¿Cómo se usa la definición de observadores en la Relatividad General?

Esta es una pregunta muy interesante. Tienes razón en relatividad general, los observadores no pueden extraer cantidades medibles de una partícula de prueba o comparar información dependiente del marco con otro observador a menos que se encuentren en el mismo punto o se acerquen lo suficiente como para que el espacio-tiempo pueda considerarse, efectivamente, como plano y luego como un Se recupera la situación tipo SR. En relatividad general, la transformación de Lorentz entre dos marcos solo es posible localmente . Esta es una situación bastante diferente que en SR. Y, de hecho, esto limita el papel de la noción de observador en la relatividad general y la cosmología. Esa es la razón por la cual en la relatividad general las cantidades físicas significativas son aquellas que son independientes del observador, como el elemento de línea, el tiempo propio y las otras cantidades tensoriales (el tensor métrico$\bf{g}$, tensor de fuerza electromagnética$\bf{F}$, etc.).

Sin embargo, esta es una situación bastante realista; porque los observadores de la vida real solo pueden medir cantidades físicas localmente. Las cantidades medibles, como la intensidad del campo eléctrico, la intensidad del campo magnético y, en general, el tensor de energía-momento, son cantidades locales. La EFE, redactada de la siguiente forma (en forma componente),$G_{ab}(x)=-\kappa T_{ab}(x)$, solo tiene sentido en un gráfico$(U,x)$; y un gráfico solo proporciona información sobre la región localizada$(U)$en el múltiple.

¿Por qué el observador en SR difiere del observador en GR?

La respuesta es puramente matemática: porque las variedades, en general, no tienen estructura de espacio vectorial. El vector de posición y por lo tanto las coordenadas solo tienen sentido en un espacio vectorial, pero en una variedad el vector de posición pierde su significado. En una variedad general, para hablar de coordenadas necesitamos enfocarnos en una región localizada de la variedad, la carta, isomorfa a$R^d$($d=$dimensión de la variedad). Ahora, SR considera que el espacio-tiempo es minkowskiano, que es, curiosamente, isomorfo a$R^d$, globalmente o como un todo, y por lo tanto tienen una estructura de espacio múltiple y vectorial. Por lo tanto, los observadores en SR pueden establecer coordenadas (o marcos de referencia) que pueden abarcar todo el espacio-tiempo. Como resultado, la transformación de Lorentz entre los marcos de referencia establecidos por dos observadores es válida en todo el espacio-tiempo. Pero en GR, en presencia de la gravedad, el espacio-tiempo es una variedad curva. Por lo tanto, los observadores no pueden establecer marcos de referencia que exploren todo el espacio-tiempo, lo que hace que el papel del observador sea extremadamente local, como dijiste. Como @Emil señaló en el comentario, un observador definitivamente puede transportar en paralelo su espacio tangente (el marco de referencia de los observadores), a la ubicación de otro observador y luego facilitar la transformación de Lorentz o cualquier otra, pero esto no ayuda a la situación, ya que los dos observadores tienen que encontrarse en el mismo punto (¡por eso el transporte!). Por lo tanto, los observadores en GR pueden medir y contar solo las observaciones locales.

Las mediciones de los observadores son locales, pero esto no implica que las inferencias globales sean imposibles.

La clave aquí es la simetría. Si las cantidades que nos interesan siguen un patrón, entonces no es necesario explorar todo el espacio-tiempo, se puede extrapolar un estudio sobre una región local para descubrir la estructura global del espacio-tiempo. Por ejemplo, en cosmología se asume la existencia de seis campos vectoriales de destrucción similares al espacio, lo que esencialmente implica que la distribución de la materia en el universo es homogénea e isotrópica en el espacio, por supuesto a gran escala. Este es el tipo más simple de distribución de materia posible. Debido a la simetría en la métrica, el universo tiene una curvatura espacial constante en todas partes. Ahora bien, cualquier medida local de la curvatura espacial revela la geometría global del espacio-tiempo. A partir de la información del tensor métrico, también se puede averiguar, si es posible,

Cómo usar observadores en GR

El enfoque de GR en el que se utilizan marcos de observación se conoce como formalismo de tétrada o formalismo de Cartan . En cada punto de la variedad curva, es posible construir marcos (vierbein), que consisten en cuatro conjuntos ortonormales de vectores {$e^\alpha_a$} (un vector de tipo temporal y tres de tipo espacial), es decir, es posible construir un paquete de marcos en la variedad. Ahora bien, un observador es, precisamente, una sección lisa en el conjunto de marcos. Una sección en el paquete de tramas es una curva integral del vector temporal ($e^\alpha_0$) campo. Y los tres vectores espaciales unidos a los vectores temporales forman una tríada espacial {$e^\alpha_1,e^\alpha_2,e^\alpha_3$}. Aquí, los índices griegos denotan las coordenadas del gráfico en la variedad y los índices romanos denotan las coordenadas del marco local. En el marco local, la métrica es la métrica minkowskiana ordinaria (planitud local). La relación entre la métrica de la variedad y la métrica del marco es la siguiente,

