¿Cómo se resuelve la paradoja clásica de los gemelos?

Para entender esta paradoja es mejor olvidarse de todo lo que se sabe (incluso de SR) porque todo eso solo genera confusión y comenzar con unos pocos conceptos simples.

El primero de ellos es que el espacio-tiempo lleva una métrica que te dice cómo medir la distancia y el tiempo. En el caso de SR esta métrica es extremadamente simple y es posible introducir simples$x$,$t$coordenadas (trabajaré en 1+1 y$c = 1$) en el que el intervalo de espacio-tiempo se ve así

Veamos cómo funciona esto en este simple garabato que armé.

La dirección vertical es similar al tiempo y la horizontal es similar al espacio. Por ejemplo, la línea azul tiene "longitud"$ds_1^2 = -20^2 = -400$en las unidades cuadradas de la imagen (nota el signo menos que corresponde a la dirección del tiempo) y cada una de las líneas rojas tiene longitud cero (representan las trayectorias de la luz).

La longitud de la línea verde es$ds_2^2 = -20^2 + 10^2 = -300$. Para calcular los tiempos adecuados a lo largo de esas trayectorias, puede usar$d\tau^2 = -ds^2$. Podemos ver que el viaje llevará al gemelo verde un tiempo propio más corto que al gemelo azul. En otras palabras, el gemelo verde será más joven.

De manera más general, cualquier tipo de ruta curva que pueda imaginar entre la parte superior y la inferior tomará menos tiempo que la ruta azul. Esto se debe a que las geodésicas similares al tiempo (que son simplemente líneas rectas que apuntan hacia arriba en el espacio de Minkowski) entre dos puntos maximizan el tiempo adecuado. Esencialmente, se puede ver que esto surge porque cualquier desviación de la línea recta inducirá contribuciones espaciales innecesarias al intervalo de espacio-tiempo.

Puede ver que no hubo paradoja porque tratamos el problema como lo que realmente era: cálculo del tiempo propio de las trayectorias generales. Tenga en cuenta que esta es la única forma de abordar este tipo de problemas en GR. En SR que son otros enfoques debido a su homogeneidad y planitud y si se hace con cuidado, conducen a los mismos resultados. Es solo que las personas a menudo no son lo suficientemente cuidadosas y eso es lo que lleva a las paradojas. Entonces, en mi opinión, es útil tomar la lección de GR aquí y olvidarse de todos esos cálculos de SR ad-hoc.

Solo para darle una idea de cómo se vería un cálculo de SR: debido a las buenas coordenadas globales, las personas se sienten tentadas a describir también fenómenos distantes (lo que realmente no tiene sentido, la física siempre es solo local). Entonces, el gemelo azul podría decidir calcular la edad del gemelo verde. Esto funcionará bien porque está en el marco de referencia inercial, por lo que llegará al mismo resultado que obtuvimos.

Pero el gemelo verde llegará a extrañas conclusiones. Ambas líneas rectas de su trayectoria funcionarán bien y, si no fuera por el giro, el gemelo azul también tendría que ser más joven desde el punto de vista del gemelo verde. Entonces, el gemelo verde tiene que concluir que el hecho de que el gemelo azul estuviera en un fuerte campo gravitacional (que es equivalente a la aceleración que hace que el gemelo verde gire) lo hace más viejo . Esto da un resultado matemáticamente correcto (si se calcula con cuidado), pero, por supuesto, físicamente es una completa tontería. Simplemente no puede esperar que su aceleración local tenga algún efecto en un observador distante. El punto que debe tomarse aquí (y que GR aclara muy bien) es que nunca debe tratar de hablar sobre objetos distantes.

La "paradoja" de la paradoja de los gemelos es que una visión ingenua del problema sugeriría que la situación debería ser perfectamente simétrica: cada gemelo debería creer que realmente está en reposo, mientras que el otro gemelo es el que se aleja. a alta velocidad luego regresa. Sin embargo, esto es incorrecto porque uno de los dos necesariamente acelera, lo que proporciona un medio para distinguir entre los dos marcos de referencia.

