¿Es la dilatación del tiempo gravitacional diferente de otras formas de dilatación del tiempo?

No, la dilatación del tiempo gravitacional no es diferente a otras formas de dilatación del tiempo. Todos se derivan de la invariancia del elemento de línea .

Si elegimos algunas coordenadas,$x^i$, entonces el elemento de línea viene dado por:

$$ds^2 = g_{ab}dx^adx^b \tag{1}$$

donde la matriz$g_{ab}$se llama el tensor métrico . Tanto en GR como en SR, el elemento de línea es un invariante, es decir, todos los observadores en todos los sistemas de coordenadas calcularán el mismo valor para$ds$.

Supongamos que estoy usando un conjunto de coordenadas$(t, x, y, z)$para calcular su elemento de línea usando la ecuación (1). Nos limitaremos a SR por ahora, donde$g$es solo la métrica de Minkowski , así que obtengo (estoy haciendo el truco habitual de configurar$c = 1$):

$$ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Ahora suponga que está haciendo el mismo cálculo en sus coordenadas de marco de descanso$(t', x', y', z')$. Por definición, en su marco de descanso$dx' = dy' = dz' = 0$, por lo que calcularías:

$$ds^2 = -dt'^2 \tag{2}$$

Dado que ambos debemos estar de acuerdo en el valor de$ds^2$podemos igualar los lados derechos de las ecuaciones (1) y (2) para obtener:

$$-dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 = -dt'^2$$

si alguno de$dx$,$dy$o$dz$son distintos de cero, es decir, si te estás moviendo de alguna manera en mi sistema de coordenadas, esto significa que:

$$dt \ne dt'$$

y por lo tanto nuestras medidas de tiempo transcurrido no coincidirán. Es por eso que obtenemos la dilatación del tiempo. En los trabajos introductorios sobre RS, verá la dilatación del tiempo calculada utilizando varios arreglos de haces de luz y espejos, pero esta es la razón fundamental por la que ocurre.

He usado el ejemplo de SR anterior porque el tensor métrico es diagonal y todos los elementos son$-1$o$1$, por lo que es fácil escribir la expresión para$ds^2$. En GR, es posible que la métrica no sea diagonal (a menudo es posible elegir las coordenadas donde se encuentran) y los valores de los elementos de la métrica normalmente serán funciones de posición. Sin embargo, el funcionamiento es exactamente el mismo. Terminaríamos concluyendo que$dt \ne dt'$exactamente de la misma manera.

Ya que preguntaste específicamente sobre la dilatación del tiempo y la fuerza centrífuga, hagamos el cálculo explícitamente. Suponga que está girando sobre un pivote con velocidad$v$en un radio$r$y te estoy mirando desde el pivote. Voy a medir tu posición usando coordenadas polares$(t, r, \theta,\phi)$, y en coordenadas polares el intervalo de línea está dado por (Me voy$c$en la ecuación esta vez):

$$ds^2 = -c^2dt^2 + dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Tenga en cuenta que este es solo el espacio plano, es decir, la métrica de Minkowski, en coordenadas polares. Estamos usando la métrica del espacio plano porque no hay masas alrededor para curvar el espacio-tiempo (supondremos que tú y yo hemos estado a dieta :-). Podemos elegir nuestros ejes para que estés girando en el plano.$\theta = \pi/2$, y te estás moviendo a un radio constante, por lo que ambos$dr$y$d\theta$son cero. La métrica se simplifica a:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + r^2d\phi^2$$

Podemos simplificar esto aún más porque en mi marco te estás moviendo a gran velocidad$v$asi que$d\phi$es dado por:

$$d\phi= \frac{v}{r} dt$$

y por lo tanto:

$$ds^2 = -c^2dt^2 + v^2dt^2 = (v^2 - c^2)dt^2$$

En tu marco estás en reposo, así que$ds^2 = -c^2dt'^2$, e igualando esto a mi valor para$ds^2$da:

$$-c^2dt'^2 = (v^2 - c^2)dt^2$$

o:

$$dt'^2 = (1 - \frac{v^2}{c^2})dt^2$$

o:

$$dt' = dt \sqrt{1 - \tfrac{v^2}{c^2}} = \frac{dt}{\gamma}$$

que debe reconocer de inmediato como la expresión habitual para la dilatación del tiempo en SR. Tenga en cuenta que la fuerza/aceleración centrípeta no aparece en esta expresión. La dilatación del tiempo se debe solo a nuestras velocidades relativas y no a su aceleración hacia el pivote.

