¿Cuál es el significado de la curvatura del espacio-tiempo?

La curvatura del espacio-tiempo es matemáticamente equivalente a la presencia de la llamada desviación geodésica de las geodésicas temporales. En otras palabras, hay cuerpos en caída libre que parten de puntos cercanos entre sí y con velocidades similares que miden una aceleración relativa que no desaparece. Este es el significado físico más directo de un tensor de curvatura de Riemann que no desaparece en un espacio-tiempo.

La curvatura del espacio tiene una interpretación similar, pero no idéntica, en el espacio de reposo extendido de un observador (asumiendo que la métrica inducida en ese espacio desde la del espacio-tiempo es estacionaria con respecto a la noción de tiempo adoptada por el observador). Hay una "aceleración relativa" referida al parámetro de longitud natural (en lugar del tiempo propio) entre geodésicas. Aquí las geodésicas se pueden definir en términos de su definición variacional, ya que la métrica se define positivamente. Son las líneas más cortas que unen pares de puntos dados.

La "curvatura espacial" se refiere a la geometría de una porción espacial de espacio-tiempo, con una coordenada de tiempo constante (por lo que la porción no tiene dimensión de tiempo). La "curvatura espacial" es a lo que se refiere la analogía común de la hoja de goma, que imita el paraboloide de Flamm, que representa la geometría de un corte espacial a través de la métrica de Schwarzschild:

http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric#Flamm.27s_paraboloide

La "curvatura del espacio-tiempo" se refiere a la geometría del espacio-tiempo 4D, o un segmento con una coordenada de tiempo no constante (por lo que el segmento tiene una dimensión de tiempo). La "curvatura del espacio-tiempo" rara vez se muestra, pero se parece a esto:

http://www.relativitet.se/spacetime1.html

Aquí otra comparación de los dos tipos de rebanadas de espacios-tiempo. Uno con el tiempo, y otro puramente espacial:

http://www.physics.ucla.edu/demoweb/demomanual/modern_physics/principal_of_equivalence_and_general_relativity/curved_spacetime.html

Esto es largo, pero creo que algunas personas podrían beneficiarse de una respuesta más elemental.

A veces, en un mapa del mundo, verás una figura que se ve así:

Es una escala que muestra cuánta distancia en el mapa corresponde a 1000 millas en el mundo. Esa extraña forma de embudo se debe a que la escala cambia a medida que te alejas del ecuador. Si está tratando de estimar distancias cercanas a los 80° de latitud, use la línea horizontal en la parte superior. Si está interesado en los años treinta, donde vivo, usaría el ancho de la figura entre los 30 y 40 puntos. Una escala para un mapa que muestra solo una pequeña parte de la tierra es solo una línea simple con algunas marcas, pero cuando aplanas la superficie curva de un globo para hacer un mapa, tienes que estirar partes y tal vez comprima otras partes, por lo que la escala no puede permanecer igual en todo el mapa.

También puede mostrar esta escala cambiante directamente en el mapa. Supongamos que hay un pequeño círculo en el globo donde se cruzan las líneas de latitud y longitud. Cuando estiras la superficie del globo para aplanarlo, los círculos también se estirarán. Si cada círculo representa un radio de 100 millas en la Tierra real, entonces verá qué tan lejos están las 100 millas en el mapa en ese punto. La gente no hace esto en los mapas ordinarios porque agrega demasiado desorden, pero ayuda a comprender cómo cada tipo de mapa distorsiona las características reales. Por ejemplo, esta es la famosa Proyección de Mercator (tomada, como los otros ejemplos aquí, de Wikipedia; citas al final):

Puedes ver cómo las partes sur y norte se estiraron más a medida que el globo se aplanaba. Esta proyección es para la que es el diagrama de escala mostrado anteriormente.

Al indicar la escala cambiante, estos círculos también le indican que la superficie debe ser curva. Piensa en cómo se deformaría este mapa si todos los círculos cambiaran para tener el mismo tamaño, arrastrando el resto del mapa con ellos. Las partes norte y sur se unirían y todo el mapa comenzaría a curvarse. Los círculos a lo largo del ecuador se volverían un poco más gruesos, haciendo que la cintura sobresaliera. Si hubiera más círculos en el medio, tirarían de la superficie en cantidades intermedias dependiendo de dónde estuvieran. Una vez que los círculos fueran todos del mismo tamaño, si alineabas todo correctamente, tendrías un globo terráqueo. (Excepto que faltarían las áreas cercanas a los polos).

