¿La simetría de calibre no es una simetría?

En orden:

1. Porque el término "simetría de calibre" es anterior a QFT. Fue acuñado por Weyl, en un intento de extender la relatividad general. Al configurar GR, uno podría comenzar con la idea de que no se pueden comparar vectores tangentes en diferentes puntos del espacio-tiempo sin especificar un transporte/conexión paralelo; Weyl trató de extender esto para incluir el tamaño, de ahí el nombre "calibre". En lenguaje moderno, creó una teoría de campo clásica de un$\mathbb{R}$-Teoría del calibre. Porque$\mathbb{R}$es localmente lo mismo que$U(1)$esto dio las ecuaciones de movimiento clásicas correctas para la electrodinámica (es decir, las ecuaciones de Maxwell). Como veremos más adelante, en el nivel clásico, no hay diferencia entre la simetría de calibre y las simetrías "reales".

2. Sí. De hecho, un truco que se usa con frecuencia es introducir tal simetría para lidiar con las restricciones. Especialmente en temas como la teoría de la materia condensada, donde nada es tan especial como para creer que es fundamental, a menudo se introducen más grados de libertad y luego se "pegan" con campos de calibre. En particular, en la teoría del modelo de acoplamiento fuerte/Hubbard de alta$T_c$superconductores, una forma de lidiar con la restricción de que no haya más de un electrón por sitio (sin importar el espín) es introducir espinones (fermiones) y holones (bosones) y un campo de calibre no abeliano, de modo que realmente el bajo la dinámica de la energía está confinada --- reproduciendo así el electrón físico; pero luego uno puede ir y buscar fases desconfinadas y preguntar si son útiles. Este es otro documento de revisión en sí mismo. (Términos de Google: "teoría del calibre de patrick lee alto tc".)

3. Es necesario distinguir entre fuerzas y campos/grados de libertad. Las fuerzas son, en el mejor de los casos, una ilusión de todos modos. Sin embargo, los grados de libertad realmente importan. En mecánica cuántica, uno puede ser muy preciso acerca de la diferencia. dos estados$\left|a\right\rangle$y$\left|b\right\rangle$son "simétricos" si hay un operador unitario$U$S t

   $$U\left|a\right\rangle = \left|b\right\rangle$$ y $$\left\langle a|A|a\right\rangle =\left\langle b|A|b\right\rangle$$ dónde$A$es cualquier observable físico. Las simetrías de "calibre" son aquellas en las que decidimos etiquetar el mismo estado$\left|\psi\right\rangle$como ambos$a$y$b$. En la mecánica clásica, ambos se representan de la misma manera que las simetrías (discretas o no) de una variedad simpléctica. Por lo tanto, en la mecánica clásica, estos no están separados, porque tanto las simetrías reales como las de calibre conducen a las mismas ecuaciones de movimiento; dicho de otra manera, en un formalismo de integral de ruta solo se nota la diferencia con transformaciones "grandes", y localmente la acción es la misma. Un buen ejemplo de esto es la paradoja de Gibbs de calcular la entropía de mezclar partículas idénticas: uno tiene que introducir a mano un factor de$N!$para evitar el conteo excesivo, esto se debe a que, a nivel cuántico, intercambiar dos partículas es una simetría de calibre. Esta simetría no hace ninguna diferencia en la estructura local (en términos de geometría diferencial), por lo que no se puede observar de forma clásica.

Una cosa general: cuando las personas dicen "teoría de calibre", a menudo se refieren a una versión mucho más restringida de lo que ha sido toda esta discusión. En su mayor parte, se refieren a una teoría en la que la variable de configuración incluye una conexión en alguna variedad. Esta es una versión muy restringida, pero cubre el tipo con el que la gente tiende a trabajar, y de ahí es de donde tienden a provenir términos como "simetría local". Hablando como un físico de materia condensada, tiendo a pensar en ellas como teorías de bucles cerrados (porque la holonomía alrededor de un bucle es "invariante de calibre") o si hay fermiones involucrados, bucles abiertos. Varias fases son entonces condensaciones de estos bucles, etc. (Para referencias, mire "condensación de red de cuerdas" en Google).