Puede comprender la diferencia en tiempos completamente desde la relatividad especial, sin necesidad de invocar la relatividad general. Puede buscar fácilmente en Google una docena de explicaciones diferentes de cómo funciona, pero la mejor que he visto es probablemente la de An Illustrated Guide to Relativity de Tatsu Takeuchi . Lamentablemente, al estar ilustrado y no en línea, está un poco más allá de mi capacidad de reproducirlo aquí, pero vale la pena echarle un vistazo.

El problema que debe resolverse es que ambos gemelos deberían ver que el reloj del otro se atrasa durante el viaje, pero de alguna manera, el gemelo en movimiento debe terminar viendo pasar menos tiempo que el gemelo Encadenado. La resolución es, más o menos, que en el marco móvil del gemelo en el viaje de regreso, el punto de partida está mucho más atrás en el pasado, por lo que el viaje ha durado más tiempo. Un observador que siempre ha estado en ese marco (por ejemplo, el capitán del transporte interestelar en el que el gemelo está haciendo autostop) diría que el reloj de la Tierra siempre ha sido lento, pero ha estado funcionando durante mucho más tiempo de lo que sugeriría el reloj interno del gemelo. .

Sin embargo, los detalles son algo sutiles, por lo que hay docenas de explicaciones semicontradictorias disponibles a través de Google. Sin embargo, es importante tener en cuenta que no es el caso que la aceleración cause la diferencia entre los relojes (en cuyo caso, es posible que necesite GR para resolverlo). Son las transiciones entre los marcos de referencia las que conducen a la diferencia, no la aceleración en sí misma, y ​​puede obtener una diferencia similar a la paradoja de los gemelos entre los relojes, incluso cuando ambos gemelos experimentan exactamente la misma aceleración, como se muestra en este artículo del American Journal of Physics . .

Carlo Rovelli da una explicación intuitiva de por qué solo se necesita SRT en su nuevo libro "El orden del tiempo" :

¿'En movimiento' en relación a qué? ¿Cómo podemos determinar cuál de los dos objetos se mueve, si el movimiento es solo relativo? Este es un tema que ha confundido a muchos. La respuesta correcta (rara vez dada) es esta: en movimiento con respecto a la única referencia en la que el punto en el espacio donde los dos relojes se separan es el mismo punto en el espacio donde se vuelven a juntar. Sólo hay una única línea recta entre dos eventos en el espacio-tiempo, de A a B: es aquella en la que el tiempo es máximo, y la velocidad relativa a esta línea es la que frena el tiempo. Si los relojes se separan y no se vuelven a unir, no tiene sentido preguntar cuál es rápido y cuál es lento. Si se juntan, se pueden comparar y la velocidad de cada uno se convierte en una noción bien definida.

No necesita invocar GR para explicar la paradoja de los gemelos; solo necesita GR cuando se deben tener en cuenta los efectos asociados con la curvatura del espacio-tiempo.

La paradoja de los gemelos simplemente refleja un hecho sobre la geometría del espacio-tiempo plano, a saber, que el tiempo transcurrido a lo largo de un camino recto entre dos eventos siempre es más largo que el tiempo transcurrido a lo largo de cualquier otro camino. En la clásica paradoja de los gemelos, un gemelo sigue un camino recto entre el principio y el final, mientras que el otro gemelo no lo hace; como resultado, el primer gemelo experimenta un tiempo transcurrido más largo.

La pregunta es: ¿qué quieres decir con "clásico"? Para mí, la paradoja clásica de los gemelos es lo que Einstein llamó la paradoja del reloj, es decir, la versión sin aceleraciones . Y esta paradoja nunca ha sido resuelta.

Si no hay aceleraciones involucradas en la situación, toda la paradoja resulta solo de la simple ecuación para la dilatación del tiempo:

Como podemos ver, solo hay una constante$v$allí, y sin embargo uno de los relojes debe estar dilatado en el tiempo.

Si alguien dice que el viaje espacial requiere la aceleración de una nave espacial, tiene toda la razón. La cuestión es que cualquier dilatación del tiempo debida a la aceleración solo se suma a la dilatación debida a la constante$v$.

Podemos imaginarnos simplemente que ambos gemelos emprenden un viaje espacial en diferentes naves espaciales y viajan en direcciones opuestas. En tal caso, podemos suponer fácilmente que ambos experimentan exactamente las mismas aceleraciones que efectivamente se "cancelan" entre sí. Y, sin embargo, todavía tenemos la paradoja resultante de la dilatación del tiempo entre marcos inerciales. La ecuación anterior sigue siendo válida. Por lo tanto, debemos responder a la pregunta: ¿Cuál de los gemelos es más joven y por qué?

