Idea de grupo de cobertura

Genial, importante pregunta. Aquí está la lógica básica:

1. Comenzamos con el teorema de Wigner, que nos dice que una transformación de simetría en un sistema cuántico se puede escribir, hasta la fase, como un operador unitario o antiunitario en el espacio de Hilbert.$\mathcal H$del sistema.

2. De ello se deduce que si queremos representar un grupo de Lie$G$de simetrías de un sistema mediante transformaciones en el espacio de Hilbert, entonces debemos hacerlo con una representación proyectiva unitaria del grupo de Lie$G$. La parte proyectiva proviene del hecho de que las transformaciones son unitarias o antiunitarias "hasta la fase", es decir, representamos tales simetrías con un mapeo$U:G\to \mathscr U(\mathcal H)$tal que para cada$g_1,g_2\in G$, existe una fase$c(g_1, g_2)$tal que

   $$\begin{align} U(g_1g_2) = c(g_1, g_2) U(g_1) U(g_2) \end{align}$$ dónde$\mathscr U(\mathcal H)$es el grupo de operadores unitarios en$\mathcal H$. En otras palabras, una representación unitaria proyectiva es solo una representación unitaria ordinaria con un factor de fase adicional que evita que sea un homomorfismo honesto.

3. Trabajar con representaciones proyectivas no es tan fácil como trabajar con representaciones ordinarias, ya que tienen el molesto factor de fase$c$, por lo que tratamos de buscar formas de evitarlos. En algunos casos, esto se puede lograr observando que las representaciones proyectivas de un grupo$G$son equivalentes a las representaciones ordinarias de$G'$su grupo de cobertura universal , y en este caso, por lo tanto, elegimos examinar las representaciones de la cobertura universal en su lugar.

4. En el caso de$\mathrm{SO}(3)$, el grupo de rotaciones, notamos que su cubierta universal, que a menudo se llama$\mathrm{Spin}(3)$, es isomorfo a$\mathrm{SU}(2)$, y que las representaciones proyectivas de$\mathrm{SO}(3)$coincidir con las representaciones ordinarias de$\mathrm{SU}(2)$, por lo que elegimos examinar las representaciones ordinarias de$\mathrm{SU}(2)$ya que es más conveniente.

Todo esto es muy importante físicamente. Si sólo hubiéramos considerado las representaciones ordinarias de$\mathrm{SO}(3)$, entonces nos habríamos perdido las representaciones de "espín medio entero", es decir, aquellas que surgen cuando se consideran rotaciones en sistemas fermiónicos. Entonces, debemos tener cuidado de considerar representaciones proyectivas, y esto naturalmente lleva a buscar la cobertura universal.

Nota : Lo mismo sucede con el grupo de Lorentz en las teorías cuánticas relativistas. Consideramos representaciones proyectivas de$\mathrm{SO}(3,1)$porque Wigner dice que debemos hacerlo, y esto naturalmente nos lleva a considerar su cubierta universal$\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$.

Después de las respuestas de joshphysics y user37496, me parece que queda una última observación.

En mi opinión, la relevancia cuántica del grupo de Lie que cubre universalmente se debe (también) a un teorema fundamental de Nelson. Ese teorema relaciona álgebras de Lie de operadores simétricos con representaciones unitarias de un determinado grupo de Lie generado por esos operadores. El grupo de Lie involucrado, en esta discusión, es siempre una cobertura universal.

En las teorías cuánticas, a menudo se encuentran un conjunto de operadores$\{A_i\}_{i=1,\ldots, N}$en un espacio común de Hilbert${\cal H}$tal que:

(1) Son simétricos (es decir, definidos en un dominio denso$D(A_i)\subset {\cal H}$dónde$\langle A\psi|\phi\rangle = \langle \psi|A\phi\rangle$)

y

(2) disfrutan de las relaciones de conmutación de algún álgebra de Lie$\ell$:

Como es sabido, dada un álgebra de Lie abstracta$\ell$hay (hasta los isomorfismos del grupo de Lie) un único grupo de Lie simplemente conectado${\cal G}_\ell$tal que su álgebra de Lie coincida con$\ell$.${\cal G}_\ell$resulta ser la cobertura universal de todos los demás grupos de Lie cuyo álgebra de Lie es$\ell$sí mismo.

Todos esos grupos, en una vecindad de la identidad son isomorfos a una vecindad correspondiente de la identidad de${\cal G}_\ell$. (Como ejemplo, solo considere el simplemente conectado$SU(2)$esa es la cubierta universal de$SO(3)$) de modo que comparten el mismo álgebra de Lie y son localmente idénticos y las diferencias surgen lejos del elemento neutro.

Si (1) y (2) se cumplen, la pregunta natural es:

¿Existe una representación unitaria fuertemente continua?${\cal G} \ni g \mapsto U_g$de algún grupo de mentiras$\cal G$solo admitiendo$\ell$como su álgebra de Lie, tal que

Dónde$t\mapsto g_i(t)$es el subgrupo de Lie de un parámetro de$\cal G$generado por (el elemento$a_i$de$\ell$correspondiente a)$A_i$y$\overline{A_i}$es una extensión autoadjunta de$A_i$.

