Pregunta sobre el uso de una versión paramétrica del teorema de recursión transfinita en Introducción a la teoría de conjuntos 3ª ed. por Hrbacek y Jech

Question

Pregunta sobre el uso de una versión paramétrica del teorema de recursión transfinita en Introducción a la teoría de conjuntos 3ª ed. por Hrbacek y Jech

ordinales
recursión
teoría de conjuntos
Matemáticas
recursividad transfinita

K4321

Mi pregunta se refiere a una prueba dada en la página 118 en el texto Introducción a la teoría de conjuntos 3ª ed. por Hrbacek y Jech.

Los autores en la página 117 prueban una versión del teorema de recursión transfinita (Teorema 4.11) que dice operaciones unarias dadas $G_1, G_2$ , y $G_3$ hay una operacion $F$ tal que

\begin{aligned} F (0) = {GRAMO}_{1} (0), \\ F (α + 1) = {GRAMO}_{2} (F (α)) para todos los ordinales α, y \\ F (α) = {GRAMO}_{3} (F_{↾} α) para todos los ordinales límite α . \end{aligned}

$\begin{align*} &F(0)=G_1(0),\\ &F(\alpha+1)=G_2(F(\alpha))\quad\text{for all ordinals $\alpha$, and}\\ &F(\alpha)=G_3(F_\restriction \alpha)\quad\text{for all limit ordinals $\alpha$}.\\ \end{align*}$

Luego dejan que el lector diseñe una versión paramétrica del teorema 4.11. He determinado que esto es como sigue: Dadas las operaciones binarias $G_1, G_2$ , y $G_3$ hay una operacion $F$ tal que para todo z

\begin{aligned} F (z, 0) = {GRAMO}_{1} (z, 0), \\ F (z, α + 1) = {GRAMO}_{2} (z, F_{z} (α)) para todos los ordinales α, y \\ F (z, α) = {GRAMO}_{3} (z, F_{z} ↾ α) para todos los ordinales límite α . \end{aligned}

$\begin{align*} &F(z,0)=G_1(z,0),\\ &F(z,\alpha+1)=G_2(z,F_z(\alpha))\quad\text{for all ordinals $\alpha$, and}\\ &F(z,\alpha)=G_3(z,F_z\restriction \alpha)\quad\text{for all limit ordinals $\alpha$}.\\ \end{align*}$

Luego hacen uso de la versión paramétrica del Teorema 4.11 en la demostración del Teorema 3.6 en la página 118. El Teorema 3.6 establece:

\begin{aligned} Sea G una operación. \\ Para cualquier conjunto a hay una sucesión infinita única ⟨ a_{norte} | norte \in norte ⟩ tal que \\ (a) a_{0} = a \\ (b) a_{norte + 1} = GRAMO (a_{norte}, norte) para todos norte \in norte \end{aligned}

$\begin{align*} &\text{Let G be an operation.}\\ &\text{For any set $a$ there is a unique infinite sequence $\langle a_n|n\in N \rangle$ such that} \\ &(a) a_0=a\\ &(b) a_{n+1}=G(a_n,n)\quad\text{for all $n\in N$}\\ \end{align*}$

La demostración del Teorema 3.6 dada en el texto es la siguiente:

\begin{aligned} Sea G una operación. Queremos encontrar, para cada conjunto a, una secuencia \\ ⟨ a_{norte} | norte \in norte ⟩ tal que a_{0} = a y a_{norte + 1} = GRAMO (a_{norte}, norte) para todos norte \in norte . \\ Por la versión paramétrica del Teorema de Recursión Transfinita 4.11, \\ hay una operacion F tal que F (0) = a y F (norte + 1) = GRAMO (F (norte), norte) para todos norte \in norte . \\ Ahora aplicamos el Axioma de Reemplazo: Existe una sucesión ⟨ a_{norte} | norte \in norte ⟩ \\ eso es igual a F ↾ ω amd el Teorema siguiente. \end{aligned}

