Grandes transformaciones de calibre para campos de calibre de forma p más altos

Question

Grandes transformaciones de calibre para campos de calibre de forma p más altos

Física
teoría de calibre
nivel de investigación
teoría cuántica de campos
teoría topológica del campo

maravilloso

Pregunta: ¿Cuáles son las grandes transformaciones de calibre para un campo de calibre de forma p más alto en un toro espacial d-dimensional? $T^d$ o un colector genérico (compacto) $M$ ? para p=1,2,3, etc. o cualquier otro número entero. ¿Hay un grupo de homotopía para etiquetar distintas clases de transformaciones de calibre grande para el campo de calibre de forma p en $d$ -toro dimensional $T^d$ o cualquier $M$ múltiple? (¿Debemos suponer que la teoría es una teoría de campo topológica, o no es necesaria?) Las referencias son bienvenidas.

Antecedentes: La transformación de gran calibre ha sido de ciertos intereses. El Wiki lo presenta como

Dado un espacio topológico M, un grupo topológico G y un paquete G principal sobre M, una sección global de ese paquete principal es una fijación de calibre y el proceso de reemplazar una sección por otra es una transformación de calibre. Si una transformación de calibre no es homotópica con respecto a la identidad, se denomina transformación de calibre grande. En física teórica, M suele ser una variedad y G es un grupo de Lie.

1-forma: El ejemplo bien conocido es una conexión $A$ como valor de álgebra de Lie de 1 forma. Tenemos la transformación de calibre finito.

A \to gramo (A + d) {gramo}^{- 1}

$A \to g(A+d)g^{-1}$ Un ejemplo de una transformación de gran calibre de una teoría de Chern-Simons de tipo Schwarz,

\int A \land d A

$\int A \wedge dA$ , en 2 dimensiones

T^{2}

$T^2$ toro del tamaño

L_{1} \times L_{2}

$L_1 \times L_2$ con coordenadas espaciales

(x_{1}, x_{2})

$(x_1,x_2)$ puede ser

g = \exp [i 2 π (\frac{n_{1} x_{1}}{L_{1}} + \frac{n_{2} x_{2}}{L_{2}})]

$g=\exp[i 2\pi(\frac{n_1 x_1}{L_1}+\frac{n_2 x_2}{L_2})]$ . De esta forma, para el perfil de ancho constante

(a_{1} (t), a_{2} (t))

$(a_1(t),a_2(t))$ (respeto constante al espacio, satisfaciendo EOM

d A = 0

$dA=0$ ), la transformación de calibre grande identifica:

(a_{1}, a_{2}) \to (a_{1}, a_{2}) + 2 π (\frac{{norte}_{1}}{L_{1}}, \frac{{norte}_{2}}{L_{2}})

$(a_1,a_2)\to (a_1,a_2)+2\pi (\frac{n_1}{L_1},\frac{n_2 }{L_2})$

Esto parece los dos $\mathbb{Z}^2$ índices enteros $(n_1,n_2)$ recuérdame el grupo de homotopía: $\pi_1(T^2)=\pi_1(S^1\times S^1)=\mathbb{Z}^2$ .

2-form: Si consideramos un 2-form $B$ campo para un TQFT de tipo Schwarz, ¿tenemos la identificación por $\pi_2(M)$ sobre el $M$ como la variedad basada? (Tenga en cuenta que $\pi_2(T^d)=0$ - pd. del hecho matemático de que $\pi_2(G)=0$ para cualquier grupo de Lie conectado compacto $G$ .) ¿Es esta la descripción correcta del grupo de homotopía? ¿Cómo funciona la transformación de calibre grande en $T^d$ o $M$ ?

Forma 3: ¿hay una descripción del grupo de homotopía en la transformación de calibre grande? ¿Cómo se transforma su gran calibre en $T^d$ o $M$ ?

Respuestas (1)

Grandes transformaciones de calibre para campos de calibre de forma p más altos

Julián Chaidez · Answer 1

El marco matemático con el que estoy familiarizado para la teoría de calibre abeliana en forma de p (la promovida por Freed, Moore y otros) es el de las formas diferenciales de Cheeger-Simons. En este marco, el espacio de campos de calibre topológicamente triviales en forma de p sobre una variedad $X$ (el análogo de los campos de calibre de 1 forma en el trivial $U(1)$ paquete) se identifican con el cociente de $\Omega^p(X)$ por el grupo de transformación de calibre $\Omega^p_{\mathbb{Z}}(X)$ . $\Omega^p_{\mathbb{Z}}(X)$ denota el conjunto de $p$ -formas con valores enteros cuando se integran a lo largo de cualquier cerrado $p$ subvariedad dimensional $\Sigma \subset M$ . En el $p = 1$ caso, $\Omega^1_{\mathbb{Z}}(X)$ es precisamente el espacio de todo cerrado $1$ -formas de la forma $dg g^{-1}$ para alguna transformación de calibre $g:X \to U(1)$ . Para más detalles, recomiendo este artículo de Belov y Moore, particularmente p. 17-19.

En este marco, existe una noción de grandes transformaciones de calibre para campos de calibre en forma de p. En el caso de 1 forma, las transformaciones de calibre $g(x)$ que no están conectados con la identidad son precisamente aquellos $g(x)$ tal que $dg g^{-1}$ tiene un valor distinto de cero cuando se integra alrededor de un circuito cerrado no contráctil $\gamma$ . En el lenguaje anterior, podemos decir que los componentes conectados del espacio $\Omega^p_{\mathbb{Z}}(X)$ corresponden a las $H^p(X;\mathbb{Z})/\text{torsion}$ (a través del mapa que envía el $p$ -formas a su clase de-Rham) y que las grandes transformaciones de calibre se encuentran en los componentes que no se envían a $0$ por este mapa.

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maravilloso

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Julián Chaidez

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