Si esto es demasiado abstracto, piense en tejer un casquete con hilo elástico y luego estirarlo completamente. Los pequeños bucles de hilo serían más grandes cerca del borde donde la tela se estiró más, y podrías usar eso para predecir algo sobre la forma en que se relajaría el casquete cuando lo soltaras. Para ser justos, no se puede predecir la forma exacta: los casquetes no son rígidos. Pero cualquiera que sea la forma, será curva. Hay formas matemáticas de indicar qué tan curvada es una superficie en cada punto, y puede calcular cuáles son esos valores simplemente a partir de las formas en que cambia la escala a medida que se mueve por el mapa, sin siquiera pensar en ello en 3D.

Sería un error pensar que la escala es siempre la misma en todas las direcciones. Por lo general, eso no es cierto, y es una de las cosas que hacen que el mapa de Mercator sea especial: todos los marcadores de escala son círculos. Por ejemplo, la proyección de Robinson ajusta las escalas norte-sur y este-oeste de manera diferente en diferentes lugares, de modo que las áreas terrestres cercanas a los polos no son tan grandes, pero las formas tampoco están demasiado distorsionadas. En este mapa, los marcadores de escala son óvalos en diferentes ángulos, que indican la dirección en la que el estiramiento fue mayor.

En la relatividad general, el tiempo se ralentiza a medida que te acercas a un objeto masivo, y la distancia radial entre capas concéntricas se vuelve menor de lo que calcularías a partir de las circunferencias de las capas. Esto no es más que un cambio en la escala de un mapa. Experimentas tu vida en un pequeño parche de espacio-tiempo que es muy plano. Eso significa que puede hacer un cuadrado con cuatro ángulos rectos y los cuatro lados iguales, y los relojes funcionan al mismo ritmo sin importar dónde se encuentren en su habitación. Cuando piensas en el espacio y el tiempo alrededor de un agujero negro, naturalmente piensas en él como si fuera un espacio y un tiempo que sigue esas reglas. Ese modelo mental es el "papel plano" en el que se dibuja su mapa. Cuando la gente dice que el tiempo pasa más lento cerca de un agujero negro, esencialmente están dibujando las marcas de verificación para el tiempo más alejado en esa parte del mapa. De la misma manera, las marcas espaciales hacia y desde el centro del agujero negro (u otro objeto masivo, en realidad) están más juntas cerca del objeto. En los mapas del mundo, usamos pequeños óvalos en lugar de marcas, pero podríamos haber usado pequeños marcadores de escala pequeña con marcas que indicaran un número determinado de millas en las direcciones norte-sur y este-oeste. Tendrían diferentes espacios en diferentes partes del mapa 2D, al igual que las marcas de tiempo y espacio están separadas por diferentes cantidades en nuestro mapa mental 4D. usamos pequeños óvalos en lugar de marcas, pero podríamos haber usado pequeños marcadores de escala pequeña con marcas que indicaran un número determinado de millas en las direcciones norte-sur y este-oeste. Tendrían diferentes espacios en diferentes partes del mapa 2D, al igual que las marcas de tiempo y espacio están separadas por diferentes cantidades en nuestro mapa mental 4D. usamos pequeños óvalos en lugar de marcas, pero podríamos haber usado pequeños marcadores de escala pequeña con marcas que indicaran un número determinado de millas en las direcciones norte-sur y este-oeste. Tendrían diferentes espacios en diferentes partes del mapa 2D, al igual que las marcas de tiempo y espacio están separadas por diferentes cantidades en nuestro mapa mental 4D.

Por lo tanto, no crea que los cambios en el ritmo del tiempo y en la distancia radial solo están relacionados con la curvatura. Son la curvatura. No tenemos ninguna razón para creer que existe un espacio dimensional superior en el que el espaciotiempo está curvado de la misma manera que la superficie de la tierra está curvada en el espacio tridimensional, y no es necesario que nos importe. Podemos inferir e incluso medir que la escala correcta del mapa difiere en diferentes lugares, y eso es curvatura.

Ambos mapas son de Wikipedia y son de Eric Gaba (Sting - fr:Sting). Primer mapa: Datos: US NGDC World Coast Line (dominio público), GFDL, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4677929 Segundo mapa: [GFDL ( http://www.gnu. org/copyleft/fdl.html ) o CC BY-SA 4.0-3.0-2.5-2.0-1.0 ( http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0-3.0-2.5-2.0-1.0)] , vía Wikimedia Commons La barra de escala variable es de dominio público.