"Conservación de energía, o falta de ella", en mecánica cuántica

Primer punto: los autores tienden a tener una visión muy "rigurosa" de los "mundos" en la interpretación de muchos mundos. Me opongo a esto. Creo que "muchos mundos" es un nombre inapropiado. Mejores nombres para la interpretación de Everett serían "evolución unitaria estricta", "función de onda universal" o, mi favorito, "iglesia del gran espacio de Hilbert". Porque los "muchos mundos" son límites "suaves" en lugar de límites "duros". Esto se debe especialmente a que una "división" de mundos siempre puede, en principio , ser deshecha por el reverso de lo unitario que los dividió.

Ahora para abordar su pregunta. En primer lugar, diría que no tiene sentido discutir esta cuestión para un sistema que no está cerrado. Los sistemas abiertos no demuestran la conservación de energía casi por definición. Nadie espera que lo hagan. Así que podemos dejar fuera de discusión sus posibilidades 1 y 2 porque son situaciones que están subespecificadas para determinar la conservación global de la energía.

Respuesta a la pregunta a): Así que reitero, esta insistencia en la realidad de los mundos en MWI es ingenua en mi opinión. Es cierto que una función de onda que podría expresarse como un solo término podría evolucionar hacia una que requiera múltiples términos, pero también puede evolucionar hacia atrás. Además, a veces lo que parecen muchos términos pueden ser solo un término si lo expresas de otra manera. Puede ser cierto "a todos los efectos prácticos" que no se puede invertir la función de onda en un caso particular. Pero cuando estamos discutiendo las matemáticas no nos importa un ápice la practicidad, y la interpretación de Everett es muy matemática.

Entonces, ¿decimos que la energía sale de una "rama" y va a otra? No. Encuentro ese lenguaje terriblemente confuso. Olvidemos el lenguaje de las ramas y consideremos la evolución matemática de una función de onda bajo el hamiltoniano.

Primero, hacemos una declaración mucho más fuerte que "La energía promedio del sistema se conserva". Más bien, más fuertemente, la magnitud de la función de onda universal* para tener una energía dada se conserva con el tiempo. tomar estado$|\psi\rangle$y expresarlo en la base de energía:

$$\tag{1} U|\psi\rangle = e^{-i\frac{H}{\hbar}t} \sum_n c_n |n\rangle = \sum_n e^{-i \frac{E_n}{\hbar}t} c_n |n\rangle$$

El hamiltoniano no puede mezclar estados de diferente energía, por lo que el peso de cada término,$|c_n|^2$se conserva

Estoy divagando un poco. Quiero ver más el ejemplo en la pregunta vinculada de absorción de fotones. El hamiltoniano átomo-fotón en un sistema cerrado (como una cavidad óptica de alta calidad) es$(\hbar=1)$, en el marco giratorio (el marco giratorio hace que el tiempo hamiltoniano sea independiente, alternativamente, podríamos considerar un sistema que simplemente tiene este hamiltoniano fuera de la puerta):

$$H = -\Delta a^{\dagger} a + \frac{\Omega}{2}(a^{\dagger}\sigma^+ + a\sigma^-)$$

$\Delta = \omega_{\text{photon}} - \omega_{\text{atom}}$. En este marco giratorio, si$\Omega = 0$(sin acoplamiento), entonces vemos que el estado$|0, g\rangle$tiene 0 energía, el estado$|0, e\rangle$también tiene energía 0 (esto se debe a la elección del marco giratorio). Los Estados$|1, g\rangle$y$|1, e \rangle$cada uno tiene$-\Delta$energía.

Una transición de absorción de$|1, g\rangle \rightarrow |0, e\rangle$, ingenuamente, parece que no conserva energía en una cantidad$\Delta$.