$$e^\alpha_ae^\beta_bg_{\alpha\beta}=\eta_{ab}$$ Y, $$e^a_\alpha e^b_\beta \eta_{ab}=g_{\alpha \beta}.$$ Así, cualquier cantidad tensorial se puede definir en los marcos o comarcos (secciones en el paquete co-tangente o co-marco), por ejemplo, el tensor métrico se puede expresar en el comarco como, $$g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sum _{{i=1}}^{3}\sigma ^{i}\otimes \sigma ^{i},$$ donde para el vacío de Schwarzschild están los sigmas, $$\sigma^0 = -\sqrt{1-2m/r} \, dt, \; \sigma^1 = \frac{dr}{\sqrt{1-2m/r}}, \; \sigma^2 = r d\theta, \; \sigma^3 = r \sin(\theta) d\phi.$$ Es conveniente cambiar la base de { $e^\alpha_a$} a { $l^\alpha,n^\alpha,m^\alpha,\bar m^\alpha$}, definido como, $$l^\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}(e^\alpha_0+e^\alpha_1),$$ $$n^\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}(e^\alpha_0-e^\alpha_1),$$ $$m^\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}(e^\alpha_2+ie^\alpha_3),$$ y $\bar m^\alpha$es el complejo conjugado de $m^\alpha$. Como estos vectores siguen las siguientes propiedades, $$l^\alpha l_\alpha=n^\alpha n_\alpha=m^\alpha m_\alpha=\bar m^\alpha \bar m_\alpha=0,$$ el conjunto { $l^\alpha,n^\alpha,m^\alpha,\bar m^\alpha$} se llama la tétrada nula. Como la tétrada nula está relacionada con el tensor métrico de la siguiente manera, $$g_{\mu \nu}=l_\mu n_\nu+l_\nu n_\mu-m_\mu \bar m_\nu-m_\nu \bar m_\mu,$$ uno puede usar la tétrada nula para calcular varias cantidades tensoriales en los marcos locales y luego volver a convertirla en la variedad. Por ejemplo, ET Newman y AI Janis ( J. Math. Phys., 6, 915, 1965 ) utilizaron esta técnica para producir una derivación simple de la métrica de Kerr.

VacuuM dio una excelente respuesta, pero diré algunas palabras más para aclarar algunas ideas.

Es un postulado de la física que los observadores inerciales deben medir lo mismo, es decir, si un observador inercial$A$montar un experimento y un observador$B$configurar un experimento idéntico que su resultado debe ser el mismo. En relatividad especial tenemos observadores inerciales globales mientras que en relatividad general tenemos observadores inerciales locales. Veamos por qué.

Supongamos en relatividad especial (espacio plano) un observador$A$lanzar una pelota con velocidad$v$a pared, eso es a distancia$d$en relación con este observador. Si este observador recibe la pelota con velocidad$v'$que otro observador$B$quien hace el mismo experimento en su marco de reposo recibirá la pelota con la misma velocidad$v'$. Ahora, primero, en el espacio-tiempo curvo no podemos tener una pared estática no local en relación con un observador. Estoy dando este ejemplo debido a mi falta de imaginación. Pero suponiendo que podamos tener una pared estática en relación con un observador si estos dos observadores hacen la misma experiencia, la velocidad con la que recibirán la pelota será diferente. Debido a la curvatura del espacio-tiempo si el observador$A$lanzar una pelota con velocidad$v$llegará a la pared con velocidad$v_A$y si el observador$B$lanzar la pelota con la misma velocidad$v$llegará a la pared con una velocidad diferente$V_B$.Además si el observador$A$hace la misma experiencia en un tiempo diferente tendrá un resultado diferente. Entonces tenemos que permanecer localmente para tener un resultado coincidente entre los observadores inerciales.

Creo que la mejor manera de resumir la idea de los observadores utilizados en casi todos los tratamientos de la Relatividad Especial estándar es lo que dice Schutz en su libro de Relatividad General: [...]

Puedo aceptar que esta es una descripción cuantitativa correcta de los tratamientos actualmente disponibles. Pero no puedo aceptar la caracterización de los observadores como la sugieren Schutz (y otros), porque parece negar lo que para mí es un elemento indispensable del discurso de (la parte cinemática geométrica de) la teoría de la relatividad de Einstein y la Relatividad Especial. En particular.

Es decir, considerar observadores identificables individuales adjuntos a (o incluso identificados como) puntos materiales identificables individuales, como lo describe repetida y consistentemente el propio Einstein (por ejemplo, aquí y aquí ):

• cada uno capaz de observar e identificar y reconocer a los demás, ya su vez ser observado y reconocido;

• cada uno capaz de conservar en la memoria las observaciones recopiladas y de determinar qué observaciones él, ella o ello había recopilado en coincidencia, o en qué orden;

al menos en principio, a los efectos de la descripción y comprensión del pensamiento experimental; y más o menos incluso en la práctica.

En cambio, en la Relatividad General las cosas son diferentes.

Aparentemente como lo representan Schutz et al.; pero ciertamente no para la noción de observador como individuo capaz de recolectar y ordenar observaciones.

junto con una base ortonormal

Lo que ante todo plantea la cuestión de cómo un observador individual debe determinar tal base en primer lugar.

[Un observador] no puede describir la línea de tiempo de partículas u otros observadores, ni nada por el estilo. [...]

Seguramente cualquier observador puede (pensar en) observar y reconocer a otros que han observado sus propias indicaciones (señales); y, en consecuencia, señal por señal, determine qué ecos de ping correspondientes se han recibido de vuelta en coincidencia, o en qué orden, o "todavía no en absoluto". Esta capacidad se atribuye a los observadores ya en la presentación inicial de Einstein de SR, 1905.

De las interrelaciones entre tales determinaciones de observadores individuales se siguen descripciones de sus relaciones geométricas colectivas entre sí; como las "redes de coincidencia de ping" descritas aquí .

[...] lo que da sentido a las coordenadas.

La posible aspersión de eventos (o también: de observadores seleccionados, y sus conjuntos ordenados individuales de indicaciones) con tuplas de coordenadas, con el fin de representar las relaciones geométricas entre eventos (o también: para representar las relaciones marco entre los observadores seleccionados) a través de las propiedades topológicas o incluso métricas "naturales" de las tuplas de números reales, es, por supuesto, sólo posterior y secundaria a la determinación de las relaciones geométricas bajo consideración.