Finalmente, ya que dije que no había diferencia entre la dilatación del tiempo gravitacional y otras formas, debo justificar esto demostrando que el cálculo de la relatividad especial anterior funciona de la misma manera para la dilatación del tiempo relacionada con la velocidad y la gravitatoria combinada. Específicamente, calcularemos la dilatación del tiempo para un objeto en órbita alrededor de un agujero negro. Esto resulta ser sencillo, mostrando cuán poderosa es esta técnica. Todo lo que necesitamos saber es que la métrica para un agujero negro es :

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2GM}{c^2r}}+r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2$$

Procedemos como antes de configurar$dr = d\theta = 0$y$\theta = \pi/2$Llegar:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + r^2 d\phi^2$$

La velocidad orbital es:

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

y como antes podemos reescribir$d\phi$como:

$$d\phi = \frac{v}{r}dt = \frac{\sqrt{GM/r}}{r} dt$$

y sustituyendo esto en nuestra métrica da:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{GM}{r}dt^2$$

Como antes, en el marco de reposo del cuerpo en órbita tenemos$ds^2 = -c^2dt'^2$, e igualando esto al valor anterior para$ds^2$da:

$$-c^2dt'^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)c^2dt^2 + \frac{GM}{r}dt^2$$

que se simplifica a:

$$dt' = \sqrt{1-\frac{3GM}{c^2r}}dt = \sqrt{1-\frac{3r_s}{2r}}dt$$

dónde$r_s$es el radio de Schwarzschild:$r_s = 2GM/c^2$.

Y, tranquilizadoramente, este es exactamente el resultado que da Wikipedia para la dilatación temporal de un objeto en una órbita circular .

Este es el punto que quiero que quites. Una vez que comprenda el principio básico de que el elemento de línea es un invariante, puede usarlo para calcular la dilatación del tiempo para cualquier objeto, ya sea en un campo gravitatorio o no, y en movimiento o no. De hecho, como acabo de demostrar, la comprensión de este principio básico abre la puerta a la comprensión de la relatividad general así como de la relatividad especial. ¡Así de importante es!

Claro, los observadores circulares observan la dilatación del tiempo. Considere la línea de tiempo de un observador circular en un espacio-tiempo plano. Sabemos, de inmediato, en relación con un observador "estacionario", que las coordenadas espaciales de dicho observador serán

$$\begin{align} x&= r\cos\left(\omega\,\tau\right)\\ y&= r\sin\left(\omega\,\tau\right) \end{align}$$

para algún parámetro$\tau$. Digamos que es el momento adecuado.

Entonces, recordando que$-1 = -{\dot t}^{2} + {\dot x}^{2} +{\dot y}^{2} + {\dot z}^{2}$, para este camino, tenemos:

$$\begin{align} -1 &= -{\dot t}^{2} + r^{2}\omega^{2}\sin^{2}\left(\omega\,\tau\right) + r^{2}\omega^{2}\cos^{2}\left(\omega\,\tau\right)\\ 1&= {\dot t}^{2} - r^{2}\omega^{2}\\ \dot t &= \sqrt{1 + r^{2}\omega^{2}}\\ t &= \tau\sqrt{1 + r^{2}\omega^{2}} \end{align}$$

Compare esto con la fórmula GR para la marcación del tiempo gravitacional (en un punto estacionario)$t = \tau/\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^{2}}}$

Por lo tanto, si está orbitando en un círculo en el radio$R$en el espacio vacío, tienes la dilatación del tiempo equivalente a estar estacionario en un radio$r$de un cuerpo gravitatorio de masa$M$si giras con velocidad angular:

$$\begin{align} 1 + R^{2}\omega^{2} &= \frac{rc^{2}}{rc^{2} - 2GM}\\ R^{2}\omega^{2} &= \frac{2GM}{rc^{2} - 2GM}\\ \omega &= \frac{1}{R}\sqrt{\frac{2GM}{rc^{2} - 2GM}} \end{align}$$

Cuán "equivalente" es esto obviamente está sujeto a debate, ya que todo lo demás se sentiría diferente. Pero ciertamente puede obtener la misma dilatación de tiempo cinéticamente.

