¿Se pueden curvar el espacio y el tiempo por separado?

Esta no es una pregunta trivial, en mi opinión. Se aplica a espacio-tiempos donde existe una distinción natural entre espacio y tiempo . Dichos espaciotiempos se denominan espaciotiempos estáticos (incluso si esta clase podría ampliarse a varias direcciones, en particular, incluidos los espaciotiempos estacionarios , que describen la métrica de las fuentes gravitatorias giratorias, y los espaciotiempos estáticos conformes como los modelos cosmológicos utilizados en la cosmología moderna).

Siguiendo con los espaciotiempos estáticos, en particular el espaciotiempo local alrededor de nuestro Sol con una buena aproximación, la separación natural entre el espacio y el tiempo se debe a la presencia de una simetría Killing particular que define una dirección temporal natural en el espaciotiempo. Aquí,$3$-los espacios ortogonales a estas direcciones temporales son la noción natural del espacio físico . Además, el hecho de que la métrica sea estática implica que las propiedades métricas de estos espacios naturales y de las curvas que describen la evolución temporal no dependen de la noción de tiempo introducida . En este sentido, aquí tiene sentido hablar de dos geometrías recíprocamente independientes, en cuanto al espacio y al tiempo respectivamente.

La métrica toma la forma, refiriéndose a coordenadas adaptadas

Tiene sentido estudiar las propiedades geométricas de$g_{00}$y$g_{ij}$($i,j=1,2,3$) por separado. Podemos decir que el espacio físico es curvo si la métrica$h= \sum_{i,j=1}^3g_{ij}(\vec{x}) dx^i dx^j$no se puede transformar, por un cambio de coordenadas, en el euclidiano estándar. En este caso, alguna propiedad de la geometría euclidiana debe fallar. Por ejemplo, la suma de los ángulos internos de un triángulo construido por geodésicas espaciales podría ser diferente de$\pi$, y el valor puede depender del propio triángulo. Esta propiedad no debe depender del tiempo para que sea una propiedad espacial.

La interpretación física de la geometría temporal es más complicada. No puedo decir que lo que estoy discutiendo técnicamente signifique que ``el tiempo es curvo''. Sin embargo, debería proporcionar sustancialmente una respuesta a su pregunta.

Cuando sea$g_{00}(\vec{x}) \neq -1$(siendo este último el ``valor en el espacio-tiempo plano''), surgen varios fenómenos físicos. Lo que podemos hacer, por ejemplo, es comparar la longitud de un intervalo de tiempo natural$\Delta t$con el intervalo de tiempo$\Delta \tau$evaluado por un reloj ideal en reposo en una posición$\vec{x}$

Un fenómeno mucho más evidente debido a que$g_{00}(\vec{x}) \neq -1$, que tiene lugar incluso si la geometría espacial es plana , es la aceleración de los cuerpos en movimiento geodésico evaluada con respecto a$t$. En otras palabras, el hecho de que los cuerpos en caída libre se aceleren en un campo gravitatorio, incluyendo también el movimiento de los planetas alrededor del Sol , en el marco relativista, se debe a la presencia de un$g_{00}$diferente de$-1$y dependiendo de la posición espacial. De hecho, hasta constantes multiplicativas y con una aproximación físicamente sólida,$\nabla_{\vec{x}}g_{00}$coincide con la aceleración gravitacional clásica$\vec{g}(\vec{x})$, en$\vec{x}$, que es responsable del movimiento de los planetas en la imagen newtoniana.

La pregunta ¿Qué hace que una coordenada sea curva? pregunta si es posible que la coordenada de tiempo sea curva mientras que las coordenadas espaciales son planas.

La discusión allí probablemente sea demasiado complicada para esta pregunta, pero el resumen es que no, no puede tener un sistema de coordenadas en el que la curvatura esté solo en la coordenada de tiempo.

En realidad, esta es una pregunta trivial. El tiempo no se puede curvar de forma independiente, pero el espacio sí. Considere una hoja de papel. Aplastar físicamente el papel es un ejemplo de curvar el espacio pero manteniendo el tiempo tal como está.