Equivalencia de dos definiciones de tiempo propio en relatividad especial

Considere dos eventos relacionados con el tiempo.
Ahora dibuje una línea de tiempo para un observador que visita [estuvo presente en] ambos eventos.
El tiempo adecuado para esa línea de tiempo es el tiempo transcurrido en el reloj de pulsera de ese observador.
En el marco de ese observador, esos eventos están en la misma posición (aquí en el origen).

Para otra línea de tiempo que visite esos dos eventos, se obtiene un tiempo adecuado para esa línea de tiempo, que generalmente es diferente de la primera. (Este es el efecto del reloj.)

Por el contrario, para una línea temporal que no visita uno de los eventos, los dos eventos no están en la misma posición en ese marco. Dado que esta línea de tiempo no visitó ambos eventos, el tiempo transcurrido medido por este observador generalmente no sería [estrictamente hablando] "un tiempo adecuado para una línea de tiempo entre esos dos eventos".

Es posible que haya oído hablar del "intervalo de tiempo adecuado entre dos eventos [cercanos]".
Eso correspondería al tiempo apropiado para la línea de tiempo inercial que visita ambos eventos.

ACTUALIZAR

Un diagrama de espacio-tiempo podría ayudar.
Lo dibujé en papel cuadriculado rotado para ayudarnos a ver y contar las marcas.
A diferencia de las longitudes de los segmentos en este diagrama, las áreas de estos diamantes de reloj de luz son invariantes de Lorentz. Estos diamantes de reloj de luz son trazados por las señales de luz en un reloj de luz estándar que viaja con cada observador.

Como se describe en el enlace de Wikipedia sobre el tiempo adecuado (arriba en el OP), el
"tiempo adecuado" está asociado con una línea temporal , no solo con los eventos de punto final.
El adjetivo "adecuado" es una referencia a "propiedad" o "propiedad" [no "correcto" o "lo contrario de impropio"].
(Minkowski usó "eigenzeit" , que Google Translate traduce como "tiempo propio").

Tiempo de reloj de pulsera (en "Spacetime Physics" de Taylor/Wheeler) o tiempo privado (en "Relativity and Common Sense" de Bondi) pueden ser mejores términos.

A continuación se muestran varias líneas de mundo desde el evento O hasta el evento Z.
Para el observador a lo largo de cada línea de mundo,

• sus relojes siguiendo a lo largo de estas líneas de tiempo visitaron ambos eventos O y Z.
• O y Z están en la misma posición en su cuadro : "aquí en (x,y,z)=(0,0,0)".

Te dejaré contar los diamantes del reloj de luz para determinar el tiempo adecuado a lo largo de cada línea de mundo. Que estos tiempos propios no coincidan todos se llama el "Efecto del Reloj" en relatividad. La línea de mundo con el tiempo propio transcurrido más largo de O a Z es la inercial.

[La "Paradoja de los Gemelos" es el mal uso del principio de la relatividad para
equiparar erróneamente "que se le permita considerarse a uno mismo en reposo" (que todos pueden)
con "que se le permita considerarse a uno mismo como inercial" (solo uno de los cinco arriba es completamente inercial de O a Z).]

ACTUALIZACIÓN 2:

Para abordar la pregunta de Shashaank en la sección de comentarios...

Dejar$P$Sea el evento de cambio en la línea de tiempo violeta (que es una línea de tiempo no inercial aunque inercial por partes).

Considerar$\tilde \tau_{OZ}=\tilde \tau_{OP}+\tilde \tau_{PZ}$, la suma de dos futuros 4-vectores temporales.

