann. Y así podemos pensar que la curvatura de Riemann surge del hecho de que la orientación de un vector en transporte paralelo depende del camino tomado en superficies curvas. Es importante destacar que no hay referencia a ningún espacio de incrustación.

Por supuesto, a menudo es útil visualizar espacios con curvatura espacial positiva como esferas que existen en un espacio de dimensiones superiores, pero eso es porque los humanos estamos acostumbrados a ver las cosas de esta manera. Parte de la diversión de la geometría diferencial es aprender a deshacerse de estos hábitos de percepción y comprender las superficies en términos de sus geometrías intrínsecas.