Si es el caso,$\cal G$es un grupo de simetría continua para el sistema físico considerado, los operadores autoadjuntos$\overline{A_i}$representan observables físicamente relevantes. Si la evolución temporal se incluye en el centro del grupo (es decir, el hamiltoniano es una combinación lineal del$A_i$s y conmuta con cada uno de ellos) todos estos observables son cantidades conservadas . De lo contrario, la situación es un poco más complicada, sin embargo, se pueden definir cantidades conservadas paramétricamente en función del tiempo y pertenecientes al álgebra de Lie de la representación (piense en los generadores de impulso cuando$\cal G$es$SL(2,\mathbb C)$).

Bueno, el teorema fundamental de Nelson tiene el siguiente enunciado.

TEOREMA (Nelson)

Considere un conjunto de operadores$\{A_i\}_{i=1,\ldots, N}$en un espacio común de Hilbert${\cal H}$satisfaciendo (1) y (2) arriba. Si${\cal D}$en (2) es un subespacio denso tal que el operador simétrico

(a) Cada$A_i$es esencialmente autoadjunto en$\cal D$,

y

(b) existe una representación unitaria fuertemente continua en$\cal H$del único grupo de mentira simplemente conectado${\cal G}_\ell$admitiendo$\ell$como álgebra de Lie, completamente definida por los requisitos:

Nótese que la representación es automáticamente unitaria y no unitaria proyectiva: No aparecen fases molestas.

El ejemplo más simple es el de los operadores.$J_x,J_y,J_z$. Es fácil probar que$J^2$es esencialmente autoadjunto en el conjunto generado por vectores$|j,m, n\rangle$. El punto es que uno obtiene de esta manera representaciones unitarias de$SU(2)$y no$SO(3)$, ya que el primero es el único grupo de Lie simplemente conexo que admite el álgebra de$J_k$como su propio álgebra de Lie.

Como otra aplicación, considere$X$y$P$definido en${\cal S}(\mathbb R)$como siempre. Los tres operadores simétricos$I,X,P$disfruta del álgebra de Lie del grupo de Lie de Weyl-Heisenberg. Es más$\Delta = X^2+P^2 +I^2$es esencialmente auto adjunto en${\cal S}(\mathbb R)$, porque admite un conjunto denso de vectores analíticos (las combinaciones lineales finitas de estados propios del oscilador armónico estándar). Por lo tanto, estos operadores admiten extensiones autoadjuntas únicas y son generadores de una representación unitaria del grupo de Lie de Weyl-Heisenberg (simplemente conectado). Este ejemplo vale también reemplazando$L^2$con otro espacio genérico de Hilbert$\cal H$y$X,P$con operadores verificando CCR en un dominio invariante denso donde$X^2+P^2$(y por tanto también$X^2+P^2 +I^2$) es esencialmente autoadjunto. Es posible probar que la existencia del representante unitario del grupo de Lie de Weyl-Heisenberg, si el espacio es irreducible, establece la existencia de un operador unitario a partir de${\cal H}$a$L^2$transformando$X$y$P$en los operadores estándar. Siguiendo este camino, se construye una prueba alternativa del teorema de Stone-von Neumann.

Como último comentario, recalco que normalmente${\cal G}_\ell$no es el grupo actuando en el espacio físico y este hecho puede crear algún problema: Piensa en$SO(3)$ese es el grupo de rotaciones que a uno le gustaría representar a nivel cuántico, mientras que termina con una representación unitaria de$SU(2) \neq SO(3)$. Por lo general, nada demasiado terrible surge de esta manera, ya que la única consecuencia es la aparición de fases molestas como explica Josh, y las fases en general no afectan los estados. Sin embargo, a veces se produce algún desastre: por ejemplo, un sistema físico no puede asumir estados cuánticos que sean superposiciones coherentes de espín entero y semientero . De lo contrario , se produciría una fase interna después de una$2\pi$rotación. Lo que se hace en estos casos es justamente prohibir estas desafortunadas superposiciones. Esta es una de las formas posibles de realizar reglas de superselección .

Me gustaría agregar a la respuesta de Josh, porque realmente no explicó qué es un grupo de cobertura universal. Esencialmente, un espacio$T$es un espacio que cubre otro espacio$U$si, para un subconjunto abierto de$U$, hay una función$f$que mapea una unión de subconjuntos abiertos disjuntos de$T$al subconjunto de$U$. O, dicho de forma más sencilla, elige una parte de tu espacio$U$, y te encontraré un número de diferentes piezas de$T$que tienen una función mapeándolos en la pieza de$U$. En el caso de$T = Spin(3)$y$U = SO(3)$, hay dos subconjuntos disjuntos de$Spin(3)$para cada subconjunto de$SO(3)$, entonces decimos que$Spin(3) \cong SU(2)$es la doble portada de$SO(3)$.

Ahora, la forma en que esto se relaciona con los bosones y fermiones es donde entra la respuesta de Josh. Queremos que los estados físicos vivan en espacios vectoriales que lleven representaciones (proyectivas) de nuestros grupos de simetría. La parte "proyectiva" significa que nuestros estados pueden tomar una fase cuando se transforman en otros estados, por ejemplo, si gira un estado de giro 1/2 360$^{\circ}$, el estado recoge un signo menos. Resulta que, al menos en el caso de$SO(3)$, podemos eliminar la necesidad de la parte "proyectiva" de esto, y por lo tanto esos molestos signos menos, considerando en su lugar representaciones del espacio que cubre.