La gravedad es una fuerza de inercia donde el marco de referencia es el espacio-tiempo. Entonces, la dilatación del tiempo gravitacional y la dilatación del tiempo debido al marco acelerado son iguales.

Y sí, puedes recrear el mismo tipo de dilatación del tiempo usando la fuerza centrífuga.

Bueno, la respuesta es "no". ¡ La dilatación del tiempo siempre tiene el mismo efecto y se debe a la velocidad! De hecho, cuando un objeto se encuentra en un campo gravitatorio, está cayendo. ¡Incluso cuando te sientas en tu silla estás cayendo en el campo gravitatorio de la Tierra, de lo contrario flotarías en el aire como en la ISS! Igualemos los factores para la dilatación del tiempo de la relatividad especial y general, donde$R_S$es el radio de Schwarzschild:

$$\begin{equation} \Delta t'=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{R_{S}}{r}}}\label{eq:time dilation compared-1-1} \end{equation}$$ por eso $\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{R_{S}}{r}\Longrightarrow v^{2}=\frac{2GM}{r}\label{eq:time dilation compared-2-1}$y $v=\sqrt{2rg}=\sqrt{2V}$, dónde $V$es el potencial gravitacional. Ponemos pues en evidencia la relación que vincula velocidad y gravedad en la dilatación temporal relativista (tanto en SR como en GR): $$\begin{equation} v=\sqrt{2V} \end{equation}$$ Pensar en la dilatación del tiempo como siempre debido a la velocidad también explica por qué en la gravedad artificial (por ejemplo, en un hipotético ascensor espacial con aceleración vertical) experimentaríamos tanto la sensación de gravedad natural como la dilatación del tiempo, aunque no hay gravedad natural presente.
Si amas la gravedad y la relatividad, agregaría que el espacio-tiempo curvo produce resultados cuantitativamente exactos pero "cualitativamente" (creo) es un concepto erróneo. No existe un espacio-tiempo curvo sino un vacío cuántico fluido. Los efectos relativistas son los mismos: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01423134v6

Hilo interesante, imagina la siguiente prueba sobre la dilatación del tiempo.

1. Dos relojes atómicos sincronizados, uno en la tierra, el otro en un vehículo que va a la luna con astronautas. Los astronautas informan el estado de su reloj a la tierra.

2. Cuatro puntos de medición, comparando los relojes:

   A. Antes de que comience el viaje (mostrando la misma hora)

   B. Después de la aceleración completa, comienza a navegar en el espacio hacia la luna.

   C. Antes de lanzar los frenos (antes de desacelerar) al acercarse a la luna.

   D. Después de aterrizar en la luna.

Estoy 99,9% convencido de que en el punto B habrá una diferencia horaria significativa entre los relojes. Entre el punto B y C básicamente no pasa nada (no hay dilatación del tiempo). Después del punto D, se ha producido otra diferencia de tiempo importante.

En otras palabras, me comería el sombrero si la dilatación del tiempo no siempre es causada por una fuerza (aceleración, desaceleración, estar cerca de la materia masiva) que actúa sobre la materia, y nunca puede suceder cuando simplemente se navega en el espacio "vacío". Los muones, sí, viven más tiempo debido a la desaceleración que provoca la fricción en la atmósfera terrestre (que tiene el mismo efecto de dilatación del tiempo que la aceleración).

El concepto de espacio-tiempo funciona como un marco puramente matemático, pero es como enfocar una sombra en una habitación con un objeto físico en movimiento.

La dilatación del tiempo es un fenómeno físico que implica un campo de fuerza que frena las partículas de un sistema. Cuando las interacciones de las partículas tienen lugar con una frecuencia más baja, el tiempo se ralentiza efectivamente. La mecánica de esto es desconocida. El tiempo emerge de este efecto, no está "flotando" en el espacio como una dimensión.