Finalmente, la discusión estaría mal sin algunas palabras sobre "romper" la simetría de calibre. Al igual que con la ruptura real de la simetría, esta es una ficción cortés pero útil, y realmente se refiere al hecho de que el estado fundamental no es el vacío ingenuo. La clave es conmutar los límites: si (correctamente) se toma el límite del sistema grande en último lugar (tanto IR como UV), entonces no se puede producir ninguna ruptura de simetría. Sin embargo, es útil tener en cuenta el hecho de que diferentes estados fundamentales simétricos reales están separados en diferentes sectores de superselección y, por lo tanto, trabajan con un espacio de Hilbert reducido de solo uno de ellos; para las simetrías de calibre, se puede volver a hacer la misma superselección de conmutación (cuidadosamente) con fijación de calibre.

La (gran) diferencia entre una teoría de calibre y una teoría con solo simetría rígida se expresa con precisión en el primer y segundo teorema de Noether :

Mientras que en el caso de una simetría rígida, las corrientes correspondientes a los generadores del grupo se conservan sólo como consecuencia de las ecuaciones de movimiento, esto se denomina que se conservan “on-shell”. En el caso de una simetría de calibre continua, las leyes de conservación se vuelven válidas "fuera de la cáscara", es decir, independientemente de las ecuaciones de movimiento. Esto implica, por ejemplo, la conservación de la carga eléctrica independientemente de la ecuación de movimiento.

Ahora, las ecuaciones de la ley de conservación se pueden usar en principio para reducir el número de campos.

El procedimiento es el siguiente:

1. Trabajar sobre el subespacio de las configuraciones de campo que satisfacen las leyes de conservación. Sin embargo, todavía habrá simetrías de calibre residuales en este subespacio. Para deshacerse de ellos:

2. Seleccione una condición de fijación de calibre para cada ley de conservación.

Esto reducirá el "número de componentes de campo" en dos por cada simetría de calibre. Sin embargo, la implementación de este procedimiento es muy difícil, porque en realidad requiere resolver las leyes de conservación y, además, el espacio reducido de las configuraciones de campo es muy complicado. Esta es la razón por la cual este procedimiento rara vez se implementa y se utilizan otras técnicas como BRST.

1) ¿Por qué se llama simetría si no es una simetría? ¿Qué pasa con el teorema de Noether en este caso? y los grupos de calibre U(1)...etc?

La simetría de calibre es una simetría local en la teoría de campos CLÁSICA. Esta puede ser la razón por la cual la gente llama a la simetría de calibre una simetría local. Pero sabemos que nuestro mundo es cuántico. En los sistemas cuánticos, la simetría de calibre no es una simetría, en el sentido de que la transformación de calibre no cambia ningún estado cuántico y es una transformación que no hace nada. El teorema de Noether es una noción de la teoría clásica. La teoría de calibre cuántico (cuando se describe mediante el espacio físico de Hilbert y el hamiltoniano) no tiene el teorema de Noether.

Dado que la simetría de calibre no es una simetría, el grupo de calibre no significa demasiado, en el sentido de que dos grupos de calibre diferentes a veces pueden describir la misma teoría física. por ejemplo, el$Z_2$Teoría de calibre es equivalente a la siguiente$U(1)\times U(1)$Teoría de calibre de Chern-Simons:

Dado que la transformación de calibre es una transformación que no hace nada y el grupo de calibre no es físico, es mejor describir la teoría de calibre sin usar el grupo de calibre y la transformación de calibre relacionada. Esto se ha logrado mediante la teoría de la red de cuerdas . Aunque la teoría de la red de cuerdas se desarrolla para describir el orden topológico, también se puede ver como una descripción de la teoría de calibre sin usar un grupo de calibre.