Tomando la magnitud cuadrada (usando el producto escalar de Minkowski con el$(+,-,-,-)$firma), obtenemos la ley de los cosenos en el espacio-tiempo de Minkowski (usando el ángulo externo [rapidity] en$P$)

Prefiero pensar en el tiempo propio como la 'distancia' entre los dos eventos en el espacio-tiempo. Considere algún tipo de línea de mundo en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones

$x^\mu = \left(ct, \mathbf{r}\right)^\mu$

Dónde$c$es la velocidad de la luz,$t$es tiempo y$\mathbf{r}$es posición. Definamos algún punto (evento) en esta curva como el 'inicio':$x_0^\mu =\left(ct_0, \mathbf{r}_0\right)$

Considere ahora un evento en la misma línea mundial que está cerca del 'inicio':$x_\delta^\mu =\left(ct_0+c\delta t, \mathbf{r}_0+\delta \mathbf{r}\right)$

¿Cuál es la distancia de cuatro ($\delta s$) entre estos dos eventos? El cuadrado de la distancia es:

$\delta s^2 = c^2\delta t^2-\delta r^2$

Siempre que tratemos con líneas de mundo similares al tiempo (es decir,$\delta s^2 > 0$), uno puede, yendo en pequeños pasos y agregando pequeñas distancias, encontrar la distancia cuatripartita completa entre dos eventos cualesquiera en la línea del mundo. Por lo tanto, es conveniente parametrizar la línea de mundo por esta distancia (también conocida como longitud de arco):

$x^\mu=x^\mu\left(s\right)=\left(ct\left(s\right),\mathbf{r}\left(s\right)\right)^\mu,\quad x^\mu_0=x^\mu\left(0\right)$

Ahora podemos elegir medir la distancia en segundos introduciendo el tiempo adecuado$\tau=s/c$. Eso es todo, no hay relojes involucrados en absoluto. Se trata de la longitud del arco. Y dado que esta longitud de arco es invariante de Lorentz, todos los observadores estarán de acuerdo.

Ahora, si quiere que los relojes regresen, piense en la línea de mundo en el marco de descanso ($\bar{S}$) del observador que se mueve a lo largo de esta línea de mundo. Para ese observador, la línea del mundo será recta y 'vertical' (al menos localmente), es decir, solo a lo largo del eje temporal:

$\bar{x}^\mu\left(s\right)=\left(c\bar{t}\left(s\right),\mathbf{0}\right)^\mu$

Entonces, la distancia entre dos eventos cercanos en esta línea universal es, por definición:

$\delta s^2=c^2\delta \tau^2 = c^2 \delta \bar{t}^2 - 0$

Por eso,$\delta \tau = \delta \bar{t}$es decir, el reloj que lleva el observador del sistema de reposo está midiendo el tiempo adecuado.

Como beneficio adicional, desde aquí es fácil llegar al factor Lorentz. Considere la derivada de la línea universal con respecto a su propia longitud de arco:

$\frac{dx^\mu\left(s\right)}{ds}=c^{-1}\frac{d}{d\tau}\left(ct,\mathbf{r}\right)^\mu$

podemos definir$\frac{dt}{d\tau}=\gamma$como el factor de Lorentz

Entonces:

$\frac{dx^\mu\left(s\right)}{ds}=c^{-1}\gamma\cdot\left(c,\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)^\mu=c^{-1}\gamma\cdot\left(c,\mathbf{v}\right)^\mu$

Dónde$\mathbf{v}$es la velocidad. El paso entre los dos eventos cercanos en la línea del mundo es:

$x^\mu\left(s+\delta s\right)^\mu-x^\mu\left(s\right)^\mu=\delta s\, c^{-1}\gamma\cdot\left(c,\mathbf{v}\right)^\mu$

Claramente, la distancia entre estos dos eventos es$\delta s$, entonces:

$\left|x^\mu\left(s+\delta s\right)^\mu-x^\mu\left(s\right)^\mu\right|^2=\delta s^2 = \delta s ^2 \, c^{-2}\gamma^2 \cdot\left(c^2-v^2\right)$

Por lo tanto:

$\gamma^2=\frac{c^2}{\left(c^2-v^2\right)}$

independientemente de si la línea del mundo es recta o curva.

El tiempo propio se definió originalmente en el tiempo del reloj de pulsera de la persona local. . . y todavía está junto con descripciones adicionales que se ajustan a varias construcciones matemáticas. La simplicidad ayuda.

El primero define el tiempo y el segundo define un intervalo, un intervalo es entre dos eventos, no observadores.