Sin embargo, tal transición no ocurre a menos que$\Omega$es distinto de cero. Pero cuando$\Omega$es distinto de cero podemos ver que$|1, g\rangle$ya no es en realidad un estado propio! Los estados propios reales son superposiciones de los$|1, g\rangle$y$|0, e\rangle$estados:$|+\rangle$y$|-\rangle$, los llamados estados vestidos!

$$\begin{align} |+\rangle =& \sin(\theta)|g\rangle + \cos(\theta)|e\rangle\\ |-\rangle =& \cos(\theta)|g\rangle - \sin(\theta)|e\rangle \end{align}$$

Dónde$\theta$es definido por$\tan(2\theta) = -\Omega/\Delta$. Invirtiendo esta transformación tenemos:

$$\begin{align} |g\rangle =& \sin(\theta)|+\rangle + \cos(\theta)|-\rangle\\ |e\rangle =& \cos(\theta)|+\rangle - \sin(\theta)|-\rangle \end{align}$$

Entonces, si el sistema comienza en$|1, g\rangle$en realidad ya es una superposición de$|+\rangle$y$|-\rangle$, por lo que YA contiene una superposición de estados de energía. Las energías están dadas por

$$E_{\pm} = -\frac{\Delta}{2} \pm \frac{\sqrt{\Omega^2 + \Delta^2}}{2}$$

Para$\Omega \rightarrow 0$tenemos$E_+\rightarrow 0$y$E_-\rightarrow -\Delta$. Porque$|1, g\rangle$no es un estado propio del sistema, puede cambiar, bajo la evolución hamiltoniana, a un estado diferente, por ejemplo$|0, e\rangle$. Según nuestros pensamientos ingenuos sobre la energía, parece que el sistema ha cambiado en cantidad de energía.$\Delta$. Pero, si descompone el sistema en la base propia de energía real, verá que las ponderaciones de los estados vestidos,$|\pm\rangle$permanecen sin cambios aparte de su fase relativa.

No estoy seguro de qué más decir aquí.. Eq. (1) nos muestra que un sistema que comienza en una superposición de estados de energía siempre permanece en la misma superposición ponderada de esos estados de energía. Esto es lo mejor que puede hacer la mecánica cuántica. A esto me refiero cuando digo que la mecánica cuántica conserva la energía. Esto, por supuesto, implica la declaración más débil de que la energía promedio de un sistema se conserva.

El segundo ejemplo nos recuerda que cuando los sistemas están acoplados, sus energías cambian y debemos pensar en la base "vestida" si queremos tener mucho cuidado con el seguimiento de la energía en el sistema. Debemos recordar que los estados desnudos no son estados propios del sistema. Este ejemplo es muy relevante cuando se piensa en la absorción de fotones fuera de resonancia, que es lo que impulsó la discusión en primer lugar.

*Comúnmente llamado la probabilidad de ese componente, pero por supuesto en MWI la probabilidad es un poco controvertida.

Me parece que el informe (no creo que haya sido revisado por pares) de Carroll y Lodman es simplemente incorrecto.

Podrías imaginar un par de dados que fueron lanzados hace mucho tiempo (condiciones iniciales desconocidas) y luego permanecen estacionarios para siempre (evolución temporal conservando el valor de cada dado). Antes de mirar cualquiera de los dados, su expectativa del valor total es 7. Mira uno de ellos y encuentra que muestra 2. Su expectativa del valor total salta de 7 a 5½. Miras el otro y encuentras que muestra 6. Tu expectativa para el valor total salta de 5½ a 8. El hecho de que el valor esperado siga cambiando no significa que la suma no se conserve. No tienes motivos para creer que la suma real no siempre fue 8.

Revisé el informe y no veo nada que sea más sofisticado que este ejemplo. Solo consideran medidas que conmutan con el hamiltoniano, por lo que todo su argumento es esencialmente clásico.

Sugieren una forma de observar experimentalmente la violación de la conservación de la energía:

1. Coloque un sistema primario 1 en un estado cuántico conocido que sea una superposición de estados propios de energía.
2. Enredar ese sistema con un sistema de sonda 2, de manera que no implique transferencias sustanciales de energía.
3. Mida el estado del sistema de sonda 2, nuevamente de una manera que no implique transferencias sustanciales de energía.
4. Termine con el sistema primario 1 en un estado propio de energía (al menos aproximado), con un valor de energía sustancialmente diferente al del sistema inicial.

¿Cuál es el costo de energía de realizar el paso 1? No lo sabe, porque depende de la energía del sistema primario después del paso 1, que por suposición no sabe. Si pudiera medir cuánta energía gastó en el paso 1, entonces el sistema primario estaría en un estado propio de energía después de esa medición y no podría realizar los pasos 2 a 4. Pero si no puede medir cuánta energía gastó, entonces no tiene evidencia de que la energía no se conservó durante todo el experimento.