El estudio del orden topológico (o entrelazamientos de largo alcance) muestra que si un modelo bosónico tiene un estado fundamental entrelazado de largo alcance, entonces la teoría efectiva de baja energía debe ser algún tipo de teoría de calibre. Entonces, la teoría de calibre efectivo de baja energía es en realidad un reflejo de los enredos de largo alcance en el estado fundamental.

Entonces, en la física de la materia condensada, la teoría de calibre no está relacionada con la geometría o la curvatura. La teoría de calibre está directamente relacionada y es una consecuencia de los enredos de largo alcance en el estado fundamental. Entonces, tal vez la teoría de calibre en nuestro vacío también sea un reflejo directo de los enredos de largo alcance en el vacío .

2) ¿Significa eso, en principio, que uno puede medir cualquier teoría (simplemente introduciendo los falsos grados de libertad apropiados)?

Sí, uno puede reescribir cualquier teoría como una teoría de calibre de cualquier grupo de calibre. Sin embargo, tal teoría de calibre generalmente se encuentra en la fase confinada y la teoría efectiva a baja energía no es una teoría de calibre.

También vea una discusión relacionada: ¿Comprender el teorema de Elitzur a partir del argumento simple de Polyakov?

Cuando se habla de simetría, siempre se debe indicar: ¿simetría de qué?

Si mido la longitud de un palo en pulgadas y luego en centímetros, es decir, en diferentes calibres, entonces obtengo dos respuestas diferentes, aunque el palo sea el mismo en ambos casos. De manera similar, cuando mido la fase de una onda sinusoidal con dos relojes que tienen fases diferentes, obtengo dos fases diferentes y los cambios de fase forman el grupo U(1). En el primer ejemplo, la vara es invariable ante el cambio de calibre de centímetros a pulgadas, pero esto no tiene nada que ver con la simetría física de la vara. El teorema de Noether tiene que ver con simetrías del Lagrangiano. Por ejemplo, si el Lagrangiano tiene simetría esférica, entonces se conserva el momento angular total. El teorema de Noether obviamente también se aplica a los sistemas cuánticos. Un cambio de calibre no es una transformación física, eso es todo. En la teoría cuántica de campos se comienza con un Lagrangiano simple (p. ej. Dirac Lagrangian), y luego lo cambia para que se vuelva invariante bajo cambios locales de calibre, es decir, luego cambia la derivada en la ecuación de Dirac en una D que tiene un "campo de calibre": para hacer que esto suene críptico, entonces uno dice que "la invariancia de calibre local ha generado un campo de calibre", aunque esto no es cierto. La imposición de la invariancia de calibre local simplemente impone una restricción sobre qué tipo de lagrangianos se pueden escribir. Es similar a exigir que una función F(z) sea analítica en el plano complejo, esto también tiene serias consecuencias.

La simetría de calibre impone leyes de conservación locales, que se denominan identidades de Ward en QED e identidades de Slavnov-Taylor para teorías de calibre no abelianas. Esas identidades relacionan amplitudes o las limitan.

Un ejemplo de esas restricciones impuestas por la simetría de calibre es la transversalidad de la polarización del vacío. Para ser más precisos, la simetría de calibre no permite un término de masa para un fotón en el Lagrangiano. Sin embargo, esto podría desarrollarse a través de fluctuaciones cuánticas. Esto no está sucediendo debido a la identidad de Ward que impone la transversalidad de la polarización del vacío de fotones. Otro ejemplo es la relación entre el propagador de fermiones y el vértice básico en QED. Garantiza la ausencia de fotones longitudinales.

La idea es, por lo tanto, que la simetría de calibre impone una especie de teorema de Noether, pero de una manera mucho más refinada. Aparece al nivel de las correcciones cuánticas y las limita. Estas relaciones son, además, locales. Se convierten en una especie de versión local del teorema de Noether.