Como puede ver, la introducción de aceleraciones solo enmascara la verdadera paradoja, y no la resuelve. Y quizás por eso nadie resuelve la paradoja con números reales. Porque si realiza cálculos reales, verá de inmediato que necesita agregar la dilatación del tiempo debido a la aceleración a la dilatación del tiempo debido a la constante$v$. Lo que deja el otro aún sin resolver.

Para ilustrar mejor la paradoja clásica, podemos formularla de dos maneras:

1) Si uno de los gemelos realmente envejece debido a la diferencia en constante$v$, entonces se falsifica el axioma de la Relatividad Especial de que no hay marcos de referencia preferentes (inerciales). Porque esto significa que el marco de referencia con el reloj más lento se está moviendo con respecto al otro en términos absolutos. Luego el movimiento es absoluto .

Alguien puede responder a esto que no entiendo SR, lo que nos permite revertir toda la situación, es decir, cambiar los marcos en movimiento y estacionario. Claro, pero luego tenemos la paradoja 2):

2) Si afirmamos que el reloj A es más lento que el reloj B, y también que el reloj B es más lento que el reloj A, entonces no se puede probar que la Relatividad Especial sea cierta. Porque en tal caso, ambos relojes están retrasados ​​entre sí, lo que se reduce a ninguna dilatación real del tiempo . Sin embargo, si hay una diferencia medida, entonces volvemos a la paradoja 1), es decir, se prefiere claramente uno de los marcos y, por lo tanto, demostramos que existe un movimiento absoluto.

Para resumir. No hay solución para la paradoja de los gemelos clásica (estrictamente inercial). Y además, las aceleraciones tampoco resuelven la paradoja, solo la enmascaran.

EDITAR: el profesor Chad Orzel en su respuesta dio este documento como una fuente que afirma que se puede probar la dilatación en SR (sin aceleraciones). Eso es simplemente asombroso, ya que cualquiera puede ver que este documento se basa en un truco mediante el cual los padres de los gemelos viajeros se quedan en la Tierra y ven que hay una distancia igual entre ellos.$γx_0$. Sin embargo: 1) los cálculos de longitud en SR se realizan a partir de los dos marcos de referencia, y no de un tercero, 2) si los gemelos viajan en direcciones opuestas (como en mi experimento mental anterior), siempre puede afirmar que el otro gemelo es más joven, y - lo más importante - 3) este documento muestra la dilatación basada en la velocidad$v$, y, sin embargo, no hay diferencia de velocidad entre los gemelos: viajan en dos cohetes en la misma dirección, habiendo sido acelerados exactamente de la misma manera. La velocidad$v$se mide desde el marco de sus padres, es decir, la Tierra, e incluso el autor admite que decir que la velocidad efectiva entre los gemelos es nula. Ahora, ¿cómo es que un artículo que afirma que la dilatación del tiempo SR entre marcos de referencia es estacionario? entre sí (y no acelerado) ha sido aceptado para su publicación?!?! ¡¿Y cómo es que ha sido presentado aquí como fuente por un profesor?!

(Y si vonjd no encontró este artículo gratuito, podríamos pensar que algún tipo inteligente demostró lo indemostrable. Y si pagué por él, simplemente me engañarían).

AVISO: Cualquier comentario relacionado con esta línea de razonamiento es más que bienvenido.

Esta respuesta proporciona una variación de la respuesta de @ Marek que intenta abordar
la preocupación de @vonjd sobre el observador no inercial (en verde)
que intenta ser considerado "inercial" (en lugar del observador inercial azul).

Primero, como ya han dicho otros, no se necesita la relatividad general para analizar este problema. Relatividad especial capaz de analizar la situación.

Dibujaré un diagrama de espacio-tiempo en papel cuadriculado girado para que podamos calcular más fácilmente el intervalo entre eventos.

El diamante causal de OZ es la intersección del futuro causal de O y el pasado causal de Z. La diagonal temporal OZ tiene una longitud igual a la raíz cuadrada del área en unidades de la cuadrícula, cuyos diamantes se modelan a partir de señales luminosas. trazado por un reloj de luz en reposo en este marco.

