Diff(M) como grupo gauge y observables locales en teorías con gravedad

En el nivel de la teoría de la representación, el grupo de difeomorfismos en la relatividad general y sus extensiones juega el mismo papel que las simetrías de Yang-Mills en las teorías de calibre. En ambos casos, se puede definir la acción de la simetría sobre los operadores.

En ambos casos, solo los estados invariantes de calibre (singletes) están permitidos en el espectro físico. Es por eso que la teoría de la representación del grupo de calibre no juega ningún papel en el nivel del espacio de Hilbert: solo los singletes son relevantes. Es por eso que las "simetrías de calibre" siempre reducen el número de grados de libertad independientes y muchas personas prefieren llamarlas "redundancias de calibre" en lugar de "simetrías de calibre".

En ambos casos, la última condición de invariancia de calibre ("los estados físicos son singuletes") debe cumplirse totalmente para las transformaciones que convergen a la identidad en el infinito. En ambos casos, hay sutilezas para las transformaciones que cambian la región asintótica (campos en el infinito espacial). En ambos casos, la invariancia de calibre de los estados físicos surge como la versión cuántica de la ley de Gauss: el subconjunto de las ecuaciones de Maxwell o Einstein que no contienen derivadas temporales y, por lo tanto, pueden considerarse restricciones en el estado inicial en lugar de ecuaciones de evolución. : es el$\mbox{div} D=\rho$ecuación en el caso del electromagnetismo. El operador correspondiente$(\mbox{div} D-\rho)$tiene que aniquilar los estados físicos$|\psi \rangle$en la teoría cuántica (que no es trivial si la teoría cuántica se formula en términos de los campos redundantes, los potenciales de calibre). Existe una analogía total para las ecuaciones de Einstein (la curvatura extrínseca en el corte entra en la restricción).

La diferencia entre los dos grupos de indicadores está solo en los "detalles": cómo actúan en el espacio-tiempo.

Las transformaciones de Yang-Mills son locales, por lo que$\phi(x,y,z,t)$solo cambios por otros campos en el mismo punto$(x,y,z,t)$: imagine una transformación de fase de un campo cargado$\phi$, por ejemplo. En el caso del difeomorfismo, el cambio no es local: el campo en un punto depende de los campos en otro punto$(x',y',z',t')$antes de la transformación.

Esta diferencia técnica cambia el carácter de los observables invariantes de calibre, y solo los observables invariantes de calibre pueden corresponder a números que tienen un sentido físico y pueden medirse. Debido a que las transformaciones de calibre en la teoría de calibre son locales, se pueden construir operadores locales invariantes de calibre como$\mbox{Tr}(F_{\mu\nu} (x,y,z,t)F^{\mu\nu}(x,y,z,t))$, para elegir un ejemplo aleatorio.

En el caso de la relatividad general, tales cantidades no son invariantes de calibre porque, por ejemplo, el escalar de Ricci$R(x,y,z,t)$se transforma al escalar de Ricci en otro punto$R(x',y',z',t')$, por lo que incluso el escalar de Ricci en un punto dado no es invariante de calibre. Para construir observables de calibre invariante en la relatividad general, uno tiene que ser sensible a, por ejemplo, integrar sobre todo el espacio (o espacio-tiempo). Por ejemplo, la energía ADM es invariante de calibre en fondos asintóticamente planos.

Un aparato físico que existe en una teoría gravitacional no está representado por ningún observable local, en el sentido técnico de "local", porque su ubicación no es una cantidad invariante de calibre. Si tiene un dispositivo pequeño cerca de$(x,y,z,t)=(0,0,0,0)$, sus resultados medidos pueden expresarse como un funcional de los campos en la vecindad de$(0,0,0,0)$. Sin embargo, eso solo es cierto en un sistema de coordenadas. En otras palabras, solo es cierto antes de realizar una transformación de indicador general. Después de la transformación de calibre, la forma del observable correspondiente a la cantidad medida por el aparato se expresa mediante una fórmula diferente que involucra los campos físicos: la nueva fórmula depende de campos en diferentes valores de$(x,y,z,t)$.

Usted puede "saber" que$(0,0,0,0)$es "físicamente" el mismo punto que$(7,2,-3,5)$en algunas coordenadas nuevas pero las matemáticas no lo saben: la forma de la expresión se cambia para que la cantidad no sea invariante de calibre. De la misma manera, podría afirmar que sabe que un "campo de quarks rojo" antes del$SU(3)$la transformación es "físicamente" lo mismo que un "campo de quarks verdes" después de la transformación, porque también conoces la transformación. Pero exactamente porque la forma del campo que corresponde a la "misma cosa física" depende de la transformación, decimos que los campos coloridos en QCD - y los operadores locales en GR - no son invariantes de calibre.

Puede identificar la ubicación del dispositivo definiendo sus distancias adecuadas desde$d-1=3$puntos A, B, C en "infinito" o "lo suficientemente lejos" donde ya requiere que las transformaciones de calibre legítimas (redefiniciones de coordenadas) sean triviales. Pero el cálculo del punto -y de los campos en este punto- dependerá del tensor métrico entre el aparato y los puntos A,B,C. Entonces, la definición de los observables que representan los valores medidos por el aparato es manifiesta e inevitablemente no local.

Nuevamente, no hay observables invariantes de calibre en una teoría con una simetría de reparametrización coordinada. Afirmo que el texto anterior lo deja totalmente claro, pero si no está claro, escriba algo que crea que es una cantidad local invariante de calibre, como una función de los grados básicos de libertad, en una teoría con la covarianza general y Le mostraré por qué no es una cantidad local invariante de calibre. No hay ninguno.