Partícula cuántica cargada en un campo magnético: elegir un calibre diferente conduce a diferentes funciones de onda

Considere una partícula cuántica cargada confinada al$xy$avión, sujeto a un campo magnético$\mathbf{B}=B\hat{z}$.
El hamiltoniano es:

$$H = \frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} - \frac{e \mathbf{A}}{c}\right)^2~,$$

dónde$\mathbf{A}$es el vector potencial, para el cual tenemos libertad de medida para elegir. Una opción posible es$\mathbf{A} = B x \hat{y}$, lo que conduce al hamiltoniano:

$$H = \frac{1}{2m} \left[ p_x^2 + \left(p_y- m \omega_c x\right)^2\right],$$

dónde$\omega_c = eB/mc$es la frecuencia del ciclotrón. Siguiendo la derivación habitual de la cuantización de Landau , obtenemos las funciones de onda:

$$\psi(x,y) = f_n ( x- k_y / m \omega_c ) e^{i k_y y},$$

dónde$f_n$son las funciones propias del oscilador armónico simple ($n=0,1,2...$).

Sin embargo, también podemos elegir$\mathbf{A} = -B y \hat{x}$, que siguiendo las mismas líneas daría lugar a las funciones de onda:

$$\psi(x,y) = f_n ( y+ k_x / m \omega_c ) e^{i k_x x}.$$

Los dos resultados parecen diferentes en más de una fase global, pero todo lo que hicimos fue usar nuestra libertad para elegir un indicador.
¿Cómo funciona esto?