Verifiquemos el cálculo de @Marek.

Contando y usando el$(+,-)$-firma,

• el área del diamante OZ es (20)(20)=400. Entonces, la diagonal temporal OZ tiene un tamaño de 20.
• el área del diamante OQ es (15)(5)=75, y de manera similar para QZ.
  Entonces, la línea de mundo inercial por partes OQZ tiene una longitud$2\sqrt{75}\approx 17.32$.

Uno podría argumentar que$OTZ$también es inercial por partes.
Entonces, ¿qué hace$OTZ$inercial y$OQZ$no inercial?

• Cinemáticamente,$OTZ$es inercial porque$O$,$T$, y$Z$son colineales y satisfacen:$\sqrt{AreaOZ}=\sqrt{AreaOT}+\sqrt{AreaTZ}=\sqrt{100}+\sqrt{100}=\sqrt{400}$.
• De hecho, para cualquier evento a lo largo$OZ$, por ejemplo, evento$M$: tenemos
  $\sqrt{AreaOZ}=\sqrt{AreaOM}+\sqrt{AreaMZ}=\sqrt{49}+\sqrt{169}=\sqrt{400}$).
• Sin embargo, por$OQZ$, tenemos$\sqrt{AreaOQ}+\sqrt{AreaQZ}=\sqrt{75}+\sqrt{75}\neq \sqrt{400}$.
  Asi que,$OQZ$es no inercial.

Tenga en cuenta que ninguna transformación de Lorentz puede cambiar estos resultados.

Ya que$v_{OQ}=\frac{1}{2}$, su factor doppler$k=\sqrt{\frac{1+v}{1-v}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$no es racional, por lo que las marcas a lo largo de la diagonal no son fáciles de dibujar.

usando en su lugar$v_{OR}=\frac{3}{5}$, o$v_{OS}=\frac{4}{5}$, que tienen factores doppler racionales ($k=2$y$k=3$, respectivamente), podemos dibujar y contar más fácilmente las marcas a lo largo de sus diagonales.
Estos diamantes son trazados por sus respectivos relojes de luz.

Tenga en cuenta que el área de los diamantes del reloj de luz es invariable, de hecho porque la transformación de impulso tiene determinante 1.
Además, Rational$k$están asociados con triples pitagóricos.

Para un argumento relacionado, vea mis respuestas para
Equivalencia de dos definiciones de tiempo propio en relatividad especial
https://physics.stackexchange.com/questions/553682/twins-paradox-why-is-one-frame-considered-to-be- el marco de
aceleración

Al final, la lección de la Paradoja de los Gemelos es que
"Poder-estar-en-reposo"≠ "Ser inercial".

Para obtener más información sobre este enfoque, consulte mi artículo
"Relatividad en papel cuadriculado girado"
American Journal of Physics 84, 344 (2016);
https://doi.org/10.1119/1.4943251
(primer borrador en: https://arxiv.org/abs/1111.7254 )

El problema es la ruptura de simetría que provoca el gemelo viajero cuando cambia de dirección. Esta ruptura hace que los dos gemelos se distingan entre sí. Antes de que el que viaja cambie de dirección, ambos piensen en su compañero como el más joven (porque el tiempo en su propio sistema es siempre el más rápido posible). Entonces, en mi humilde opinión, esta paradoja no tiene mucho que ver con la relatividad general: la relatividad especial, por supuesto, no puede describir movimientos acelerados, pero lo que realmente importa es que el gemelo retrocede, no cómo acelera, etc.

Es fácil de resolver por la persona en la tierra: eliminó el efecto doppler de la ecuación durante sus observaciones de la nave espacial y observó que el reloj de la nave espacial iba lento, y lo confirmó cuando la nave regresó al puerto. comparando los dos relojes.

La observación según el viajero es algo misteriosa. El viajero mira hacia atrás a la tierra, elimina los efectos doppler y aparentemente ve el tiempo de la tierra corriendo lentamente. Sin apartar la vista de los dos relojes, en algún momento el tiempo eliminado por el efecto doppler en la tierra debe acelerarse y superar al del reloj del viajero. ¿Cuándo sucede esto? - ¿No está esto en contradicción con lo que se nos enseña que se observa?