$\begin{align*} &\text{Let G be an operation. We want to find, for every set $a$, a sequence}\\ &\text{$\langle a_n|n\in N \rangle$ such that $a_0=a$ and $a_{n+1}=G(a_n,n)$ for all $n\in N.$}\\ &\text{By the parametric version of the Transfinite Recursion Theorem 4.11,}\\ &\text{there is an operation $F$ such that $F(0)=a$ and $F(n+1)=G(F(n),n)$ for all $n\in N.$}\\ &\text{Now we apply the Axiom of Replacement: There exists a sequence $\langle a_n|n\in N \rangle$}\\ &\text{that is equal to $F\restriction \omega$ amd the Theorem follows.}\\ \end{align*}$

Ahora, entiendo todo en la prueba del Teorema 3.6 excepto cómo se usa la versión paramétrica del Teorema 4.11 para derivar la operación $F$ en la prueba ¿Puede alguien por favor ayudarme a llenar los espacios en blanco?

K4321

Pensé que esta iba a ser una pregunta fácil para alguien.

kevin arlin

Sugeriría que no haya recibido ninguna ayuda porque la naturaleza de su pregunta requiere que encuentre a alguien que haya leído a Jech recientemente. En Google para la recursividad transfinita parametrizada, dos de los primeros tres resultados son su pregunta y el libro de Jech. Sugeriría explicar la noción de parametrización para aquellos que están lo suficientemente interesados como para responder pero no lo suficientemente interesados como para sacar nuestro Jech.

Respuestas (1)

Pregunta sobre el uso de una versión paramétrica del teorema de recursión transfinita en Introducción a la teoría de conjuntos 3ª ed. por Hrbacek y Jech

Sugeriría que no haya recibido ninguna ayuda porque la naturaleza de su pregunta requiere que encuentre a alguien que haya leído a Jech recientemente. En Google para la recursividad transfinita parametrizada, dos de los primeros tres resultados son su pregunta y el libro de Jech. Sugeriría explicar la noción de parametrización para aquellos que están lo suficientemente interesados como para responder pero no lo suficientemente interesados como para sacar nuestro Jech.

usuario642796 · Answer 1

Tengo la sensación de que el teorema que se va a probar debería enunciarse con un poco más de precisión como

Dada cualquier operación $G$ y cualquier $a$ hay una sucesión infinita única $\langle a_n : n \in \omega \rangle$ tal que

$a_0 = a$ ; y

$a_{n+1} = G ( a_n )$ .

No creo que se necesite la versión parametrizada de la recursividad transfinita (y los autores no parecen usarla realmente). De hecho, dado $G$ y $a$ definir las siguientes tres operaciones:

$G_1 ( x ) = a$ ;
$G_2 ( x ) = G ( x )$ ; y
$G_3 ( x ) = a$ .

(Nótese que como el resultado no depende del valor de nuestra operación en un ordinal infinito, la operación $G_3$ puede elegirse arbitrariamente). Entonces, por el teorema de la recursividad transfinita, existe una operación única $F$ tal que

$F(0) = G_1(0) = a$ ;
$F(\alpha+1) = G_2 ( F ( \alpha) ) = G ( F ( \alpha) )$ ; y
$F(\alpha) = G_3 ( F \restriction \alpha ) = a$ para ordinales límite $\alpha > 0$ .

Entonces la secuencia $F \restriction \omega = \langle F(n) : n \in \omega \rangle$ será como se requiera.

Gracias por su respuesta. Creo que Hrbacek y Jech establecieron el Teorema 3.6 como tal para reflejar el teorema de recursión dado anteriormente en el texto (pág. 47) para los números naturales. Como se indica en el texto, quieren mostrar cómo los resultados anteriores para los números naturales se generalizan a los números ordinales.

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kevin arlin

Respuestas (1)

usuario642796

K4321

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