Un campo vectorial uniforme en S2S2S^2 que se desvanece en un solo punto

Version corta:

No hay necesidad de usar funciones "complicadas" para matar el campo en "infinito". Los campos de coordenadas estándar harán el truco, gracias a la estructura de coordenadas estereográficas.

Dejar$(u,v)$ser las coordenadas de proyección estereográfica en$\mathbb{S}^2-\{N\}$. Luego considere el campo vectorial$\partial_u$(o también$\partial_v$). A priori, se define sólo en$\mathbb{S}^2-\{N\}$

Ahora intente calcular la expresión local de este campo vectorial en coordenadas estereográficas pero desde el polo sur. Notarás que el campo se desvanece en cero (es decir, en el polo sur$S$).

Por lo tanto, puede ampliar el campo$\partial_u$a un campo vectorial bien definido en$\mathbb{S}^2$que desaparece exactamente en un punto (es decir, el polo sur$S$).

Versión larga:

Más precisamente, denotemos$(u,v)$las coordenadas estereográficas relativas a la proyección desde el polo norte, ese es el mapa$\phi_N : \mathbb{S}^2-\{N\} \to \mathbb{R}^2$. Denotemos$(\overline{u},\overline{v})$las coordenadas estereográficas relativas a la proyección desde el polo sur, que es el mapa$\phi_S : \mathbb{S}^2-\{S\} \to \mathbb{R}^2$.

Ahora, considere el campo vectorial$\partial_u$(en coordenadas), definido en$\mathbb{S}^2-\{N\}$. En la intersección de los dos gráficos,$\mathbb{S}^2-\{N,S\}$, podemos calcular la expresión de$\partial_u$en$(\overline{u},\overline{v})$coordenadas El resultado es:

$\partial_u = (\overline{v}^2-\overline{u}^2)\partial_\overline{u} - 2\overline{u}\overline{v}\partial_\overline{v} \qquad (1)$

donde, por supuesto,$(\overline{u},\overline{v}) = \phi_S \circ \phi_N^{-1} (u,v)$. Puede ver fácilmente que este campo vectorial se puede extender en el polo norte, mediante la fórmula (1).

Por lo tanto, un campo con la propiedad requerida es:

$X_p = \begin{cases} \left(\phi_N^{-1}\right)_* \left(\frac{\partial}{\partial u}\right) & p \in \mathbb{S}^2-\{N\} \\ \left(\phi_S^{-1}\right)_* \left((\overline{v}^2-\overline{u}^2)\frac{\partial}{\partial \overline{u}} - 2\overline{u}\overline{v}\frac{\partial}{\partial \overline{v}}\right) & p \in \mathbb{S}^2-\{S\} \end{cases}$

$X_p$es un campo vectorial bien definido en su totalidad$\mathbb{S}^2$. Obviamente, también es suave, ya que es suave en coordenadas locales. Además$X_N =0$, y$X_p = \partial_u \neq 0$en$\mathbb{S}-\{N\}$, según sea necesario.

Cálculo explícito para el cambio de coordenadas

El cambio de mapa de coordenadas (y su inversa) se puede calcular explícitamente:

$(u,v) = \phi_N \circ \phi_S^{-1}(\overline{u},\overline{v}) = \frac{(\overline{u},\overline{v})}{\overline{u}^2+\overline{v}^2}$

$(\overline{u},\overline{v}) = \phi_S \circ \phi_N^{-1}(u,v) = \frac{(u,v)}{u^2+v^2}$

Al usar estas expresiones explícitas, es fácil expresar$\partial_u$en términos de coordenadas barradas:

$\frac{\partial}{\partial u} = \frac{\partial \overline{u}}{\partial u}\frac{\partial}{\partial \overline{u}} + \frac{\partial \overline{v}}{\partial u}\frac{\partial}{\partial \overline{v}}$

Ahora, te dejo el último paso (es decir, calcular explícitamente las derivadas). RECUERDE, al calcular las derivadas de las coordenadas barradas con respecto a$u$, para expresarlos en términos de coordenadas BARRED.

Dejar$N$ser el polo norte en la esfera$S^2$. Los aviones que pasan$N$y perpendicular a la$yz$avión cortó la esfera en un círculo. Considere el campo$Y$de vectores unitarios tangentes a dichas circunferencias: esto se define en el complemento de$N$. ahora multiplica$Y$por la función$1-z$, para obtener un campo$X$. Ahora nota que$X$se extiende a la totalidad de$S^2$, y desaparece sólo en$N$.

La esfera$S^n$tiene un atlas con dos cartas$(U_1=S^n\setminus\{N\},\phi_1)$y$(U_2=S^n\setminus\{S\},\phi_2)$, dónde$\phi_1$y$\phi_2$son las proyecciones estereográficas desde el polo norte y sur respectivamente.
El mapa de transición$\phi_2\circ\phi_1^{-1}:\phi_1(S^n\setminus\{S,N\})=\mathbb{R}^n\setminus\{0\}\to\phi_2(S^n\setminus\{S,N\})=\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$está dada por la inversión$\rho$a través de la esfera unitaria en$\mathbb{R}^n$, es decir$\phi_2\circ\phi_1^{-1}(x)=\rho(x)=|x|^{-2}x$.

En consecuencia, el espacio tangente$TS^n$tiene un atlas que consta de las dos cartas$(U_1\times\mathbb{R}^n,T\phi_1)$y$(U_2\times\mathbb{R}^n,T\phi_2)$, y el mapa de transición$(T\phi_1)\circ(T\phi_1)^{-1}$es$T\rho$.

Entonces el campo vectorial$v$en$S^n$se le da un par ordenado de mapas$v_1,v_2:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$tal que$v_2(\rho(x))=(T_x\rho)v_1(x)$para todos$x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$.

Lo que quieres es un mapa suave.$v_1:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$tal que:

1. $x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}\to (T_{\rho(x)}\rho)v_1(\rho(x))\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$se extiende a un mapa suave definido en todos$\mathbb{R}^n$y desapareciendo en$0$.

tomemos$v_1(x)=f(|x|)v^0$dónde$v^0$es un vector distinto de cero y$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+$una función suave. La condición (1) se convierte en:

1. $x\in\mathbb{R}_+\to f(x^{-1})(T_{\rho(x)}\rho)v^0)\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$se extiende a un mapa suave que se desvanece en$0\in\mathbb{R}$ps

Porque$x\in\mathbb{R}_+\to x^{-1}\in\mathbb{R}_+$junto con todas sus derivadas diverge polinomialmente como$x$va a$0$es necesario para nosotros que$f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$, es decir$f$disminuye rápidamente en el infinito. Por ejemplo podríamos tomar$f(x)=e^{-x^2}$

Editar después de la respuesta de Luca La introducción de$f$es redundante
por la definición$\rho(x)=|x|^{-2}x$obtenemos los componentes de$T_{\rho(x)}\rho\equiv(D\rho)(\rho(x))$son polinomios homogéneos de segundo grado en las componentes de$x$.

Entonces la condición 1 se cumple en particular tomando$v^0$constante no cero como en la respuesta de Luca.