Invariancia de calibre para observables de potencial electromagnético en forma de función de prueba

Esta es una solicitud de referencia para una relación en la teoría cuántica de campos entre el potencial electromagnético y el campo electromagnético cuando se presentan en forma de función de prueba.$U(1)$la invariancia de calibre se convierte en una restricción particularmente simple en las funciones de prueba para que los operadores de potencial electromagnético difuso sean observables invariantes de calibre. Esta es una restricción tan simple que creo que debe existir, pero nunca he visto esto en libros de texto o en la literatura, presumiblemente porque en su mayoría no trabajamos con espacios de función de prueba en QFT; en su lugar, usamos distribuciones valoradas por el operador directamente, donde, sin embargo, la fijación de indicadores es una molestia perpetua.

Para la distribución de valor de operador de potencial electromagnético manchada por una función de prueba$f^\rho(x)$en el espacio de Minkowski,$\hat A_f=\int_M \hat A_\rho(x)f^{\rho*}(x)\mathrm{d}^4x$, para ser un observable que es invariante bajo$U(1)$transformaciones de calibre$\hat A_\rho(x)\rightarrow\hat A_\rho(x)-\partial_\rho\alpha(x)$, requerimos que$\int_M \partial_\rho\alpha(x)f^{\rho*}(x)\mathrm{d}^4x$debe ser cero para todas las funciones escalares$\alpha(x)$.

Integrando por partes sobre una región$\Omega$en el espacio de Minkowski, obtenemos, en términos de formas diferenciales,

$$\int_\Omega d\alpha\wedge(\star f^*)=\int_{\partial\Omega}\alpha\wedge(\star f^*)-\int_\Omega \alpha\wedge(d\!\star\! f^*),$$ que será cero para lo suficientemente grande $\Omega$, y por lo tanto para todo el espacio de Minkowski, para cualquier función de prueba suave $f^\rho(x)$que tiene un soporte compacto y está libre de divergencias, $d\!\star\! f=0$. [Si restringimos la función de transformación de calibre $\alpha(x)$no aumentar más rápido que polinomialmente al aumentar la distancia en cualquier dirección, será suficiente para la función de prueba $f^\rho(x)$para ser Schwartz y libre de divergencia.]

Así que hemos probado:

Teorema: El potencial electromagnético manchado$\hat A_f$es un$U(1)$calibre invariante observable si la función de prueba$f^\rho(x)$es suave, de soporte compacto y libre de divergencias.

La condición libre de divergencia en$f^\rho(x)$asegura que el conmutador para los operadores de creación y aniquilación asociados con el potencial electromagnético$\hat A_f=\mathbf{\scriptstyle a}^{\,}_{f^*}+\mathbf{\scriptstyle a}^{\dagger}_f$,

$$[\mathbf{\scriptstyle a}^{\,}_f,\mathbf{\scriptstyle a}^\dagger_g]=-\hbar\int \tilde f^*_\rho(k)\tilde g^\rho(k)2\pi\delta(k_\nu k^\nu)\theta(k_0)\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4},$$ es semidefinido positivo (que es necesario para que podamos construir un espacio de Hilbert de sector vacío), y eso porque $\delta f=\delta g=0$podemos construir, en el espacio de Minkowski, $f=\delta F$, $g=\delta G$, dónde $F$y $G$son potenciales bivectoriales para las funciones de prueba de potencial electromagnético $f$y $g$.

En términos de$F$y$G$, podemos escribir$a^{\,}_F=\mathbf{\scriptstyle a}^{\,}_{\delta F}$,$a_G^\dagger=\mathbf{\scriptstyle a}^\dagger_{\delta G}$, que satisfacen el conmutador de campo electromagnético

$$[a^{\,}_F,a_G^\dagger]=-\hbar\int k^\alpha\tilde F_{\alpha\mu}^*(k) k^\beta\tilde G_\beta{}^\mu(k)2\pi\delta(k_\nu k^\nu)\theta(k_0)\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}.$$ En consecuencia, invirtiendo la relación habitual porque estamos trabajando con funciones de prueba en lugar de directamente con campos cuánticos, podemos considerar funciones de prueba para el campo electromagnético como potenciales para funciones de prueba para el potencial electromagnético.

Debido a la restricción de que las funciones de prueba de potencial electromagnético deben tener un soporte compacto (o que las transformaciones de calibre deben estar restringidas si las funciones de prueba de potencial electromagnético se toman como Schwartz), los observables de potencial electromagnético son menos generales que los observables de campo electromagnético si se toman funciones de prueba de campo electromagnético. para ser Schwartz (como se supone más comúnmente), o equivalente si se considera que las funciones de prueba de campo electromagnético son suaves y tienen un soporte compacto.

Entonces, ¿referencias?

EDITAR (24 de octubre de 2011): tomando nota de la respuesta del usuario 388027 y mi comentario, sería bienvenida una referencia decente sobre las restricciones que se imponen convencionalmente en las transformaciones de calibre. En particular, espero una justificación de las restricciones desde cualquier punto de vista teórico que adopte la referencia.