Matrices Yukawa

Sí, los valores de las masas son números reales positivos. Recuerda cómo los encuentras a partir de la matriz compleja Y .

Tenga en cuenta primero que$Y Y^\dagger$es hermítica y tiene valores propios positivos, por lo que se puede escribir como

$$Y Y^\dagger = U D ^2 U^\dagger$$ para alguna U unitaria y D real diagonal sin entradas cero, por simplicidad.

Toma las raíces cuadradas positivas. Definir la matriz hermítica

$$H = UD U^\dagger ~~~~\leadsto ~~~ H^2= UD^2 U^\dagger ,\\ H^{-1}= U D^{-1} U^\dagger.$$ Definir la matriz unitaria $$S\equiv H^{-1} Y ~~~ \leadsto ~~~ Y=H S, \\ Y= U D U^\dagger S\\ \equiv U D K^\dagger ,$$ donde K es unitario. Si no hubiéramos tomado las raíces positivas de la diagonal D , podríamos hacerla positiva incorporando los signos negativos de la diagonal en$K^\dagger \equiv U^\dagger S$preservando su unitaridad.

Así que Y ha sido bidiagonalizado a una diagonal positiva real D , ahora identificada con seguridad con una diagonal M. Ahora está listo para aplicar U o K , el contiguo a los componentes del fermión quiral izquierdo, para producir la matriz CKM.

Tenga en cuenta la siguiente expresión complementaria de la primera ecuación, útil para identificar K ,

$$Y^\dagger Y = K D^2 K^\dagger .$$

Para valores propios cero, consulte Descomposición de valores singulares .