¿Cómo se convirtió ZFC en la base estándar de las matemáticas?

En primer lugar, los "cimientos" ya no son lo que solían ser. La idea de "una lógica verdadera" y "una matemática verdadera" justificable a partir de verdades evidentes no tiene mucha vigencia en estos días. Entonces, el interés en los fundamentos reales y la creencia en su existencia o necesidad ha ido disminuyendo constantemente, véase Azzouni, ¿Todavía hay un sentido en el que las matemáticas puedan tener fundamentos?

El proyecto de Frege-Russell de transformar la práctica matemática en una empresa formal tampoco se concretó.$ZFC$está obteniendo el servicio de labios de los libros de texto como un control de las paradojas y una fuente de curiosidades de lógica matemática, pero las pruebas reales todavía se dan esencialmente en la lengua vernácula de la teoría de conjuntos ingenua, vea los comentarios en el hilo de MO para las reacciones actuales . Es más prominente en la lógica matemática y la teoría de conjuntos superior, donde la plétora de resultados técnicos sobre la lógica de primer orden, sobre la fuerza de la independencia y la consistencia, y el hecho de que teorías más complejas se modelan de forma transparente en ella, convirtió$ZFC$en un criterio común conveniente, una lingua franca del campo. Pero eso, como ocurre con el latín o el inglés, es, en parte, una contingencia histórica.

Ahora, cómo sucedió, The Mathematical Development of Set Theory from Cantor to Cohen de Kanamori es una fuente detallada. Después de la fuerte controversia sobre su axioma de elección, Zermelo en 1908 estableció un sistema$Z$de siete axiomas (AC no incluidos) que " partían de la teoría de conjuntos tal como se da históricamente... para excluir todas las contradicciones " y " retener todo lo que es valioso ". El resumen autorizado de la teoría de conjuntos, Grundzüge der Mengenlehre de Hausdorff (1914), que se convertiría en la inspiración de Bourbaki, no lo incorporó, ver Cómo evolucionó la teoría de conjuntos desde Hausdorff hasta hoy . Hausdorff consideró prematuras las axiomatizaciones y, en su lugar, utilizó una teoría de conjuntos ingenua y refinada. Pero en 1910-1913, Russell y Whitehead publicaron sus Principia Mathematica , que cumplieron una tarea formidable (con la ayuda en gran parte no reconocida del Algebra der Logik de Schröder).(1890-1905)): convenció a los iniciados de que todas las matemáticas conocidas hasta la fecha podían, en principio, formalizarse por completo.

En el transcurso de la década de 1920, se produjeron dos desarrollos importantes: von Neumann y Fraenkel agregaron axiomas de regularidad y fundamento a$Z$, y la primacía de la lógica de primer orden comenzó a emerger. Este último a menudo se atribuye a Skolem y Hilbert, consulte ¿Cómo llegó a ser la lógica formal dominante la lógica de primer orden? , pero fue solidificado por los teoremas de Gödel que desplegaron sus virtudes técnicas. Irónicamente, Gödel demostró originalmente la incompletitud en$PM$, que no era de primer orden, y Zermelo, que avalaba$Z$con axiomas adicionales en 1930, el moderno$ZF$, abogó por su lectura de segundo orden. Cómo$PM$fue eliminado gradualmente de la circulación debido a su laberinto de tipos ramificados y notación torpe, se puede ver, en parte, en ¿ Quién reemplazó la notación de puntos de Peano en lógica simbólica y cuándo? Así que las primeras alternativas quedaron en el camino. Cuando Bourbaki comenzó a publicar sus Éléments de mathématique en 1939, sus axiomas no eran exactamente los de Zermelo, pero el sistema era equivalente a$ZFC$fundamento menos, consulte Sobre el sistema axiomático de Bourbaki para la teoría de conjuntos .

¿Qué pasa con las alternativas posteriores? Godel demostró que$PM$La teoría de los tipos era equivalente en fuerza de consistencia y poder expresivo a$Z$, que era más simple y más cercano a la lengua vernácula. Bernays, anticipado por von Neumann, propuso una teoría de conjuntos con clases,$NBG$, adoptada por Gödel en 1940, que demostró ser una extensión conservadora de$ZFC$. Quine, otro influyente defensor de la lógica de primer orden, propuso New Foundations en 1937, más tarde$NFU$, que también resultó ser biinterpretable con$ZFC$. En la década de 1960 se hizo evidente que las alternativas genuinas (ver la encuesta SEP ) se ocupan de asuntos que los matemáticos ordinarios no deberían ocuparse. Y$ZFC$tenía las ventajas de la sencillez y la familiaridad. Para comparaciones con alternativas "fundamentales" no basadas en la teoría de conjuntos posteriores, como la teoría de categorías o los fundamentos univalentes recientes, consulte Dzamonja, Set Theory and its Place in the Foundations of Mathematics .