¿Dónde enfatizó Borel que QQ\mathbb{Q} siendo efectivamente enumerable por NN\mathbb{N} no se trata de su tamaño?

Esta afirmación es característica del cambio de actitud de Borel en 1908, en torno al Cuarto Congreso Internacional de Matemáticos. Borel siempre tuvo inclinaciones constructivistas y consideró que todos los infinitos son solo potenciales (inacabados). Esta posición se hizo más pronunciada después de que apareciera la controvertida prueba de Zermelo del teorema del buen orden a partir del axioma de elección en 1905. Pero aún en 1908 Borel todavía identificaba los infinitos permisibles con infinitos numerables (contables), es decir, por tamaño:

" ...una innumerable infinidad de elecciones (sucesivas o simultáneas)... me parece... completamente sin sentido. En cuanto a una innumerable infinidad de elecciones, claramente uno no puede efectuarlas todas, pero... uno está seguro que cualquier elección dada se efectuará al final de un tiempo finito ".

Esto cambió en Les «Paradoxes» de la Théorie des Ensembles (1908) . Por supuesto, la numerabilidad todavía era necesaria para los infinitos significativos, pero ya no era suficiente. Borel introduce una noción más fuerte de enumerabilidad efectiva , que cobrará importancia dos décadas después. Aquí está el axioma de elección de Zermelo de Moore :

En un aspecto, Borel perfeccionó su posición anterior. Ya no consideró la distinción relevante entre conjuntos numerables y no numerables. para Borel, un conjunto era efectivamente enumerable si uno podía establecer, "por medio de un número finito de palabras, un proceso definido para atribuir sin ambigüedad un [número natural único como] rango a cada uno de sus elementos" [1908a, 446-447] .

Algunos conjuntos numerables no eran efectivamente enumerables, ya que atribuir un rango a cada elemento podría requerir una infinidad de elecciones arbitrarias. Además, un subconjunto infinito de un conjunto efectivamente enumerable no necesita ser efectivamente enumerable. Por fin, Borel había producido un concepto positivo, la enumerabilidad efectiva, en respuesta a sus dudas sobre la teoría de conjuntos y el axioma de Zermelo. Nociones relacionadas de efectividad para subconjuntos de$\mathbb{N}$, como la enumerabilidad recursiva, fueron investigados por los teóricos de la recursión a partir de la década de 1930. "

Debo señalar que la actitud de Borel fue más bien pragmática, no negó alguna utilidad indirecta a las matemáticas no constructivistas, e incluso utilizó argumentos cantorianos en su trabajo sobre funciones complejas y teoría de la medida. Pero a lo largo de su vida insistió en una clara separación entre las matemáticas "zermeloanas" y las no "zermeloanas", clasificando a las primeras como sólo provisionales. Como le escribió a Hadamard en 1905:

" Prefiero no escribir alefs. Sin embargo, de buen grado enuncio argumentos equivalentes a los que usted menciona, sin muchas ilusiones sobre su valor intrínseco, pero con la intención de sugerir otros argumentos más serios... Cabría preguntarse cuál es el valor real de estos argumentos que no considero absolutamente válidos pero que aún conducen en última instancia a resultados efectivos. De hecho, parece que si estuvieran completamente desprovistos de valor no podrían conducir a nada, ya que serían colecciones de palabras sin sentido. Esto, yo creer, sería demasiado duro.Tienen un valor análogo a las teorías de la física matemática a través de las cuales no pretendemos expresar la realidad sino tener una guía que nos ayude, por analogía, a predecir nuevos fenómenos, que luego deben ser verificados. "