Efecto Stark en el primer estado excitado de Hidrógeno

Lo que sucede, esencialmente, es que las funciones de onda S y P se mezclan para producir estados propios que tienen centros desplazados. Esto significa que el átomo obtiene un momento dipolar eléctrico inducido, cuya interacción con el campo externo reduce o aumenta la energía propia.

Más específicamente, considere las funciones de onda de los estados$|200\rangle$y$|210\rangle$: El primero es esféricamente simétrico, mientras que el segundo tiene dos lóbulos donde la función de onda tiene signos diferentes.

Si el campo es fuerte (es decir, más fuerte que la interacción fina, que separa estos dos niveles, pero no lo suficientemente fuerte como para nivelarse con otros$n$involucrarse), entonces los estados propios serán incluso mezclas de estos, pero con diferentes fases, como lo indica su diagrama.

Esto realmente debería hacerse correctamente, pero para una imagen intuitiva, agregar colores iguales los amplifica mientras que agregar colores opuestos los cancela, y viceversa para la resta. Si hace eso, obtiene algo como esto: Tenga en cuenta en particular que el centro de carga electrónico se ha movido desde el origen, lo que significa que los estados tienen momentos dipolares distintos de cero. Con el campo eléctrico apuntando hacia abajo, el estado de la izquierda tiene una energía más baja y el de la derecha está elevado.

Por lo general, estas superposiciones se "salpicarían" de uno a otro, ya que la diferencia de energía de estructura fina entre ellos hizo que el estado P acumulara fase (como$e^{-iE_{21}t/\hbar}|210\rangle$) ligeramente más rápido que el estado S. Con el campo presente y apuntando hacia abajo, el estado de la izquierda permanece donde está porque el campo sigue tirando del electrón hacia atrás. El estado de la derecha se ve forzado a su posición de alta energía por el requisito de que sea ortogonal al primero.

Para hacer esto un poco más formalmente, solo necesita plantear el problema un poco más específicamente. Decir que el campo no es lo suficientemente fuerte como para mezclar subespacios con diferentes$n$equivale a decir que estás interesado en la estructura hamiltoniana en el subespacio$\mathcal{H}=\text{span}\{|200\rangle,|210\rangle,|211\rangle,|21-1\rangle\}$. El hamiltoniano se describe completamente por sus elementos de matriz

$$\langle 2l'm'|\hat H|2lm\rangle=E_{2l}\delta_{l'l}\delta_{m'm}+\int \mathrm{d}\mathbf{r} \ \psi^\ast_{2l'm'}(\mathbf{r})E_0 z\ \psi_{2lm}(\mathbf{r}).$$ Debería poder encontrar estas integrales por sí mismo, pero existen reglas de selección (que equivalen a las propiedades de paridad de la integral anterior) que requieren que la mayoría de los elementos sean cero. El hamiltoniano se reduce así a la forma $$\hat H = \begin{pmatrix} E_{20} &E_0 d&0&0\\ E_0 d& E_{21} &0&0\\ 0&0& E_{21}&0\\ 0&0&0& E_{21} \end{pmatrix}$$ con la base ordenando como arriba y donde $d=\int \mathrm{d}\mathbf{r}\ \psi^\ast_{200}(\mathbf{r}) z\ \psi_{210}(\mathbf{r})$se puede suponer real.

Habiendo hecho eso, decir que el campo es fuerte con la interacción fina significa hacer cumplir la condición de que$E_0 d\gg|E_{21}-E_{20}|$, es decir, trabajando en la aproximación que$E_{21}\approx E_{20}$. En esta aproximación el hamiltoniano en el subespacio$\text{span}\{|200\rangle,|211\rangle\}$es (salvo un cambio de origen en la energía) de la forma$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$y los autoestados son como arriba. (Si el campo no es tan fuerte, habrá pequeños términos fuera de la diagonal y la mezcla no será tan buena. Para los detalles, ¡diagonalice! Es relativamente fácil ya que es un problema simple de dos niveles).

Este es realmente todo el formalismo que uno puede poner en él sin exagerar. Para hacer el problema más rigurosamente, debe expandir los límites físicos del problema: si el campo es débil, considere los efectos de la estructura fina e incluso hiperfina; si el campo es fuerte, considere la posibilidad de mezclar diferentes subespacios principales y trabaje en un orden superior al primer orden. Ambas direcciones significan bastante trabajo y alteran los resultados que cita. (¡Tienen que!)